向量与三角形内心外心重心垂心四心的概念介绍重心

向量与三角形内心外心重心垂心四心的概念介绍重心 O,ABCOA,OB,OC为的外心。 (4),向量与三角形内心、外心、重心、垂心 典型例: 一、四心的概念介绍 A、B、CO例1:是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足P(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; ,ABC， ，则点的轨迹一定通过的( ) P,，,,0,，,OP,OA，,(AB，AC)(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的 A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 距离相等; D、EBC、AC,ABC分析:如图所示，分别为边的中点. (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 A二、四心与向量的结合 ？AB，AC,2ADOP,OA，2,AD？ O,ABC(1)是的重心. OA，OB，OC,0,A EOA，OB，OC,OA，2OD,0AO,2OD？？ // ？OP,OA，AP？AP,2,AD？APAD A、O、DOAD三点共线，且分为2:1 ？,ABCCP点的轨迹一定通过的重心，即选. ？EO,ABCO是的重心 ？A、B、CO例2:(03全国理4)是平面上一定点，是平BDCO,ABC(2)为的垂心. OA,OB,OB,OC,OC,OA,P面上不共线的三个点，动点满足证明:如图O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BDCABACBC， D、E是垂足. ,ABCPOP,OA，,(，)， ，则点的轨一定通过的,，,,0,，, ABACA OA,OB,OB,OC,OB(OA,OC),OB,CA,0 ( B )A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 E,OB,AC同理，OC,AB OA,BCABAC？、AB、AC分析:分别为方向上的单位向量， O O,ABCABAC为的垂心 , b,(3)设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心 acABACBDC,ABC，BAC,ABC，PBaOA，bOB，cOC,0,O为的内心. 平分,点的轨迹一定通过的内心，即选. ？？ ABACABACAB、AC？、证明:分别为方向上的单位向量， A、B、COP例3:是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足cb ABACbcABACABAC，BAC,,POP,OA，,(，)，，,，平分,)，令 ，,,0,，, ，则点的轨迹一定通过？？AO,,(a，b，ccbcbABcosBACcosC bcABAC,ABCAO,，() 的( )A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 ？a，b，ccb aOA，bOB，cOC,0化简得 ？(a，b，c)OA，bAB，cAC,0 分析:如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、A,,，若实数满足:，则的值为 PA，PB，PC,0AB，AC,,APE是垂足. 3ABACEA(2 B( C(3 D(6 (，),BC2ABcosBACcosC ,ABC2(若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则( ) OA，OB，OC,0OA,OB,AB,BCAC,BC，= 11BDCA( B(0 C(1 D( ,ABcosBACcosC22 O,ABC,ABC,ABBCcosBACBCcosC3(点在内部且满足，则面积与凹四边形OA，2OB，2OC,0 ，,BCBC==+=0 354ABcosBACcosCABOC面积之比是( )A(0 B( C( D( 243 ,ABCPD 点的轨迹一定通过的垂心，即选. ？,ABC,ABCH4(的外接圆的圆心为O，若，则是的( ) OH,OA，OB，OC综合运用 ,,,,,,,,,,,,,,,,A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 ABC ABC若O点是的外心, H点是的垂心,且, OHmOAOBOC,，，()222A、B、CO 5(是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若 OA，BC,OB求实数m的值. [思路分析]许多学生在解答此类题时，只能用特殊值的方法解决.要求学生能够充分222O,ABC，则是的A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 ，CA,OC，AB利用本节提到的一些基础知识及相关性质解题. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ABC6(的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，[解答过程]由,得, OHmOAOBOC,，，()OHOAmOAOBOCOA,,，，,() ，则实数m = OH,m(OA，OB，OC), 于是= , (m,1)OA，m(OB，OC)HA????ABACABAC1???,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7((06陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )?BC=0且 ? = , 则????2(关键点) HABCmOABCmOBOCBC ,,，，(1)()|AB||AC||AB||AC| ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?ABC为( ) HABC ,0即由题意,知,及HABCmOABCmOBOCOCOB ,,，，,(1)()()A(三边均不相等的三角形 B(直角三角形C(等腰非等边三角形 D(等边三角形 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2OABC ,0,从而,其中,因此()()0OBOCOCOB，,, (1)0mOABC,, A、B、C,ABC8(已知三个顶点，若，则AB,AB,AC，AB,CB，BC,CA ,ABC为( ) mm,,,10,1即. A(等腰三角形 B(等腰直角三角形C(直角三角形 D(既非等腰又非直角三角形 A、B、C,ABCP练习:1(已知三个顶点及平面内一点，满足练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C