△fab的周长最大值为12 则该椭圆的离心率

△fab的周长最大值为12 则该椭圆的离心率 2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学文史类四川卷 参考公式: 如果事件 A、B 互斥，那么 PA，B,PA，PB 如果事件 A、B 相互独立，那么 PAB,PAPB 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k次的概率 , Pnk, C k pk1,pn kk,012，…，n n 球的面积公式 S,4πR2 其中 R 表示球的半径 4 3 球的体积公式 V, πR 3 其中 R 表示球的半径 第一部分 选择 共 60 分 本部分共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分( 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( 1(设集合 A,a，b，B,b，c，d，则 A?B, A(b B(b，c，d C(a，c，d D(a，b，c，d 2( 1，x7 的展开式中 x2 的系数是 A(42 B(35 C(28 D(21 3(交通管理部门为了解机动车驾驶员简称驾驶员对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查(假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员96 人(若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12212543，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 A(101 B(808 C(1 212 D(2 012 4( y,ax,aa,0，且 a?1的图象可能是 5(如图，正方形 ABCD 的边长为 1， 使 延长 BA 至 E， AE,1，连结 EC， 则 ED， sin?CED, 3 10 10 A( B( 10 10 5 5 C( D( 10 15 6(下列命题正确的是 A(若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B(若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C(若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D(若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 a b 7(设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是 a b A(a,,b B(a‖b C(a,2b D(a‖b 且a,b x y ? 3， x 2 y ? 12， 8(若变量 x，y 满足约束条件 2 x y ? 12， z,3x，4y 的最大值是 则 x ? 0， y ? 0， A(12 B(26 C(28 D(33 9(已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M2，y0(若点 M到该抛物线焦点的距离为 3，则OM, A( 2 2 B( 2 3 C(4 D( 2 5 10(如图，半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 α 内，过点 O 作平面 α 的垂线交半球面于点 A，过圆 O 的直径 CD 作与平面 α 成 45?角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α 的距离最大的点为 B，该交线上的一点 P 满足?BOP,60?，则 A，P 两点间的球面距离为 2 πR A( Rarccos B( 4 4 3 πR C( Rarccos D( 3 3 11(方程 ay,b2x2，c 中的 a，b，c?,20123，且 a，b，c 互不相同(在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 A(28 条 B(32 条 C(36 条 D(48 条 12 设函数 fx,x,33，x,1，an是公差不为 0 的等差数列，fa1，fa2，…，fa7,14，则 a1，a2，…，a7, A(0 B(7 C(14 D(21 第二部分 非选择题 共 90 分 本部分共 10 小题，共 90 分( 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 1 13(函数 f x 的定义域是________(用区间表示 1 2x 14(如图，在正方体 ABCD,A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 CD，CC1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________( x2 y 2 15(椭圆 为定值，且 a gt 5 的左焦点为 F，直线 x,m 与椭圆相交于点 1 a a2 5A，B，?FAB 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是________( 16(设 a，b 为正实数(现有下列命题: ?若 a2,b2,1，则 a,b,1; 1 1 ?若 1 ，则 a,b,1; b a ?若 a b 1 ，则a,b,1; ?若a3,b3,1，则a,b,1. 其中的真命题有________(写出所有真命题的编号 三、解答题:本大题共 6 小题，共 75 分(解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 17(某居民小区有两个相互独立的安全防范系统简称系统A 和 B，系统 A 和系统 B 在 1任意时刻发生故障的概率分别为 和 p. 10 49 1若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求 p 的值; 50 2求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率( x x x 1 18(已知函数 f x sin cos . 2 cos 2 2 2 2 1求函数 fx的最小正周期和值域; 3 2 2若 f α ，求 sin2α 的值( 10 19(如图，在三棱锥 P,ABC 中，?APB90?，?PAB60?，ABBCCA，点 P 在平面 ABC 内的射影 O 在 AB 上( 1求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小; 2求二面角 B,AP,C 的大小( 20(已知数列an的前 n 项和为 Sn，常数 λ,0，且 λa1an,S1，Sn 对一切正整数 n 都成立( 1求数列an的通项公式; 1 2设 a1,0，λ,100.当 n 为何值时，数列 lg 的前 n 项和最大, an 21(如图，动点 M 与两定点 A,10，B10构成?MAB，且直线 MA，MB 的斜率之积为 4.设动点 M 的轨迹为 C( 1求轨迹 C 的方程; 2设直线 y,x，mm,0与 y 轴相交于点 P，与轨迹 C 相交于点 Q，R，且PQ,PR， PR 求 的取值范围( PQ an 22(已知 a 为正实数，n 为自然数，抛物线 y,,x2， 与 x 轴正半轴相交于点 A(设 2fn为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距( 1用 a 和 n 表示 fn; f n 1 n3 2求对所有 n 都有 ? 3 成立的 a 的最小值; f n 1 n 1 1 1 1 3 当 0 , a , 1 时 ， 比 较 … 与 f 1 f 2 f 2 f 4 f n f 2n f 1 f n 16 的大小，并说明理由( f 0 f 1 2 2( D 含 x2 的项是展开式中的第三项 T3, C7 x2,21x2，所以 x2 的系数是 21. 1(D A?B,a，b?b，c，d,a，b，c，d，故选 D( 96 N 3( B 四个社区抽取的总人数为 12，21，25，43,101，由分层抽样可知， ， 12 101解得 N,808.故选 B( 4(C 当 x,1 时，y,a,a,0，所以函数图象必过10点，只有 C 项满足(故选 C 项( π 5( B 因为四边形 ABCD 是正方形，且 AE,AD,1，所以?AED, . 4 5 2 5 在 Rt?EBC 中，EB,2，BC,1，所以 sin?BEC, ，cos?BEC, .sin?CED 5 5 π 2 2 2 2 5 5 10,sin ,?BEC, cos?BEC, sin?BEC, . 4 2 2 2 5 5 10 6(C 若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A 项不正确错; 如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧， 则经过这三个点的平面与这个平面相交，B 项不正确; 如图，平面 α?βb，a‖α，a‖β，直 线 a 作平面 ε?αc， 线 a 作平面 γ?βd， 过 过直 ?a‖α，?a‖c，?a‖β，?a‖d，?d‖c，?c α，d α，?d‖α，又?d β，?d‖b，?a‖b，C 项正确; 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，D 项不正确( a b a b 7(C 因为 ，则向量 与 是方向相同的单位向量，所以 a 与 b 共线同 a b a b a b向，即使 成立的充分条件为 C 项( a b 8(C 作出可行域如图五边形 OABCD 边界及其内部，作直线 l0:3x4y0，平移直线l0 经可行域内点 B 时，z 取最大值( x 2 y 12 由 得 B44， 2 x y 12 于是 zmax3×44×428，故选 C( p 9( B 由抛物线定义，知 ，2,3，所以 p,2，抛物线方程为 y2,4x.因为点 M2， 2y0在抛物线上，所以 y0 ? 2 2 ，故 OM 4 y0 2 3 . 2 10(A 过点 A 作 AH?平面 BCD，?平面 BCD 与底面所成的角为 45?，AO?平面 α，且点 B 为交线上与平面 α 的距离最大的点，?点 H 在 OB 上，且?AOB45?.过点 H 作 2HM?OP，垂足为 M，连接 AM，在等腰直角三角形 AOH 中，AHOH R .在 Rt?HOM 2 3 6中，?HOP60?，?HMOH R .在 Rt?AHM 中， 2 4 2 2 6 2 14 2 14AM AH 2 HM 2 R R R R ，则在 Rt?AMO 中， 4 16 16 4 14 Rsin?AOP 4 14 ， R 4 2 2 ?cos?AOP ，? ?AOP arccos ， 4 4 2 ?A，P 两点的球面距离为 Rarccos . 4 2 1 11( B 因为 a，b 不能为 0，先安排 a，b，有 A 4 种，c 有 C3 种，所以表示的抛物线共有 A 4 C3 36 条( 所以重复的抛物线有 C 2 C 2 4 条( 2 1 1 1 又因为当 b,?2 时， 2 都为 4， b 所以这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 36,4,32条(故选 B( 12( D 由 fa1，fa2，…，fa7,14 知，a1,33，a2,33，…，a7,33，a1，a2，…，a7,7,14.因为an是公差不为 0 的等差数列，所以a1,33，a2,33，…，a7,33，7a4,3,0. 因为a1,33，a7,33,a1,3，a7,3a1,32，a7,32,a1,3a7,3 1 3 , 2a4 3 a1 3 a7 32 a7 3 2 2 4 1 3 3 , 2a4 3a1 a7 2 a7 3 2 ， 2 2 4 1 3 2 3 令 2a1 a7 a7 3 ， 2 M 1 gt0 2 2 4 1 3 3 同理a2,33，a6,33,2a4,3a2, a6, 2， a6,32,a4,3M2， 2 2 4 1 3 2 3 a3,33，a5,33,2a4,3a3, a5, ， a5,32,a4,3M3， 2 2 4 a4,33,a4,3a4,32，其中 M2,0，M3,0， 所以a1,33，a2,33，…，a7,33，7a4,3 ,a4,3M1，a4,3M2，a4,3M3，a4,3a4,32，7a4,3 ,a4,3M1，M2，M3，a4,32，7,0， 因为 M1，M2，M3，a4,32，7,0 恒成立，所以 a4,3,0，a4,3，而 a1，a2，…，a7,7a4,21.故选 D( 1 13(答案:,?， 2 1 1 解析:?1,2x,0，? x lt ，?fx的定义域为,?， ( 2 2 14(答案:90? 解析:如图，以点 D 为原点，以 DA，DC，DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系 D,xyz. 设正方体的棱长为 2，则 MA1 ,2，,1，2， DN ,021， MA1 DN 0 ，故异面直线 A1M 与 ND 所成角为 90?. 2 15(答案: 3 解析:如图所示，设椭圆右焦点为 F1，AB 与 x 轴交于点 H，则AF2a,AF1，?ABF的周长为 2AF，2AH,22a,AF1，AH， ??AF1H 为直角三角形，?AF1,AH，仅当AF1,AH，即 F1 与 H 重合时，?AFB的周长最大，即最大周长为 2AF，AF1,4a,12，?a,3，而 b 5 ，?c,2，离心率 c 2e . a 3 16(答案:?? 1 解析:?a2,b2，1，?b2,0，?a2,1，故 a,1，而 a b ，?a,1，b,0， ab 1 1 1 2?a ， b , 1 ， ? lt 1 ， ?? 正 确 ; ? ? 当 b ， a , 2 时 ， 满 足 1， ab b a 31 1 3 1 1 ，而此时 a,b,1，??不正确;??a，b 为正实数，且 a b 1，b a 2 2不 妨 设 a , b ， 则 a b a b a b a b ， 而 a b 1 gt 1 ，? a b a b gt 1，??不正确; ??a， 是正实数， b 不妨设 a,b， 3,b3,a,ba2 ?a a b 3 3 1，b2，ab，?a,b, 2 2 ，?a3,1，b3,1，?a2,1，?a2，ab， a ab b 2 a ab b 2 1 1b2,1，则 0 lt 2 lt 1 ，? a,, 2 b lt 1 ，即a,b,1.同理，设 a,b， a ab b 2 a ab b 2也能得到a,b,1 的结论，故?正确( 17(解:1设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么 1 49 1 P C 1 p . 10 50 1 解得 p . 5 1 3 1 0 2理由题意，Pξ,0, C3 ， 10 1000 1 1 2 1 27 Pξ,1, C3 1 ， 10 10 1000 2 1 1 2 243 Pξ,2, C3 1 ， 10 10 1000 1 3 729 Pξ,3, C3 1 . 3 10 1000 所以，随机变量 ξ 的概率分布列为 ξ 0 1 2 3 1 27 243 729 P 1000 1000 1000 1000 故随机变量 ξ 的数学期望: 1 27 243 729 27 Eξ 0× 1× 2× 3× . 1000 1000 1000 1000 10 文设“系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件 D，那么 1 1 1 972 243 2 P D C3 × 1 2 1 3 . 10 10 10 1000 250 故系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243 .250 x x x 1 18(解:1由已知， f x sin cos 2 cos 2 2 2 2 1 π 1 1 2 , 1 cosx sinx cosx ( 2 2 2 2 4 2 2 所以 fx的最小正周期为 2π，值域 为 ， ( 2 2 2π3 2 f α 2由1知， cosα ， 2 4 10 π3 所以 cosα . 4 5 π π 所 以 sin2α,,cos ，2α,,cos2α， 2 4 π 18 7 ,1,2.