圆锥曲线离心率取值范围的几种策略

[关键词]圆锥曲线；离心率；取值 范 围：焦点 [中圈分类号]G633．65 [文献标识码]C [文章编号]1004--0463(2007) 05(B)一O045—01 求圆锥曲线离心率的取值范 围是解析几何中的一类重要题型 ， 是各类考试命题的热点．如何根据 题设条件找到切人点，构建含有离 心率的不等式是解决这类问题的 关键所在，也是学生普遍感到困惑 之处．笔者通过多年的数学教学实 践，现以实例探索这类问题的求解 及策略． 一 、 数形结合构建关于0，c的 齐次不等 式求解 ， 2 例1过双曲线 一右=J f0>D， ¨ ¨ 6>D)的右焦点腓 双曲线斜率大于 0的一条渐近线的垂线L，若L与双 曲线的左、右支各交于一点 ，求离 心率e的取值范围． 解：垂线L：，乞：一詈 --c 如下图： U 、 ， ， 、 因L与双曲线的左右支各交于 一 点 ，则必有KL>K⋯即 一 丁 a >一 ，a22．即e>、／2． 【点评】由动直线与双曲线的 位置 关 系不 由动 直线 与相应 的渐 近线的关 系来确定 ，进而推 出不 变 量的约束条件 ．这是数形结合构 建 0．c的关 系式的一种 简捷 而直观 的 方 法 ． 二、运 用曲线范 围构 建关于a， c的齐次不等式求解 例2 已知双曲线mx2-ny2=l(m> O,n>O)的左、右焦点分别为 ， ，若 点助 双曲线左支上一点，且I l_ T ÷I尸 ，求离心率e的取值范围． 解 ：设I矾 I=rJ，I眠 I=r2． 由双曲线 的弟 二足义得 ef_ 一 az 一 。 ， e -x a z +。 ， 又·．·rF 1 r2， ． · ． 一 4ex--4口=—e +0．一3ex=5ca 解之得 ： ： ．又·． ≤一0，即 ≤ ．·．e≤亨． 又 ·．·e>1．故e的取值范围为 J ≤亨． 【点评】由动点的取值范围是 双 曲线 左支上横 坐标的取值范 围， 即 ≤一0．从而构建0，c的齐次不等 式 求解． 三 、由三角 函数 的有 界性和均 值不等式知识构建不等式求解 例3设椭圆等+吾：川I勺两个 焦点为 ， ，当离心率e在何范围 取值时．椭圆上存在一点P，使得 ／_F~PF：120~． 解 法 一 ： 在 △ 中 ，令 ， FiF2P---a．由正弦定理 得 ： 一 一 sina—si， 一sinl20。’ 又 ‘．‘I矾 I+1PF21=2a，则 2r工 2c sirq3+sina—sinl20。‘ ． 一 2 ‘ 0一sina+sirq3 3 丁 一 一 一 ⋯ 譬一2c 譬’ 一 詈≥孚 ． 又 D