关于布朗运动的理论

关于布朗运动的理论 爱因斯坦 1905年12月 在我的论文《热的分子［运动］论所要求的[静］液体中悬浮粒子的运动》发后不久，（耶那的）西登托普夫（ Siedentopf）告诉我：他和别的一些物理学家——首先是（里昂的）古伊（ Gouy ）教授先生一一通过直接的观测而得到这样的信念，认为所谓布朗运动是由液体分子的不规则的热运动所引起的。不仅是布朗运动的性质，而且粒子所经历路程的数量级，也都完全符合这个理论的结果。我不想在这里把那些可供我使用的稀少的实验资料去同这个理论的结果进行比较，而把这种比较让给那些丛实验方面掌握这个问题的人去做。 下面的论文是要对我的上述论文中某些论点作些补充。对悬浮粒子是球形的这种最简单的特殊情况，我们在这里不仅要推导出悬浮粒子的平移运动，而且还要推导出它们的旋转运动。我们还要进一步指明，要使那篇论文中所给出的结果保持正确，观测时间最短能短到怎样程度。 要推导这些结果，我们在这里要用一种此较一般的方法，这部分地是为了要说明布朗运动同热的分子［运动］论的基础有怎样的关系，部分地是为了能够通过统一的研究展开平动公式和转动公式。因此，假设 是一个处于温度平衡的物理体系的一个可量度的参数，并且假定这个体系对于 的每一个（可能的）值都是处在所谓随遇平衡中。，按照把热同别种能量在原则上区别开的古典热力学，α不能自动改变；按照热的分子〔运动］论，却不然。下面我们要研究，按照后一理论所发生的这种改变必须遵循怎么样的定律。然后我们必须把这些定律用于下列特殊情况：—— 1、 是（不受重力的作用的）均匀液体中一个球形悬浮粒子的重心的 X 坐标。 2、 是确定一个球形粒子位置的旋转角，这个粒子是悬浮在液体中的，可绕直径转动。 §1、热力学平衡的一个情况 假设有一物理体系放在绝对温度为 T 的环境里，这个体系同周围环境有热交换，并且处干温度平衡状态中。这个体系因而也具有绝对温度T，而且依据热的分子［运动］论，它可由状态变数 完全地确定下来。在所考查的这个特殊情况中，构成这一特殊体系的所有原子的坐标和速度分量可以被选来作为状态变数 。 对于状态变数 在偶然选定的一个时刻处于一个 n 重的无限小区域（ ）中的几率，下列方程成立—— （1） 次处C是一个常数，R是气体方程的普适常数，N是一个克分子中实际分子的数目，而E是能量。假设 是这个体系的可以量度的参数，并且假设每一组值 都对应一个确定的 值，我们要用 来表示在偶然选定的一个时刻参数 的值处在 和 之间的几率。于是 （2） 只要右边的积分是遍及状态数值的一切组合，而这些状态变数的 值是处于 和 之间的。 我们要限于这样的情况，从问题的性质立即可以明白，在这种情况中， 的一切（可能的）值的都具有同一几率（分布）；因此，那里的量A同 无关。 现在设有第二个物理体系，它所不同于前面所考查的体系的，仅仅在于有一个只是同 有关，而具有势 的力作用在这体系上。如果E是刚才所考查的体系的能量，那么现在所考查的这个体系的能量就是 ，由此我们得到一个类似于方程（1）的关系式： 由此推导出，对于在一个偶然选定的时刻 的值处于 和 之间的几率 ,有一个类似于方程（2）的关系式： （Ⅰ） 此处A`是同 无关的。 这个关系式是热的分子〔运动〕论所特有的，它同玻耳效曼在他研究气体理论时一再使用的指数定律完全相符。它解释了，当受到恒定的外力作用时，一个体系的参数，由于分子的不规则运动的结果，同那个对应于稳定平衡的值会有多大程度的出入。 §2 应用§1中所推得方程的实例 我们考查这样一个物体，它的重心能够沿着一条直线（一个坐标系的X轴）运动。假设这个物体是被一种气体包围着，并且达到了热平衡和机械平衡。按照分子理论，由于分子碰憧不匀等，这个物体会以一种不规则的方式沿着直线作向后和向前运动，使得在这种运动中，直线上没有一个点是受到特殊看待的——假定在这条直线的方向上，除了分子的碰幢力以外，再没有别的力作用在这个物体上。重心的横坐标 因而是这个体系的一个参数，它具有前面对参数 所假定的那些性质。 我们现在要引进一个在这条直线方向上作用于该物体的力 。那么，按照分子理论，这个物体的重心又会进行一种并不远离 这个点的不规则运动；可是按照古典热力学，它却必须静止在点 上。按照分子理沦（公式（I )) , 等于在一个偶然选定的时刻坐标 的值处于 和 之间的几率。由此，我们求出重心点 的平衡距离—— 为了使 大到足以能够观测到，确立这个物体的平衡位置的力必须非常小。如果我们设观测的下限为 厘米；那么，对于 ，我们就得到 。为了使这个物体所进行的振动在显微镜下可以观测，那么当伸长是1厘米时，作用在该物体上的力不可超过百万分之五达因。 我们还要把一种理论上的考查同已推导出来的方程联系起来。假设所讨论的物休带有一个分布在很小空间中的电荷，而且包围这个物体的气体是如此稀薄，以致这个物体作出的正弦振动由于周围气体的存在只有轻微的变动。此外这个物体向空间辐射电波，并且从周围空间的辐射中收到能量；因此它促成在辐射同气体之间的能量交换。我们能够推导出一个看来是适用于长波和高温的温度辐射的极限定律，只要我们提出这样的条件，使所考查的物体所发射的辐射平均起来正好同它吸收的辐射一样多。这样我们就得到下列对应于振动数 的辐射密度 的公式： 此处c表示光速。 对于小的频率和高的温度，普朗克先生提出的辐射公式就转换成这个公式。 N 这个量能够从这极限定律中的系数确定出来，这样我们就得到了普朗克关于基本常数的确定。我们以上述方式得到的并不是真正的辐射定律，而只是一个极限定律，这一事实的缘由，依我看来是在于我们物理概念的根本不完备性。 我们现在还要用公式（Ⅰ）来决定一个悬浮粒子必须小到怎样的程度才能使它不顾重力的作用而持久地悬浮着。对此我们不妨限于粒子的比重比液体大的情况，因为相反的情况是完全类似的。 如果 是粒子的体积， 是它的密度， 是液体的密度， g是重力加速度，而 是从容器的底到一个点的竖直距离，那末方程（Ⅰ）就给出 由此我们可以看出，这些悬浮粒子是能够悬浮在液体中的，只要对于不是小到无法观察的 值， 这个量没有太大的值——假定那些达到容器底的粒子不会因任何什么情况而被抓住在底面上。 §3 由热运动引起的参数 的变化 我们再回到§1中所讨论的一般情况，为此我们已经推导出方程（Ⅰ）。可是为了使表示方式和概念比较简单，我们现在要假定存在着很大数目（n）的全同体系，它们都是那里所表征的那种类型；于是我们在这里要打交道的是数目，而不是几率。这时方程（Ⅰ）表示为： 在N个体系中，有 （Ⅰa） 个体系的参数 的值在一偶然选定的时刻落在 之间。 我们要用这个关系来求由不规则的热过程所引起的参数 的不规则变化的量值。为此目的，我们用符号来表示：在时间间隔 内，在对应于势 的力同不规则的热过程的联合作用下，函数 不起变化；这里的 表示如此短的时间，以致单个体系的 这个量的相应变化可以被着作是函数 的自变数的无限小变化。 如果我们在一条直线上，从一个确定的零点出发，划出一些数值上都等于 量的线段，那么每一个体系都在这条道线上对应于一个点 是体系点 在直线上的配置密度。在时间 内，这种体系点在一个方向上通过道线上的一个任意点 的数目，同相反方向上通过的数目必定完全一样。 对应于势 的力所引起的 的变化的量值是 此处B是同 无关的，也就是说， 的变化速度同作用力成比例，而同参数的值无关。我们称因子B为“体系关于 的迁移率”。 因此，如果有外力作用着，而量 不为分子的不规则的热过程所改变，那么在时间 内，就有 个体系点在负的方向上通过点（ ）。 进一步假设：一个体系的参数 在时间t内由于不规则的热过程而经受的变化的值处于 和 之间的几率等于 ，此外 ，而 是同 无关的。于是由于不规则的热过程，在时间 内，在正方向上通过点（ ）的体系点，其数目是 如果我们置 由于不规则的热过程而向负方向移动的体系点，其数目则是 关于函数F的不变性的数学表示因而是 如果我们引进已经求得的关于 ， 和 的表示式，并且记住 是无限小的，或者 只有对于 的无限小值才不等于零，那么经过简单的运算后，我们就得到 这里 表示在时间t内由不规则的热过程所引起的量 变化的平方的平均值。从这个关系式，考虑到方程（Ⅰa）,我们得到： （Ⅱ） 这里R是气体方程的常数（ ），N是一个克分子实际分子的数目（大约为 ），B是“体系关于参数 的迁移率”，T是绝对温度， 是由于不规则的热过程所引起的 的变化所经历的时间。 §4 把推导出的方程应用于布朗运动 我们现在借助方程（Ⅱ）首先来计算一个悬浮在液体中的球形物体在时间 内在一定方向（坐标系的X轴方向）上所经历的平均位移。为此目的，我们必须把相应的B值代入那个方程。 如果有一个力 作用在一个半径为 的球上，而这个球是悬浮在摩擦系数为 的液体中的，那么它就会以速度 运动着。因此，我们可以置 于是我们就得到——同前面应用的那篇论文相一致——悬浮在X轴方向上的平均位移的值 其次，我们讨论这样的情况，即所考查的球在液体中可以绕它的直径作无向位摩擦的自由转动，并且我们要去求，由于不规则的热过程，这个球在时间 内的平均转动 。 如果有动量矩D作用在一个半径为P的球上，这个球能够在摩擦系数为k的液体中绕轴旋转，那么旋转的角度是 我们从而必须置 因此，我们得到 因此，由分子运动所引起的旋转运动随着P的增加而减少的程度要比平均运动快得多。 对于 毫米以及17℃的水，这公式给出一秒钟内所经历的角平均大约是11弧度秒；在一小时内大约11弧度分。对于 微米以及17℃的水，对于 秒钟，我们得到大约100角度。 在一个自由浮动的悬浮粒子的情况下，有三个彼此独立的这种类型的旋转运动发生。 所推导出的这个关于 的公式还可以用于别的情况。比如，要是用闭电路的电阻的倒数来代替 B ，那么这公式就表明在时间 内平均有多少电通过任何一个导体的横截面，这个关系式又是同那个关于长波长和高温的黑体辐射的极限定律有联系的。可是，既然我未能找到更多的可供实验验证的结果，所以在我看来，去讨论更多的特殊情况，那是无益的。 §5 关于 公式有效的极限 很清楚，公式（Ⅱ）不能适用于任何任意短的时间。也就是说，由于热过程， 的平均变化速度 对干无限小的时间间隔 就变成了无限大，这显然是不可能的，因为要不然每个悬浮粒子都必须以无限大的瞬时速度在运动。这个缘由在于，在我们的展开中，我们无形中假定了：时间 内的现象过程，必须被看作是同其紧接着的前面时间内的现象过程无关的事件。但是，所选取的时间 愈短，这个假定就愈难站得住脚。如果确实在时间 时，变化速度的瞬时值是 又如果在以后的某个时间间隔内，变化速度 不受不规则的热过程的影响，而 的变化仅仅取决于被动阻力（ ），那么，对于 ，这样的关系式会成立：—— 这里， 是由 应该对应于变化速度 的能量这一规定来定义的。因此，比如在悬浮的球的平移运动的情况下， 就是球的动能连同被球带动的液体的动能。由积分得到 由这个结果，我们可以断定：公式（Ⅱ）只是对于那些比 大的时间间隔才能成立。 对于直径为1微米和密度 的小物体，在温室的水中，公式（Ⅱ）的有效性的下限大约是 秒；这个时间间隔的下限同小物体半径的平方按比例而增大。无论对于粒子的平移运动还是对于粒子的旋转运动，都同样成立。 _1268234388.unknown _1268234447.unknown _1268234561.unknown _1268234408.unknown _1268234257.unknown _1268234278.unknown _1268057616.unknown _1268209176.unknown _1268220138.unknown _1268222549.unknown _1268224793.unknown _1268232797.unknown _1268233148.unknown _1268233273.unknown _1268233687.unknown _1268233775.unknown _1268233904.unknown _1268233499.unknown _1268233209.unknown _1268233006.unknown _1268233048.unknown _1268232933.unknown _1268226422.unknown _1268232750.unknown _1268225993.unknown _1268223399.unknown _1268224260.unknown _1268224691.unknown _1268223834.unknown _1268223976.unknown _1268223330.unknown _1268223350.unknown _1268223274.unknown _1268223298.unknown _1268222674.unknown _1268220949.unknown _1268221458.unknown _1268222321.unknown _1268221229.unknown _1268220894.unknown _1268220927.unknown _1268220313.unknown _1268219342.unknown _1268219485.unknown _1268219719.unknown _1268219871.unknown _1268219633.unknown _1268219435.unknown _1268219394.unknown _1268218129.unknown _1268218850.unknown _1268219115.unknown _1268219322.unknown _1268218341.unknown _1268209366.unknown _1268209419.unknown _1268209326.unknown _1268208838.unknown _1268209066.unknown _1268209104.unknown _1268208875.unknown _1268058380.unknown _1268208755.unknown _1268057750.unknown _1268058121.unknown _1268057683.unknown _1267713273.unknown _1267714400.unknown _1268057151.unknown _1268057565.unknown _1268057589.unknown _1268057210.unknown _1267714496.unknown _1268057122.unknown _1267714442.unknown _1267713750.unknown _1267713950.unknown _1267714322.unknown _1267713807.unknown _1267713484.unknown _1267713739.unknown _1267603162.unknown _1267712984.unknown _1267713232.unknown _1267713160.unknown _1267710444.unknown _1267710531.unknown _1267710203.unknown _1267601765.unknown _1267602723.unknown _1267602889.unknown _1267602527.unknown _1267599798.unknown _1267601531.unknown _1267601484.unknown _1267601520.unknown _1267599958.unknown _1267599526.unknown _1267599710.unknown