数学建模作业

数学建模作业 学号:09291048 姓名:排如克.努尔敦 班级:电气0902 指导老师:范秉理 1 1.设某产品的供给函数与需求函数皆为线性函数:,(p)f(p),(p),3p，4,f(p),,kp，9其中为商品单价，试p k推导满足什么条件使市场稳定。 解:设Pn表示t=n时的市场价格，由供求平衡可知: ,(p),f(p) 2分 n,1n 3p，4,,kp，9 n,1n 35 pp,,，nn,1即:经递推有: kk ,3355 pp,,(,，)，？nn,2kkkk n,1nn335 6分 ,(,),p，(,),0,kkkn,1 p表示初始时的市场价格 0 3,,,,1时,即0k3,则p收敛,即市场稳定当n??时:若 10分 nk 2.某植物园的植物基因型为AA、Aa、aa，人们用AA型植物与每种基 因型植物相结合的培育后代(遗传方式为常染色体遗传)，经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形,总体趋势如何, 2 解:依题意设未杂交时aa 、Aa、AA的分布分别为，杂交na,b,c000代后分别为an bn cn (向为白分手) , 000,,,，,，,aabcnn,1n,1n,1 ,1,0,，，,babc,nn,1n,1n,12由遗传学原理有: 4分 ,1,0,,，，cabcnn,1n,1n,1,2, ，，Tx,(a.b.c)x,M,X设向量 nn,1nnnn,,000 ,,1 M,10,, n2,,式中 递推可得: X,M,X0n1,,01 ,,2，，000，， ,,1 ,,00,, 其相似对角对M矩阵进行相似对角化后可得: 2,,001，， 100，， ,,,1210p,,,,p阵 ,, ,,111，， ,，，nn1Mpp,,,,,000 ,,100100，，，，11nn,1n,1,()()01,,从而 ，，M,,,,0n,,,,210()210122,,,,,,,,2，，11n,1n,1,,,,,,111111,,，，，，1()1()1,,，，22a,0n 11n,1n,1b,a()，b()，0n0022 8分 11n,n,11c,c，(1,()),a，(1,()),bn00022 a,0,b,0,c,1n,,当时，。 10分 nnn 3 3.试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什么, 解:人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M，当前人口数量为N(t)，r 为比例系数。建立模型: dN(t)N(t),r,(1,),N(t) dtM N|,N 4分 t,00 NmN(t),求解得到 6分 N,rtm1，(,1)e N0 N(t)r,(1,),rN(t),M注意到当时，并说明r即为自然增长率。 M 4.1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。谁料，DDT同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。 解:依据题意，设介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t), dx,,ax,bxy,dt,则有数模方程组:(1)式中a b c f均大dy,,,cy，f，y dt, 于零。 4分 4 dxax,bxy,解方程组(1) dy,cy，f，y (a,by)dyfx,c,dxalny，clnx,fx，by，k得: yx acfx，by,yxek,,， acy,x ,,k(3) fcbye,e 式(3)给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期(T>0)的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值 T,11xT,11yy(a)dt,,,x,(，c)dt则有 6分 ,,00TfyTbx cc x=+[lny(T)lny(0)]= ff aa y=+[ln×(T)ln×(0)]= bb 当使用杀虫剂DDT后，设杀死介壳虫，，澳洲瓢虫 ,,x(t),,y(t) dx,,,,ax,x,bxy,(a,)x,bxy,dt,dy则有模型为: ,,,,,cy,y，fxy,,(c，)y，fxy dt, ca，,,, xy,,显然此时有: fb 即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。 10分 5.根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为0.9, 5 出现高水水情的概 率为0.05，出现洪水水情的概率为0.05。位于江边的某工 地对其大型施工设备拟定三个处置方案: (1) 运走，需支付运费15万元。 (2) 修堤坝保护，需支付修坝费5万元。 (3) 不作任何防范，不需任何支出。 若采用方案(1)，那么无论出现任何水情都不会遭受损 失;若采用方案(2)，则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损 失400万元的设备;若采用方案(3)，那么当出现平水水位 时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失200万 元，发生洪水时损失设备400万元。根据上述条件，选择最 佳决策方案。 解:我们利用数学期望来评判方案的优劣: 运走 -15 不发生洪水 0.95 -5 A -15 修坝 B 发生洪水 0.05 -405 平水 0.9 0 C 高水 0.05 -200 洪水 0.05 -400 E(A)=-15 (2分) E(B)=0.95×(-5)+0.05×(-405)= -25 (5分) E(C)=0×0.75+(-200)×0.05+0.05×(-400)=-30 (8分) 所以-E(A)< -E(B)< -E(C)，因而A方案是最佳决策方案。 (10分) 6.某厂按须于当年每个季度末分别提供 10,15,25,20台同一的 柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成 6 本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元，建立一个数学模型(不要求求解)，要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产(包括储存、维护)费用最小。 季度 生产能力三位成本(万 (台) 元/台) 一 25 10.8 二 35 11.1 三 30 11.0 四 10 11.3 ix解:设为第季度生产的用于第季度交货的柴油机的台数，则jij x=1011 x+x=151222 由题意 : (3分) x+x+x=25132333 x+x+x+x=2014243444 x10<44 xx+<303334 又由生产能力的要求，有 (6分) xxx++<35222324 xxxx+++<2511121314 icj再设表示第季度生产的用于第季度交货的每台柴油机的实际成ij 本，其值如下表: i 1 2 3 4 j 1 10.8 10.95 11.10 11.25 7 2 11.10 11.25 11.40 3 11 11.15 4 11.30 i设表示第j季度的生产能力，表示第季度的合同供应量，则建baji 4s..tx?a?ijij=1 444x=b?ijjminz=cx??立本问题模型: i=(10分) 1ijijij==11 x?0ij 7.考虑某地区影响青年生长发育主要因素分析。已知13岁至18岁各年龄组的四项指标为——生长发育不良的比率;X0 ——五项身体素质不及格的比率;——营养不良比率;XX12 ——患病比率，数据见下表: X3 年龄 13 14 15 16 17 18 X040.39 46.08 47.06 47.26 48.98 49.06 X132.29 34.31 33.33 35.40 37.68 42.16 X237.25 37.25 25.50 12.75 9.8 16.67 X36.36 8.23 9.36 7.3 5.2 6.5 请利用关联分析法分析影响发育的三项指标哪个对生长发 ,,0.5育不良影响大,分辨系数. 解:(1)进行初始化处理 40.3946.0847.0647.2648.98949.06X=(,,,,,,)040.3940.3940.3940.3940.3940.39 (2分) =(1.,1.1409,1.1651,1.1701,1.2127,1.2147) 8 X=(1,1.0626,1.0322,1.0963,1.1669,1.3057)0 同理得到 XX及， (5分) 32 (2)利用公式 +X(k)X(k)ρX(k)X(k)minminmaxmax0i0iikiiki=ξ(k)i+X(k)X(k)ρX(k)X(k)maxmax0i0iiki ξ=(1,0.86,0.78,0.87,0.91,0.84)计算各个关联系数: 1 ξ=(1,0.77,0.5,0.36,0.33,0.38) 2 ξ=(1,0.76,0.61,0.96,0.55,0.71) (8分) 3 (3)计算关联度 n1r=0.558r=0.763r=0.876r=kξ()?利用公式得到，，从321iik=1n 而即五项身体素质不及格的比率对生长发育不良的比率影响最大。 X1 9