4.位移电流 麦氏方程组

1 H.YinH.Yin 上节课主要内容 自感系数 i dIL dt ε= −L I= ψ 12 1 M I Ψ= dt dIM 1 2ε−=互感系数 线圈中的磁场能量： 2 2 1 LIWm = 磁场能量密度： HBwm vv ⋅= 2 1 ∫= 磁场空间 dVwW mm 电磁场中 HBEDw rrrr ⋅+⋅= 2 1 2 1 H.YinH.Yin §9.6 位移电流 i i ++ + ++ + C S 问题：问题：在电流非稳恒状态 下安培环路定律的形式？ l S =⋅∫l ldB vv ⎩⎨ ⎧ )(0 面Siμ )(0 面S′ ? + + + + + + + + + II E r 0q 0q− H.YinH.Yin + 平行板电容器内部的均匀电场中： S q D 0== σ 穿过S2的电位移通量： dΦ DS= 0q= 导体中流过截面S1的传导电流：cI dt dq0= dt d dΦ= dI= 将电位移通量的时间变化率看作一种电流，电路连续 麦克斯韦把这种电流称为位移电流，记作 Id + + + + + + + + + II E r 0q 0q− 2S1S H.YinH.Yin 位移电流密度 t Djd ∂ ∂= vv d d dI dt Φ= S d D dS dt = ⋅∫∫ vv S D dSt∂= ⋅∂∫∫ v v dS j dS= ⋅∫∫ v v 0D Eε=Q真空中： dt dI ed Φ= 0ε0d Ej tε ∂∴ = ∂ vv 如果一个面积S上既有传导电流Ic通过，同时又有变 化的电场存在，则沿此面积边线L的磁场的环流： 0 0cS S Ej dS dS t μ ε⎛ ⎞∂= ⋅ + ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫∫ ∫∫ r rvv 0 ( )c dl B dl I Iμ⋅ = +∫ rr� 0 2 1 cS S Ej dS dS c t μ ∂= ⋅ + ⋅∂∫∫ ∫∫ r rvv 00 1 εμ=c 一、位移电流密度 考虑真空中 H.YinH.Yin (3) 位移电流与传导电流的区别: 位移电流是变化的电场，在导体中没有热效应。 但是具有同样的磁效应 由位移电流产生的磁场也是有旋场 构成右旋关系。与B t E v v ∂ ∂ (1) 在一般情况下，通过一个横截面同时存在传导 电流、运流电流及位移电流。这三电流之和称为全 电流。空间全电流连续。 说 明 (2) 安培环路定理中的B（H）是由全电流产生的 ，包括没有和环路绞合的全电流。 E t ∂ ∂ r B r （不包括磁化电流） H.YinH.Yin 1 2L L H dl H dl⋅ < ⋅∫ ∫r rr r� � 如图，当平板电容器(忽略边缘效应)充电时，比较 沿环路L1、L2的磁场强度H 的环流的大小。辅导P214:5 1L 2L S 1S 解： IldH L =⋅∫ 2 rr 1 d L H dl I⋅ = ∑∫ rr� 1S I I S = <1dI SS= 讨论题 2 H.YinH.Yin 例、半径为R的平行板电容器接在电源两端，电路 中的电流变化满足 ，忽略边缘效应，tIi ωsin0= （1）求两极板间位移电流的大小 （2）求两极板间，离中心轴线距离r处的磁感应强度。 解：板间位移电流密度： d dDj dt = d dt σ= d q dt S ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 dq S dt = 1 i S = d dS I j dS= ⋅∫∫ v v dS j dS= ∫∫ d Sj dS= ∫∫ SiS ⋅= 1 i= 位移电流的计算 H.YinH.Yin （2）由安培环路定理： )(0 dcL IIldB +=⋅∫ μvv 作如图所示有向环路 ∫ ⋅L ldB vv ∫= LBdl ∫= LdlB rB π2= )(2 0 dc IIrB +=⋅ μπ Rr < 20 2 rj r B dππ μ= tI R r B ωπ μ sin 2 02 0=内 2R ijd π= Rr > r i B π μ 2 0= tI r B ωπ μ sin 2 0 0=外 安培环路定理求磁场 H.YinH.Yin 0S V D dS dVρ⋅ =∫∫ ∫∫∫rr� L S BE dl dS t ∂⋅ = − ⋅∂∫ ∫∫ rr rr� 0 S B dS⋅ =∫∫ rr� cL S S DH dl j dS dS t ∂⋅ = ⋅ + ⋅∂∫ ∫∫ ∫∫ rr rr v� 二、麦克斯韦方程组 四个场方程： H.YinH.Yin 1. 完善了宏观的电磁场理论 ED rr ε= HB rr μ= J Eγ=r r 方程组在任何惯性系中形式相同 确定的边界条件 下解方程组 BvqEqf rrrr ×+=还有 介质方程 洛仑兹不变式 2. 预言了电磁波 2 EB c υ ×= rrr 麦克斯韦的贡献 H.YinH.Yin 基本要求 一、熟练运用法拉第电磁感应定律计算回路感应电 动势，并利用楞次定律确定感应电动势的方向 二、掌握计算动生电动势和感生电动势的方法 三、了解自感和互感 四、会计算磁场能量 五、熟悉麦克斯韦方程组、了解其物理意义 电磁感应复习 H.YinH.Yin 在某时刻，半径R的无限长 通电螺线管的截面上的磁场方 向如图。两根金属棒长为 2R，一根放在圆柱截面的直 径位置，另一根放在圆柱体外。 两根金属棒又分别用导线和电 流计连成回路。当磁感应强度 以 变化时，试问金 属棒AA1，BB1的电动势和流 过各回路的电流哪个等于零？ 哪个不等于零？ 0dB dt ≠ 讨论题 × × × × × × × × G G A A1 B B1 1i 2i 1ε 2ε 1 20, 0ε ε= ≠ 1 20, 0i i≠ = 3 H.YinH.Yin 长直导线通有电流 teII λ−= 0 ，一矩形线框以速度 v向右运动，求此时线框内的感应电动势。 I v 2l 1l a r dr 例题 H.YinH.Yin 由楞次定律，可判断出感应电 动势沿顺时针方向 某一瞬时，磁通量为 Φ = ⋅∫ vvB dS 2 0 12 ( ) a l a I t l dr r μ π + = ∫ 0 2 1 ( ) ln 2 += I t a ll a μ π I v 2l 1l a r dr da v dt = 0 1 2 2 2 ( ) ln ( ) lni l a l a ld dI t dI t dt dt a dt a με π + +Φ ⎡ ⎤= − = − ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦ 0 0 1 2 2 22 ln ( ) tI l a l vl e a a a l λμ λπ −⎡ ⎤+= ⋅ +⎢ ⎥+⎣ ⎦ 例解 注意: d BdS BldrΦ = = i d drBl dt dt ε Φ= − = − 2 1 + = ∫ a l a Bl dr H.YinH.Yin 如图所示，一直角三 角形abc回路放在一磁感强 度为B的均匀磁场中，磁场 的方向与直角边 ab平行， 回路绕ab边以匀角速度ω 旋转，则ac边中的动生电 动势为_______________， 整个回路产生的动生电动 势为_________________。 测试题1 a b c l ω 30° B v 2 21 1 2 8 Bbc Blω ω= 0 H.YinH.Yin 测试题2 )sin(0 tII ω=如图所示，一长直导线通有电流强度为 的交变电流，其旁放一边长为a的正方形线圈(长直 导线与正方形线圈共面)，正方形线圈的左边缘到 长直导线的距离为a ，求正方形线圈上感应电动势 的大小。 a a a I 2ln 22 0 2 0 π μ π μφ Iaadx x Ia a == ∫ d dt φε = − 0 0 cos( ) ln 2 2 a I tμ ω ω π= − x H.YinH.Yin 每边长为l的正方形ABCD区域 外无磁场，区域内有图示方向的 匀强磁场，磁感应强度随时间的 变化率为常量k。区域内有一个腰 长为l/2的等腰直角三角形导线框 架A'B'C'，直角边A'B'与AB边平 行，两者相距l/4，直角边B'C'与 BC平行，两者相距l/4。已知框架 A'B'C'总电阻为R，则感应电流强 度I = 。若将导线A'B' 和B'C'取走，留下导线A'C'在原 来位置，此时导线A'C'中的感应 电动势ε = 。 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • A B CD A' B' C' 4l 4l Rkl 82 0 测试题3 H.YinH.Yin 用长为l 的细金属丝OP和绝缘摆球P构成一个圆锥 摆，P作水平匀速圆周运动时金属丝与竖直线的夹角为 θ，如图所示，其中O为悬挂点。设在讨论的空间范围内 有水平方向的匀强磁场，磁感应强度为B，在摆球P的运 动过程中，金属丝上P点与O点间的最小电势差 为 ， P点与O点间的最大电势差为 。 × × × × × × × O P l θ B 1 2• 3• 4• ⊗υ 0 ω 2Bυ × rr r dr θ 测试题4 4 H.YinH.Yin × × × × × × × O P l θ B 1 2• 3• 4• ⊗υ ω 2Bυ × rr r dr θ (2)P O U B drυΔ = × ⋅∫ rr r (2) cos P O B drυ θ= ×∫ rr (2) cos P O B drυ θ= ∫ 0 sin cos l r B drω θ θ= ∫ 21 sin cos 2 Blω θ θ= 2tan sinnF mg m lθ ω θ= = 1 sin 2 U Bg θΔ = 测试题4 B r H.YinH.Yin 金属杆L，质量m，一端绕O轴无摩擦转动，另一 端于一细金属环上作无摩擦滑动，并且接触良好。若 在O端和金属环之间接一电阻R构成回路，现将整个 装置置于与环面垂直的均匀磁场B中，已知t=0时ω= ω0。求杆在任一时刻的角速度ω × × ××× ××× ××× BO ω0 R 测试题5 H.YinH.Yin t=0时，ω= ω0，金属环中的感应电流由环边指 向O dF dl段上受磁力dF如图 × × ××× ××× ××× BO ω0 R BIdldF ⋅= R I ε= 21 2 B Lω= 0 L l Bdlω= ∫ ldFdM ⋅−= lBdl R LB ⋅⋅−= 2 2ω L v B dlε = × ⋅∫ rrr dl 阻力矩 测试题5 H.YinH.Yin × × ××× ××× ××× BO ω0 R dl dF M Jβ= dt dmL ω2 3 1= =−∴ R LB 4 42ω dt dmL ω2 3 1 dt mR LBd t∫∫ −= 0 22 4 3 0 ω ω ω ω t mR LB e 4 3 0 22 −= ωω t→∞时 ω→0 2 2 0 2 L B LM ldl R ω= −∫ RLB4 42ω−= 2 2 B LdM dl B l R ω= − ⋅ ⋅ 测试题5 H.YinH.Yin 作 业 P437/ 9.27 9.28 9.29