定义

《数学—线性代数》复习参考资料 ——《线性代数》的复习尤其详细阅读人手一册的《综合练习题》 授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师） 第一章 行列式 一、全排列及其逆序数（理解） 1、把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。（也称排列） 2、对于n个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。 例题 求排列32514的逆序数 解 3的逆序数为0； 2的逆序数为1； 5的逆序数为0； 1的逆序数为3； 4的逆序数为1； 于是这个排列的逆序数为 二、n阶行列式的定义（理解） 定义 设有 个数，排成n行n列的数， a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ……………… an1 an2 … ann 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号 ，得到形如 （1） 的项，其中 为自然数 的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n！个，因而形如（1）式的项共有n！项，所有这n！项的代数和 称为n阶行列式，记作 ， 简记为 ，数 称为行列式 的元素。元素 的第一个下标 称为行标，表明该元素位于第 行，第二个下标 称为列标，表明该元素位于第 列， 三、行列式的性质（掌握） 记 ， 行列式DT称为行列式D的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。 第 行（或列）乘以k，记作 （或 ） 推论 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 第 行（或列）提出公因子k，记作 （或 ）。 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如 ， 则D等于下列两个行列式之和： 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。 以数k乘第 列加到第 列上，记作 ； 以数k乘第 行加到第 行上，记作 ； · 计算行列式常用的一种就是利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。P16例7、8。 （可以证明，对于上三角行列式D有： 当然，把任意行列式化根据以上性质为上三角形行列式需要一定的技巧。） 四、行列式按行（列）展开（掌握） 设 在n阶行列式中，把 所在的第 行和第 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 ；记 ， 叫做元素 的代数余子式。 引理 一个n阶行列式，如果其中第 行的元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 定理 行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 或 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ， 或 。 五、四阶行列式的计算（重点掌握） 例1 计算行列式 解： 例2 计算行列式 解： 五、克拉默法则（注意，计算量比较大） 设有n个未知数 、 、…、 的n个线性方程的方程组 （1） 克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数笔列式不等于零，即 那么，方程组（1）有唯一解 ， ，…， 。 其中 是把第数行列式中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 第二章 矩阵及其运算 一、矩阵的概念（理解） 1、由 个数 组成的m行n列的数表 称为m行n列矩阵，简称 矩阵，记作 也常记作 。 这 个数称为矩阵A的元素，简称元，数 称为 元。 以数 为 元的矩阵可简记作（ ）或 。 2、行数和列数都等于n的矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵，n阶方阵A也记作 。 3、只有一行的矩阵 称为行矩阵，又称行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 只有一列的矩阵 称为列矩阵，又称列向量。 4、两个矩阵的行数相等，就称它们是同型矩阵，如果 与 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即 那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作 5、元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意不同型的零矩阵是不同的。 6、单位矩阵 简记作E，即 7、对角矩阵 简记作 即 二、矩阵的运算与性质（掌握） 1、矩阵的加法 设有两个矩阵 EMBED Equation.3 、 ，那么矩阵A与B的和记作 A+B，规定为 注意： 只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。 矩阵加法满足下列运算规律： 设A、B、C都是m×n矩阵，则 （1） ； （2） （3） 设设矩阵 ，记 —A称为矩阵A的负矩阵。 2、数与矩阵相乘 数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为 数乘矩阵满足下列运算规律： 设A、B、为m×n矩阵，λ、μ为数，则 （1） ； （2） ； （3） 。 3、矩阵与矩阵相乘 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个 矩阵 ,其中 并把此乘积记作 C = AB 必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。 矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下 ，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）： （1） （2） （其中λ为数） （3） （重要）例1 已知矩阵 ， 求AB。 解： 4、方阵的行列式、伴随矩阵 定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素位置不变），称为方阵A的行列式。记作 。 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵 称为方阵A的伴随矩阵，记为 。 5、逆矩阵 定义 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使 则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。 定理 若 ，则矩阵A可逆，且 。 重要例题 P56-57例10 方阵的逆矩阵满足下述运算规律： 1）若A可逆，则 亦可逆，且 。 2）若A可逆，数 则λA可逆，且 。 3）若A，B为同阶矩阵，且均可逆，则AB亦可逆，且 。 例题：设n阶方阵A满足A2—A—2E = 0， 证明：A—E是可逆矩阵，并求A—E的逆矩阵。 证明：由A2—A—2E = 0得 A2—A = 2E A（A—E）= 2E ∴A—E是可逆矩阵 且 。 复习说明——大家重点要掌握的是第一、二章的关于行列式、矩阵的各种计算，必须非常熟练、坚定不移地掌握！！ 第三章略为次要一些，试题比重不会太大，第四章一般只考一些基本的概念、定理、推论，这两章建议大家按《综合练习》的题型进行复习即可。 《综合练习》还是看《通信工程专业——《线性代数》综合练习题与》那本，题型较为全面，比较保险。 比较重要的题目有： 第一大题的1至8；第二大题的1至7；第三大题的1至11；第四大题的1、2。 PAGE 14 _1117462232.unknown _1117524671.unknown _1117529351.unknown _1117560809.unknown _1117825270.unknown 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_1117526849.unknown _1117527127.unknown _1117526688.unknown _1117525818.unknown _1117526249.unknown _1117526379.unknown _1117526009.unknown _1117525783.unknown _1117521335.unknown _1117523572.unknown _1117524291.unknown _1117524380.unknown _1117524469.unknown _1117524365.unknown _1117523609.unknown _1117524120.unknown _1117523581.unknown _1117522140.unknown _1117523051.unknown _1117523059.unknown _1117523538.unknown _1117522357.unknown _1117521599.unknown _1117521799.unknown _1117521589.unknown _1117464867.unknown _1117466121.unknown _1117521231.unknown _1117521276.unknown _1117520851.unknown _1117521011.unknown _1117465422.unknown _1117465512.unknown _1117464975.unknown _1117463403.unknown _1117463479.unknown _1117464536.unknown _1117463468.unknown _1117462590.unknown _1117463357.unknown _1117462246.unknown _1117461951.unknown _1117462134.unknown _1117459997.unknown _1117461824.unknown _1117461880.unknown _1117461913.unknown _1117461046.unknown _1117461298.unknown _1117461786.unknown 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