机械与数学

机械与数学 摘要：数学在机械行业中有着重要的地位，本文将以具体的机械专业课程为例向大家介绍数学在机械专业课程中的应用 数学是一门既基础又独立的学科，是生活中必不可少的一门工具,现代机械设计的理论基础是理论力学，当然还有其他学科的交叉，而理论力学的深度取决于数学发展的深度，可以说数学发展到什么程度，理论力学就可进展到什么程度,比如在齿轮传动中的齿轮渐开线，螺旋线等的设计，计算等，微积分，偏微分，只是在设计中的计算工具，当然在电路，自控和电子元器件设计方面还要用到线性代数，傅里叶方程，场论等，人类在认识自然，寻找自然规律，科学发展的过程中还有很长的路要走，数学的发展远远没有解决人类的认识论和方法论的全部，只是真理渐进线的一个点，掌握这些工具对机械工作大有益处。 1、 数学在机械运动中的应用 1. 常量、变量与运动状态的描述 变量与常量是描述运动状态的一种数学方法，把点的轨迹化为两个变数X、Y的关系式——代数方程，即把变数理解为由点连续运动产生的。因此，坐标系的创立为研究机械运动提供了一个有用的工具。 2. 函数与运动规律的表达 函数概念是一种变量对另一种变量的依赖关系的反映。因此，函数也成为了描述运动规律的一种数学方法，函数的概念也是从运动的研究中产生的。 3. 微分与运动本质的刻画 导数(微分)概念的产生也与运动的研究有关。自由落体运动为例，自由落体瞬时速度的物理意义在于：既表明落体在瞬时t位于位置s(t)，又表明落体以s (t)=gt这样大小的趋势和方向离开位置s(t)。这样，瞬时速度就刻画了出了物体运动的本质。由此可见，瞬时速度(微分法)是刻画运动本质的数学方法。 4. 微分方程与运动规律的揭示 物质机械运动过程可表为空间某区域的点上力学量随时间的变化。也就是说，运动规律是表征物质运动的特征量在邻近空间与邻近时间的变化。这种变化是一种微分关系，或者说是一种微分方程。因而，微分方程(包括偏微分方程)是揭示物质运动规律的一种数学方法。事实上，力学的各种运动微分方程都揭示了相应的物质运动的规律。其对应关系，诸如：质点系的基本定理— —质点系动力学，刚体运动微分方程—— 刚体动力学，拉格朗日方程——非自由质点系动力学，麦克斯韦方程— — 电动力学，薛定谔方程— — 量子力学，爱因斯坦引力场方程— — 相对论力学。 5. 变分法与运动优化的判据 在力学基本定律的基础上，利用变分方法得到的力学变分原理，提供一种准则，给出的准则表现为系统运动的某一函数或泛函具有驻定值问题的形式出现。力学的变分原理有：拉格朗日最小作用原理、Hamilton原理、雅克比最小作用原理、高斯最小约束原理、Hertz最小曲率原理等。这些原理大多表明，最优化是自然界物质系统发展的一种趋势。可以说变分法是判据运动优化的数学方法。 2、 数学在《机械制图》课程中的应用 《机械制图》的学习一直是机电专业学生学习的重点和难点，其中读识图纸及绘制图纸的能力，与我们学习的《立体几何》有很大关系。《机械制图》的基本内容是：基本几何体及其组合体的读识和绘制；孔轴、圆盘类零件的读识和绘制；装配图的读识和绘制等三个相应的学习单元。这些技能的学习要求我们了解一般几何图形，并对它们进行简单组合，在头脑中形成三维立体概念。在《立体几何》中，基本几何体如长方体、圆柱体、三棱柱、椎体等，同学们都学过，并且对它们的正视图、主视图左视图的投影及画法都有一定的了解。所以《立体几何》对学好《机械制图》是至关重要的。 3、 数学工具MatLab在《机械原理》课程中的应用 MATLAB是一个通用性很强的优秀软件，在数学、力学、机械工程、控制工程及信号处理等领域内应用极其广泛。MATLAB在《机械原理》课程的教学中应用广泛并且便捷，以至于国内外已有专门结合MATLAB软件的《机械原理》教材出现。MATLAB有以下几个基本特点：第一，有极强的数值计算功能和作图功能，也有很强的符号计算功能；第二，图形窗口式的操作．一看就懂，一用就会．使用常用的数学符号和表达式，贴近人们的思维习惯，使用复数与矩阵，计算速度快；第三，用简单的指令就可以完成大量的计算与作图功能。编程语法简单，程序设计方便．正是具有这样的特点，因此在《机械原理》教学中应用数学工具，选用MATLAB软件作为教学软件是很合适的。学生只需用很少的时间便可掌握其基本用法，又可在日后的工作和学习中进一步深入学习，从而为将来的工程技术工作打下良好的基础。 4、 模糊数学方法在《机械设计》中的应用 在《机械设计》中,一些经验性数据和一些实际测量值,很难用精确的数字给出,往往采用诸如下列的表达:材料的厚度约为2cm,冲击力约为8t,零件底部圆角半径为5~6mm,等等。那么如何表达这些不精确信息(非随机的不精确信息,主要是模糊信息)？例如:一个铁棒已知长度约为50cm,圆型横截面的半径为2~2.2cm,问这个铁棒的体积是多少?按传统模型,我们有l=50cm,γmin=2cm,γmax=2·2cm.根据这些数据可得 可知,所得的结果与实际是有一定差距的。可以看出,传统设计模型不能恰当地描述处理模糊信息,因而影响设计计算结果。模糊数设计不失为解决上述问题的一种好方法。模糊数是以实数为论域的正规的凸模糊集。 设m∈W(R),且满足:(1)m是凸的;(2)m是正规的,即 x0∈R,μm(x0)=1. 则称m是R上的模糊数。可以看出,区间数是模糊数的一种特例[1]。模糊数设计就是用模糊数去表示设计数据,按照模糊数的运算规则去加工数据———进行设计计算。 5、 数学在《机械振动》中的应用 我们还可从下面的描述中来体会数学在振动和动力学研究中体现的完美和统一。对线性有阻尼自由振动,从数学方程看是一个衰减振动,已经无周期可言,最后系统会处于静止状态,实际测试的时间历程也证明完全一致,从相图上看,会出现螺旋形收缩,最后走向原点即成为焦点,所以焦点就是该类系统的“吸引子”;而无阻尼时,由初始条件确定的椭圆就是系统的“吸引子”,强迫振动表现为瞬态响应和稳态响应的迭加。对于非线性系统,以著名的虫口繁衍非线性方程和Ueda所研究的达芬方程为例。在参数控制下,系统会出现从倍周期分岔走向混沌或从拟周期运动走向混沌,所以混沌系统存在“奇异吸引子”。还有许多事例可以证明数学在振动学中的重要地位,也可以从数学角度体会振动和动力学的美，这里由于涉及比较多的专业知识，在这里就不一一举例了。 近几十年来，随着科学技术的发展和社会的进步。数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代十明理等方面获得了越来越广泛而深入的应用，使人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。数学模型的最优化模型相关理论被广泛的应用到机械结构的设计领域。将机械设计任务的具体要求构造成数学模型，也就是将机械设计问题化为数学问题。什么是建模，在工程中来说，就是把你想的东西以数学的形式表达出来，例如齿轮的计算，齿根强度模型为悬臂梁，这个模型很不错，但是不是普世的，你需要知道为什么这样写公式，这才是用数学。对于蜗轮而言，或者对于短齿而言，这个公式还能用吧，精度有多高？结合材料，力学等把实际问题转化为数学模型，这才是实际的，虽不是最基础的，但是对于工程设计而言，可以算作基础了。1 H2 [3 @. q! t7 A% f0 [, k8 V: l' Z( n: R我们学机械设计，学里面的什么？好像教科中重点给出的就是算法和流程，其实最应该明白的是这些东西是怎么来的。当然最是的性也很重要，这是机械人的品质。我们看日本人做事，就是死板，包括德国人，其实是一种做事规范的体现。。2 l6 _ Y; K$ L$ ^! u+ 不管以后用什么东西计算，求解本身不是关键，关键是你知道怎么去找关联，把问题变成数学模型。# 在这个数学模型中，既包括有设计要求，又包括根据设计要求提出的必须满足的附加条件，从而构成一个完整的数学规划命题。逐步求解这个数学规划命题，使其满足设计要求，从而获得可行。机械结构设计就是在满足各种规范或某些特定要求的条件下使结构的某种广义性能指标(如重量，造价等)为最佳，目的在于寻求既安全又经济的结构形式。把数学与客观实际问题联系起来的纽带首先是数学建模，因此要进行机械结构的设计，首先必须将设计问题的物理模型转变为数学模型。通过调查，收集数据、，观察和研究其固有的特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，提出假设，经过抽象简化，建立反映实际问题的数量关系。建立数学模型时要选取设计变量，列出目标函数，给出约束条件。其次，选择适当的方法求解该数学模型。在多数情况下，我们很难获得数学模型的解析解，而只能得到它的数值解，这就需要应用各种数值方法、软件和计算机。包括各种数值优化方法，线性与非线性方程组的数值方法，微分方程(或方程组)的数值解法，各种预测、决策和概率统计方法等。当然，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型并不是一件容易的事。另外，如果所建立的数学模型的数学表达式过于复杂，涉及的因素很多，在计算上也会出现困难。因此，要抓主要矛盾，尽量使问题合理简化，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。 数据法是从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型，其中常用的方法有时序分析法、回归分析法。 仿真一般使用计算机仿真(模拟)，实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。常用的离散系统仿真和连续系统仿真。 简述机械系统动态仿真软件平台及其功能和基本分析步骤。数学建模方法有几种？机械系统建模采用哪几种，并加以简要说明。 传统的数学建棋方法基本上有两大类，即机理分析建模与实验统计建模。以后又出现了层次分析和定性推理建模力法，而且实验统计建模也有新的发展，产生了具有现代活力的系统辨识建模方法。 在上述四大类数学建模方法基础上的具体建模方法，目前已超过数十种，其常见方法有；机理分析法、直接相似法、系统辨识法、回归统计法、极率统计法、量纲分析法、网络图论法、图解法、模糊集论法、蒙特卡洛法、层次分析法、“隔舱”系统法、定性推理法、“灰色”系统法、多分面法、分析—统计法及计算机辅助建模法等。 机械系统建模一般采用机理分析、数据分析法、仿真等方法。 机理分析是从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型，其中常用的方法有比例分析法、代数方法、逻辑方法、常微分方程、偏微分方程。 下面以Pro/E为例进行介绍。Pro/Mechanical Motion为Pro/E的集成运动模块，是设计机构运动强有力的工具。该模块可以让机构设计师设定装配件在特定环境中的机构动作并给予评估，能够判断出改变哪些参数能满足工程及性能上的要求，使产品设计达到最佳状态。 Pro/Mechanical Motion是一个完整的二维实体静力学、运动学、动力学和逆动力学仿真与优化设计工具。Motion运动模块可以快速创建机构模型并能方便地进行分析。从而改善机构设计。 Pro/Mechanical Motion具有如下功能： (1)校验机构运动的正确性，对运动进行仿真，计算机构任意时刻的位置、速度、加速度。 (2)通过运动分析可以得出装配的最佳配置。 (3)根据给出的力次定运动状态及反作用力。 (4)根据运动反求所需要的力。 (5)求出饺接点所受的力及轴承力。 (6)通过尺寸变量对机构进行优化。 (7)干涉检查。 Pro/Mechanical Motion进行运动分析的流程图如下： 一般机械系统动态仿真的基本步骤如下图所示： 结语 数学对科学技术的发展起着重大作用是被广泛接受的观点．正如马克思所说：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步．” 现代科学技术发展的一个重要趋势是日益数学化．它不仅要进行定性的研究，还要进行定量分析，提出一定的数学关系式和数学模型来描述研究课题的运动规律．这是现代科学革命的一个必然趋势． 机械行业也不例外，通过自己对机械专业课程的学习，深深地感受到了数学对于机械的重要性，同时也感受到了数学给机械的深入研究带来的便利。例如，《机械制图》中用到了数学中的立体几何知识，《理论力学》中用到了拉格朗日方程和哈密顿正则方程等重要公式，《机械原理》中用到了利用包络线方程求凸轮轮廓曲线等公式，另外，利用数学知识开发的专业软件也为机械的发展做出了重要贡献，如专业软件：MATLAB、AutoCAD、Solidworks、Pro-E、UG-NX等。正是因为有了这些数学知识，机械的相关研究才能更精确，更方便，更高效！最后，愿数学与机械共同发展、进步，共同为人类美好的未来贡献自己的一份力量！ 参考文献： [1] 邵秀燕. 数学课结合《机械制图》基本几何休的教学尝试[J]. 职业技术, 2004,(03) [2] 姜娜. 让创新走进机械制图的数学中[J]. 黄河之声：科教创新版,2007,(07) [3] 王春英. 谈技校数学在专业课中的应用[J]. 成才之路, 2008(36) [4] 郝博,舒启林. 模糊数学方法在机械设计中的应用[J].工业工程,1999(2-2) [5] 刘成俊,周雄谭,逢友,何高法. 机械振动与数学的关系初探[J]. 重庆科技学院学报：自然科学版,2006(8) [6] 周祖威. 试论机械运动的数学认识[J]. 天津职业技术师范学院学报,2000(10) [7] 黄清. 数学在现代科学技术体系中的地位和作用[J]. 杭州师范学院学报：自然科学版,2007(3) [8] 高继光.高等数学在机械制造方面的某些应用[J].大庆高等专科学校学报,1996(16)