趣味数学故事：火柴游戏

趣味数学故事：火柴游戏 趣味数学故事:火柴游戏 一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩，先置若干支火柴於桌上，两人轮流取，每次所取的数目可先作一些限制，规定取走最後一根火柴者获胜。 规则一:若限制每次所取的火柴数目最少一根，最多三根，则如何玩才可致胜, 例如:桌面上有n=15根火柴，甲)乙两人轮流取，甲先取，则甲应如何取才能致胜, 为了要取得最後一根，甲必须最後留下零根火柴给乙，故在最後一步之前的轮取中，甲不能留下1根或2根或3根，否则乙就可以全部取走而获胜。如果留下4根，则乙不能全取，则不管乙取几根(1或2或3)，甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏。同理，若桌上留有8根火柴让乙去取，则无论乙如何取，甲都可使这一次轮取後留下4根火柴，最後也一定是甲获胜。由上之分析可知，甲只要使得桌面上的火柴数为4)8)12)16...等让乙去取，则甲必稳操胜券。因此若原先桌面上的火柴数为15，则甲应取3根。(?15-3=12)若原先桌面上的火柴数为18呢,则甲应先取2根(?18-2=16)。 规则二:限制每次所取的火柴数目为1至4根，则又如何致胜, 原则:若甲先取，则甲每次取时，须留5的倍数的火柴给乙去取。 通则:有n支火柴，每次可取1至k支，则甲每次取後所留的火柴数目必须为k+1之倍数。 规则三:限制每次所取的火柴数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如1)3)7，则又该如何玩法, 分析:1)3)7均为奇数，由於目标为0，而0为偶数，所以先取者甲，须使桌上的火柴数为偶数，因为乙在偶数的火柴数中，不可能再取去1)3)7根火柴後获得0，但假使如此也不能保证甲必赢，因为甲对於火柴数的奇或偶，也是无法依照己意来控制的。因为〔偶-奇=奇，奇-奇=偶〕，所以每次取後，桌上的火柴数奇偶相反。若开始时是奇数，如17，甲先取，则不论甲取多少(1或3或7)，剩下的便是偶数，乙随後又把偶数变成奇数，甲又把奇数回覆到偶数，最後甲是注定为赢家;反之，若开始时为偶数，则甲注定会输。 通则:开局是奇数，先取者必胜;反之，若开局为偶数，则先取者会输。 规则四:限制每次所取的火柴数是1或4(一个奇数，一个偶数)。 分析:如前规则二，若甲先取，则甲每次取时留5的倍数的火柴给乙去取，则甲必胜。此外，若甲留给乙取的火柴数为5之倍数加2时，甲也可赢得游戏，因为玩的时候可以控制每轮所取的火柴数为5(若乙取1，甲则取4;若乙取4，则甲取1)，最後剩下2根，那时乙只能取1，甲便可取得最後一根而获胜。 通则:若甲先取，则甲每次取时所留火柴数为5之倍数或5的倍数加2。