自然对数漫谈

自然對數漫談 宋秉信 數學是科學技術的基礎, 它為生產技術 和科學各分支提供重要的工具。 生產技術和 科學的發展對數學又提出更新更高的要求, 促進數學的發展。 同時, 數學理論的提高與 計算技術和方法的改進, 對生產技術和科學 各部門起著很大的推動作用。所以說, 數學的 不斷發展歸根結底決定於人類生產實踐的需 要。 以10為底的常用對數就是基於人們對數 字的乘除、 乘方和開方等運算要求快速而發 展起來的。 自然對數則是由於微積分學的產 生可以解決變量之間的函數關係而發展起來 的。 本文主要是談談自然對數有關的的問題。 一. 對數及對數的編製 早在16世紀末, 由於航海事業的蓬勃發 展, 人們需要進行天文觀測來確定船隻的方 位。 這就遇到了大量繁雜的計算課題需要人 們去研究。 如何簡化計算便是當時逼切需要 解決的問題。 社會的需要促使數學家乃至於 天文學家著力去研究並創造一種新的簡便的 計算方法。 對數就是在這樣的歷史條件下產 生的。 “對數”是繼乘方、 開方運算之後第七種 數學運算。它與解析幾何、微積分被人們視為 17世紀數學領域裡最偉大的三大成就。 為什 麼對對數的發現作如此高的評價呢? 這完全 在於對數方法對於社會和人類所作出的巨大 貢獻。 對數能將乘除、 乘方和開方轉化為加 減、 乘除。 於是繁雜的計算得以大大的簡化, 促進了生產技術和科學的發展。 法國大數學 家拉普拉斯 (Laplace, 1749-1827) 曾說過: “納皮爾對數的發明, 不僅是減省了天文學家 的工作, 而且是相當於倍增其壽命”。 這個評 價真是恰如其分。 1554年, 德國數學家史基弗里對下面等 比數列和等差數列進行比較: · · · 2−4, 2−3, 2−2, 2−1, 20, 21, 22, 23, 24, . . . (1) · · · 1 16 , 1 8 , 1 4 , 1 2 , 1, 2, 4, 8, 16, . . . (1′) · · · −4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . (2) 他發現數列 (1) 或 (1′) 的乘除關係可以轉 化為數列 (2) 的加減關係。 而且他還發現數 列 (1) 或 (1′) 的乘方和開方關係也可以轉化 為數列 (2) 的乘除關係。 就是說, 在數列 (1) 或 (1′) 中任取兩個數作乘 (除) 法運算所得 的積 (商), “對下來”在數列 (2) 中取相對應 的數作加 (減) 法運算, 其和 (或差) “對上 去”就是所求的積 (或商)。“對數”一詞的來源 70 自然對數漫談 71 就在於此, 這便是對數思想的萌芽。 但是, 當 時史基弗里僅僅發現這一性質而已, 他並沒 有根據此性質作進一步研究, 更沒有編製出 對數表來。 如果我們把史基弗里所發現的性質用現 在對數符號來表示的話, 便是: a · b = ab ↓ ↓ ↓ ↓ log2 a+ log2 b= log2(a + b) 這可以說是最早的最原始對數表吧。 如表一。 N · · · 1 16 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 16 · · · log2 N · · ·−4−3−2−1 0 1 2 3 4 · · · 表(一) 註: 史基弗里想像中最早最原始的對數表。 這個最原始的對數表的使用價值不大。 因為它的間隔太大, 有許多數無法在表中查 找到。 如計算 6 × 3, 21 ÷ 1.6 等在表中就 沒有。怎麼辦? 人們在實踐中發現,真正有使 用價值的對數表一定要使真數 N 的間隔很 密才行。 因為, 在利用對數作乘法或除法運算 時, 不僅要從真數表中查出其相應的對數來, 而且還要將查到的對數經過加減運算後的和、 差, 反查出它所對應的真數表, 因此一張真正 有使用價值的對數表, 不僅要使其真數的間 隔很密, 而且對數的間隔也必須很密。只有這 樣, 不論是由真數查對數; 還是由對數查真 數, 都比較精確。 那麼, 怎樣才能編製出真數、 對數的間 隔都比較密的對數表呢? 二. 以 e 為底的對數表的產生 早在公元前200年, 古希臘著名數學家 和物理學家阿基米德就注意到下面數列之間 的一一對應關係: 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, . . . 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . 它們也具有史基弗里所發現的性質。 可 以使冗繁的乘除法運算轉化為較簡單的加減 法運算。 但阿基米德當時也沒有把這一研究 工作繼續進行下去。 如果當時他能編製出一 張真數範圍在1到10之間的對數表也就足夠 了。 在這樣的表中對於任意正數的對數就容 易求得了。 遺憾的是歷史上最早真正能使用 的對數表不是以10為底的對數, 而是英國數 學家納皮爾 (J. Napier 1550-1617)在1614 年編製出的 Napier 對數。 在微積分學創立之前, 想直接用10為底 來編製適用的對數表是比較困難的。 人們在 長期的實踐中逐步找到了以 e 為底作出適用 的對數表來。為什麼選用 e 為對數的底數呢? 其原因是: 1. 在微積分學創立之前, 要以真數算出 它相應的數來是有一定困難的。 當時只能利 用公式 N = aloga N , 從對數算出相應的真 數, 這樣在計算時只要進行開方運算。 如果取以10為底的話, 要作出對數間隔 是 0.0001 的表來,從表二中可以看出必須計 算 10000 √ 10, 10000 √ 100, 10000 √ 1000, . . ., 這 在當時, 要計算出來談何容易, 是很難辦到的 事情。為避免開10000次方的困難,人們很自 然地想到是否可以把底數選得大一些。 如以 1010000 為底, 這樣指數為 10000, 正好與開 10000 次方相對消。 而且計算起來就方便多 了。 如表三。 72 數學傳播 23卷1期 民88年3月 log10 N 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 · · · N 100 = 1 100.0001 = 10000 √ 10 100.0002 = 10000 √ 100 100.0003 = 10000 √ 1000 · · · 表(二) 註: 取以10為底, 對數間隔為 0.0001 的對數表 log 1010000 N 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 · · · N (1010000)0 = 1 (1010000)0.0001 = 10 (1010000)0.0002 = 100 (1010000)0.0003 = 1000 · · · 表(三) 註: 取以 1010000 為底, 對數計算起來方便多了。 這樣改進,對數的間隔是比表 (二)小了 一些, 且計算起來也方便了, 因為避開了開方 的運算。 但真數的間隔仍嫌過大,而且越靠後 越大。 因此, 用這張表從對數反查其真數是適 用的, 反過來由真數查對數就不怎麼適用了。 如要查真數為384的對數,這張表就無能為力 了。 為了彌補上述之不足,人們又想到是否將 底數縮小。 如縮小為 210000, 見表四。 log210000 N 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 · · · N (210000)0 = 1 (210000)0.0001 = 2 (210000)0.0002 = 22 (210000)0.0003 = 23 · · · 表(四) 註: 取以 210000 為底的對數表, 計算起來更加方便。 從表 (四) 中可以看出它比表 (三) 要好 得多。它除了保持對數間隔小、計算方便等優 點外, 它的真數間隔也大大縮小。這就給數學 家們提供了編製出適用的對數表的思路, 即 按這種方法逐步縮小底數的方法。 如當時人 們進一步將底數縮小為 (1.0001)10000, 如表 五。 log1.000110000 N 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 · · · N 1.000000 1.000100 1.000200 1.000300 1.00400 · · · log1.000110000 N 0.0009 0.0010 0.0011 · · · 0.0050 · · · 0.0060 · · · N 1.000900 1.001000 1.001011 · · · 1.005012 · · · 1.006018 · · · 表(五) 註: 由於對數、 其數的間隔更密了, 使用起來方便極了。 自然對數漫談 73 這種真數的間隔更小了, 不論是從真 數查對數, 還是由對數反查真數, 都比較 方便。 對於表中沒有的數, 我們可以根據 線性插值的方法求得比較精確的近似值。 當 然, 還可以進一步改進, 如將底數縮小為 (1.00001)100000, 那麼所編製出來的對數表 的間隔將會更密, 精確度會更高。 從上面討論的問題, 不難發現, 之所 以能用初等方法編製出較為適用的對數表 來, 其關鍵在於採用了 (1.0001)10000 或 (1.00001)100000 這樣一種特殊形式的數做底 數。 因為 (1.0001)10000 = (1 + 0.0001)10000 = (1 + 1 104 )10 4 , (1.00001)100000 = (1 + 0.00001)100000 = (1 + 1 105 )10 5 , · · · , 像這樣形式的數,一般可表示為 (1+ 1 n )n。當 n = 104, n = 105, 就是上面所說的兩種形 式。 顯然, n 越大, 用 (1 + 1 n )n 作底所編製 出的對數表就越能滿足我們的要求。 級數 (1 + 1 1 ), (1 + 1 2 )2, (1 + 1 3 )3, · · · (1 + 1 n )n, · · · 是收斂的。 1727年歐拉 (Euler, 1707-1783) 首先把這個級數的極限 值記作 e, 即 lim n→∞ (1 + 1 n )n = e(e ≈ 2.7182818 · · ·)。 從理論上講, 用上面所述的初等方法編 製出來的對數表, 應以 e 為底是最為理想 的。 但是, e 是一個無理數, 在實際計算時 只能取它的近似值作為底。 納皮爾當時就是 採用 (1.0000001)10000000 = (1 + 1 107 )10 7 為底編製出歷史上第一張可供使用的對數表。 Napier對數是與自然對數相似近。 它們之間 的關係是: 若正數 N 的 Napier 對數等 於 L, 則有 loga( N 107 ) = L 107 , 其中 a = (1 + 10−7)10 7 。 此數與自然對數的底數 e 的 倒數 e−1 很接近。 2. 我們知道, 用除1以外的任何正數為 底的對數函數的導數都會引出一個以 e 為底 的對數。 如以對數函數 y = loga x 為例, 其中 a > 0 且 a 6= 1。 因為 y′ = lim ∆x→0 loga(x +∆x)− loga x ∆x = lim ∆x→0 ( 1 ∆x · loga x +∆x x ) = lim ∆x→0 [ ( 1 x · x ∆x ) · loga(1 + ∆x x ) ] = 1 x lim ∆x→0 loga(1 + ∆x x ) x ∆x = 1 x lim ∆x→0 loga(1 + 1 x ∆x ) x ∆x 當 ∆x → 0, x ∆x → ∞, 且 lim ∆x→0 (1 + 1 x ∆x ) x ∆x = e。 所以有 y′ = 1 x loga lim ∆x→0 (1 + 1 x ∆x ) x ∆x = 1 x loga e = 1 x loge e loge a = 1 x · 1 ln a 。 註: ln a 為自然對數符號, 即以 e 為底, a 的 對數。 自從有了以 e 為底的對數表以後, 利 用換底公式, 可得 log10 N = log e N log e 10 = lnN 2.3025850929··· 。這就不難進一步將以 e為底的 對數換算成以10為底的對數。應該指出的是, 在納皮爾生活的那個時代, 指數概念並未完 成。 納皮爾本人也算不知道對數的“底”這一 74 數學傳播 23卷1期 民88年3月 概念。 一直到18世紀歐拉才發現指數與對數 的關係。 這表明對數的發明在指數概念之前。 英國一位數學、 天文學家布立格斯 (H. Briggs, 1561-1631) 曾建議納皮爾將他的對 數作些改進, 以求更便於計算。 這種改進當 然是指要他改為以10為底的對數。 但納皮爾 還未來得及修改, 便去逝了。 在納皮爾去逝 後, 布立格斯以其他後半生的全部精力完成 了納皮爾及他自己的願望, 於1624年出版了 「對數算術」 一書。 其內容包括從1到20000 以及從90000到100000之間的以10為底的 14位常用對數表。 而20000到90000之間的 常用對數表到1628年才由荷蘭數學家佛拉哥 (Viacg, 1600-1667) 補足完成。 值得一提的 是, 在17世紀中葉, 對數傳入我國, 但當時我 國數學家對對數已有了深入的研究。 其中最 有影響的是清代數學戴煦 (1805-1860)著有 「求表捷術」 等。 這是中華民族數學史光輝的 一頁。 三. 為什麼以 e 為底的對數叫 做自然對數? 對數函數 y = loga x (a > 0 且 a 6= 1) 的導數 y′ = 1 x loga e, 對於 a = e 時, 便有 y′ = 1 x 。 即當 y = ln x 時, 有 y′ = (ln x)′ = 1 x 。 而且, 只有 ln x 的導數才 等於 1 x , 其它代數函數 (如 y = xn 等) 的導 數是不可能等於 1 x 的。 這就是說, 代數函數 (如 y = xn 等) 不能得到微分為 x−1dx 的 形式。 積分是微分的逆運算, 所以 ∫ dx x = lnx + c。 就是說, 一個分式的分子是分母 的微分, 此分式的積分就是分母以 e 為底的 對數。 只要形狀呈 ∫ f ′(x)dx f(x) = ∫ df(x) f(x) , 則 ∫ f ′(x)dx f(x) = ln |f(x)|+c, 這反映了自然界的 現象有種種函數關係, 而要確立變量之間的 函數關係往往需要確立函數的導數或微分的 關係式。即微分方程通過解這種方程,得出所 要求的函數關係。 若方程中存在著 ∫ f ′(x)dx f(x) 的項, 那麼積分後便會出現以 e 為底的對數。 而且, 反映自然界規律的函數關係, 總是以指 數形式或對數形式出現的, 所以必定是以 e 為底的對數。 最能說明以 e 為底的指數或對 數和自然界的關係是自然界的複利律。 我們 知道, (ex)′ = ex, 即 ex 的導數等於其本 身。 而且一個函數其導數等於其本身的也只 有 ex。 所以, 若發現一個函數 y, 其導數 (變 化率) 與函數本身成正比, 那麼, 我們便可斷 定所研究的函數一定是以 e 為底的指數函數 或對數函數。 即若 dy dx = ±ay, 則 y = ceax 或 y = ce−ax (其中 a, c 均為常數)。 若函數 的數量是增加, 則為正; 是減少的則為負。 由 此可知, 若寫成對數形式, 則是以 e 為底的 對數除一些經驗式外, 一般不可能有其它正 數為底的指數或對數出現。 人們把以 e 為底 的對數稱作自然對數也就源於此。而“e”作為 數學符號使用最早的人是歐拉,為紀念他, 才 確定用“e”作為自然對數的底數。 四. 自然對數表的編製 若把對數函數 ln(1 + x) 展開成台勞級 自然對數漫談 75 數: ln(1 + x) = x− x 2 2 + x3 3 − x 4 4 + · · · (−1 < x ≤ 1), 把 x 換成 −x, 便有 ln(1− x) =−x− x 2 2 − x 3 3 − x 4 4 − · · · (−1 ≤ x < 1), ∴ ln 1 + x 1− x = 2(x + x3 3 + x5 5 + · · ·) (−1 < x < 1), 設 k 是任意自然數, 命 x = 1 2k+1 < 1, 則 1+x 1−x = k+1 k 。 ∴ ln k + 1 k = 2 [ 1 2k + 1 + 1 3(2k + 1)3 + 1 5(2k + 1)5 + · · · ] , 或 ln(k + 1) = ln k+2 [ 1 2k + 1 + 1 3(2k + 1)3 + 1 5(2k + 1)5 + · · · ] 。 根據這個公式, 從 ln 1 = 0 出發, 就可以 循環地計算出所有自然數的自然對數。 如果 取前六項來計算近似值, 誤差是: R6 = [ 1 13(2k + 1)13 + 1 15(2k + 1)15 + 1 17(2k + 1)17 + · · · ] < 2 13(2k + 1)13 [ 1 + 1 (2k + 1)2 + 1 (2k + 1)4 + · · · ] = 2 13(2k + 1)13 · 1 1− 1 (2k+1)2 = 2 13(2k + 1)11 · 1 4k2 + 4k < 2 13 · 1311 · 8 = 1.0856× 10−7。 因此取前六項來計算自然對數的近似值 時, 能夠精確到小數第六位。 這就是說, 要編 製六位自然對數表,取前六項就已夠了。當然 在循環計算中, 誤差還會累加, 因此還應該多 取幾項。 我們只要編製出以 e 為底的自然對數 表, 其他對數表只要乘以變換模就可以了。 參考文獻 1. 莫一, 納皮爾與對數的發明, 華中師院 (1984), 武漢市, 「數學通訊」, 八四年第四期, p18。 2. 祝梁濟, 淺談自然對數, 北京市, 「數學通報」, 一九八二年第二期, p19。 —本文作者任教於中國福建省泉州市仰恩大 學—