【doc】反对称矩阵行列式的性质

反对称矩阵行列式的性质 2007年 第六期 赣南师范学院 JournalofGannanNormalUniversity ?.6 Dec.2Oar7 反对称矩阵行列式的性质 谢良金 (江西应用技术职业学院,江西赣州341000) 摘要:讨论了反对称矩阵行列式,特征值,余子式及代数余子式的一些性质. 关键词:反对称矩阵;特征值;性质 中图分类号:0151.21文献标识码:A文章编号:1004—8332(2007)06—0034—02 文献[1]中给出了反对称矩阵的概念以及反对称矩阵行列式的某些性质,文献[2—4]中给出了对称矩 阵的一些性质,在文献[4]中还讨论了反对称矩阵的某些性质.本文进一步探讨反对称矩阵行列式,特征值, 余子式及代数余子式方面的性质,从而得到与对称矩阵类似的性质. 1主要结论及其 命题1实的反对称矩阵的特征值为纯虚数或零. 证明设A是实反对称矩阵,Aa=Aa,a为特征向量,则A==a=a,即 = 半=盟:一盟,得+A=0,ReA=0.所以A为纯虚数或零.OL.OLOLOLOLOL 命题2设A是反对称矩阵A的特征值,则一A也是A的特征值. 证明由于A是反对称矩阵A的特征值,所以A=一A,IAE—AI=0,从而I—AE—AI=I(一AE+ A)I=I—AE+AI=(一1)IAE—AI=0,其中n是A的阶数,所以一A也是A的特征值. 推论奇数阶反对称方阵行列式的值为零. 证法1设A为n阶反对称矩阵,n为奇数.由于A=一A,则IAI=I—AI=(一1)IAI=一 IAI,另 一 方面,IAI=IAI,所以IAI=I—AI,即IAI=0. 证法2由命题2及A为奇数阶反对称矩阵知,A一定有一个特征值为零,从而 IAI=0. 命题3若偶数阶反对称方阵的行列式的每一个元素都加上同一个数A,行列式的 值不变. 证明设A=(口)为反对称矩阵,n为偶数,A为任意一个数.则 其中?= ?(A)= 0+A — a12+A — a1+A lAA 00+Aa12+A 0一a124A0+A 0一a1+A—a2+A lAA 一 10口l2 — 1一a120 — 1一a1n—a2 阶反对称矩阵行列式的入倍) a12+A 0+A — a2+A lA — l0 — 1一a12 — 1一a1 … Al …口,J …口2I=A :l … 0} A a1+A a2+A 0+A a1+A a2+A 0+A (利用加边法)= (第一行乘以一1加到其余各行)= A…Al 口,…口, 1 0…口2I_?1+?2. ::l'. I — a2…01 0ll…l 一 10a12…a1 一 1一a120…a2 1一a1一n2…0 =0,(因为?是n+1(奇数) +收稿日期:2007—09—26修回日期:2007一l0—23 作者简介:谢良金(1964一),男,江话应用技术学院讲师,主要从事高等数学方面的 教学与研究 第6期谢良金反对称矩阵行列式的性质35 ?2= 1OO 一 10a12 — 1一a120 — 1一a1n—a2n = IAI(按第一行展开) 贝0zx(A)=II. 例设为偶数阶反对称矩阵,其主对角线上方的元素都为常数d,求II. 解按命题2中的记号,有?(一d)=II,而?(一d)中,主对角线上方的元素全为0,从而 ?(一d)= (一d):d(n为偶数),所以IAI=d. 命题4设=(口)…为反对称矩阵,M表示元素口的余子式,则有=(一1.-iM 证明设=(aq)…为反对称矩阵,M表示元素口的余子式, M= M= 0…a】, i-IallaI . 1+i…0】 . j-]al, J+1…01n ;!;: 一 a1. 1…0a1. 1 a1 , l+1…al一 1.j-iai一 1,J+1…口l一 1.n — a1 . +1…一a1 , +1一al ,+1 0…al+】, J一1口+1. J+1…口+1 , n !!;! 一 a1. 一 1…一al, j-1一a1. ?一1ai+1.一 1…0一 1,,,l…aj— l,n — alj…一ai一1,. 』一口 . J—ai+t . J…一aj一1J, j+l… 一 alJ+1…一al一1J+1一a,, +1一al+1 . ?+l…一aj一1 ,J+1 0…+1 , n j:!; 一 a1n…一a一 1,n—a—al+1 , n …一 一1.n—+l, n … 0 0…a1, 一 】a1. H】…aI , J一1auaI, J+l…口1n ??????. ??????? 一 a1.一 1…0ai_ 1.,+1…口卜J一 1口卜J口l一 】.J+1…口卜1 , n — a1. +1…一al一 1.1+】 0…一口,+,J一 1口l+J口HJ1…ai+】 , n !:;!!; 一 a1一 1…一a】J一 1一ai+1J一】…0一一1J—ai一1J+】…aj一1, n — a1J+1…一a1J+】一ai+lJ+l…一一】J+1一J+1O…aj+1 . n !j:;::; 一 a1n…一a1.n — aH1.n …一aj一1, n—aj.n — aj+l, n … 0 观察行列式的转置行列式与便知:=(一1)'M,另一方面,由于行列式与它的转置行列式 值相等,则^=,于是有=(一1)M. 推论1设A=(a)…为偶数阶反对称矩阵,表示元素a的余子式,则M=0(1in). 推论2设A=(a.)…为偶数阶反对称矩阵,Ai表示元素a的代数余子式,则A=一,.(1isJ.s n),特别,A:0(:1,2,…,n). 推论3设A=(口)…为偶数阶反对称矩阵,表示元素口的代数余子式,则?A=01曼lJ 参考文献: [1]钱椿林,线性代数[M],北京:高等教育出版社,2000:78—79, 【2]萼芳.高等代数题解[M].北京:北京大学出版社,1983:196,228—235. [3】程云鹏.矩阵论[M].西安:西北工业大学出版社,2005:97—99, f41黄琳.系统与j卒制理论中的线性代数fM],北京:科学出版社,1984:159—198. TheCharactersoftheAnti-symmetricMatrixDeterminants XIELiang-jin (JiangXiCollegeofAppliedTechnology,Gan,zhou341ooo,China) Abstract:Inthispaper,wedisscussthepropertiesoftheeigenvahlse,complementarydenterm inantandalgebraiccomplementary deteminantofanti—symmetricmatrices. Keys:anti—symmetricmatrix;eigenvalue;characters nnOO