求双曲线标准方程的技巧

求双曲线方程的技巧 求双曲线标准方程的技巧 在求双曲线标准方程时，如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算， 优化解题过程。下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。 一 双曲线的一般方程 例1 求经过点,的双曲线标准方程。 P3,27Q,62,7，，，， 2222xyyxb 双曲线的标准方程有两种形式:,,,(,,，,,)或,a2222abab b,,(,,，,,)，可以讨论解决。也可以应用下面的方法解决。 a 22解 设双曲线方程为，,,(,,)。因为所求双曲线经过点ABAxBy 9281,AB，,,11P3,27,Q,62,7，所以解得A,,，B,。故所求双曲，，，，,752572491.AB，,, 22yx线方程为,,,。 2575 求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时，为了避 22ABAx免讨论焦点的位置，一般设双曲线方程为，,,(,,)，这样可以简化运算。 By 二 等轴双曲线 AB例, 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与直线,,,交于两点、，xx2y 215AB且,。求此等轴双曲线的方程。 222xa分析 根据等轴双曲线的特点，可以设含有一个参数的方程,,(,,)，ay 求出即可。 a 222,xya,,,222ABxa解 设等轴双曲线方程为,,(,,)。由解得交点、ay,xy,,20., 2242aa,,,,2aa2aa215,,,,，AB的坐标分别为、。因为,,,,,,,a,,,,,,,,3333333,,,,,,,, 22215x，所以a,,。故所求双曲线方程为,,,。 y 2e说明 等轴双曲线是一类特殊的双曲线，它有一些特殊的性质，比如:离心率,， ,xy渐近线方程为,且互相垂直等等。 三 共焦点双曲线 22yx32,2例, 已知过点，且与双曲线,,,有共同焦点的双曲线的标准方，，416 程。 2x22分析 根据双曲线焦点与、的关系，有共同焦点的双曲线方程可设为,ab16,k 2ykk,,(,,,,16)，求出即可。 4，k 22xykk解 设双曲线方程为,,,(,,,,16)，将代入，得,32,2，，16,k4，k 22yx,。故所求双曲线方程为,,,。 128 2222xyxy说明 与双曲线,,,共焦点的双曲线方程可设为,,,(,2222abak,bk， 22xy22k,,)。根据椭圆与双曲线的关系，与椭圆，,,共焦点的双曲线方程可设ba22ab 22xy22k为,,,(b,,a)，请注意它们的区别。 22ak,bk, 四 共渐近线双曲线 22yx,3,23例4 求经过点，且与双曲线,,,有共同渐近线的双曲线方程。 ，，169 2222yyxx分析 因为双曲线,,,的两条渐近线方程为双曲线,,,，因此与161699 22yx,,它共渐近线的双曲线方程可示为双曲线,,(?,)。 169 22yx,,,,3,23解 设双曲线方程为,,(?,)，因为双曲线经过点，所以，，169 22222223，，,3，，x1y1yx,,,。故所求双曲线方程为,,，即,,,。 9441616499 4 说明 求共渐近线的双曲线方程也可以讨论焦点分别在两条坐标轴上的情况，以上解法避免了讨论过程，使解题更合理。另外，以已知双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。显然共轭双曲线有相同的渐近线，因此求共轭双曲线方程时可以采用这个方法。 五 同离心率的双曲线 22yx例5 求经过点，且与双曲线,,,的离心率相同的双曲线的标准方程。 2,0，，6416 22xyb分析 因为一条双曲线和双曲线,,,(,0，,0)离心率相同，那么它a22ab 22xy,的焦点可能在轴上，也可能在轴上。若焦点在轴上，它的方程可设为,,(yxxa22ab 22yxb,,b,0，,0，,,);若焦点在轴上，它的方程可设为,,(,0，,0，ya22ab ,,,)。 22yx,,解 (1)当所求双曲线的焦点在轴上时，它的方程可设为,,(,,)，x6416 21x2,将2,0代入，得,。此时所求双曲线的标准方程为,,,。 y，，164 22yx,,(,)当所求双曲线的焦点在轴上时，它的方程可设为,,(,,)，y6416 1,2,0将代入，得,,,,(舍去)。 ，，4 2x2故所求双曲线的标准方程为,,,。 y4 说明 已知同离心率与相同渐近线求双曲线方程的方法类似，请你比较它们的区别。 六 已知双曲线渐近线的双曲线 3x4,0例, 求一条渐近线方程为，,,，一个焦点是的双曲线方程。 4y，， xy3x分析 由，,,，得，,,，因此借助与共渐近线方程问题的方法，设所4y43 22yx,,,求双曲线方程为,,(?,)，求出即可。 916 22yx,,解x 根据题意，可设所求双曲线方程为,,(?,)。又因为焦点在轴916 2x16,16,9,,c上，所以,,。因为,,，所以，,16，解得,。故所求双曲线方程为25625 25 2y,,,。 144 25 22xyxyb,说明 渐近线方程为?,,或,?的双曲线方程可设为,,xy22abaab,,(?,)，然后确定的值。 因为求双曲线标准方程的条件是多种多样的，因此在解题时，一定要认真审题，弄清题意，根据条件选择适当的“方程形式”，解决问题。