[研究生入学考试]学习微积分的入门

[研究生入学考试]学习微积分的入门 中战战战代;公元前国国世战,～我的庄周所著的《庄子》一战的“天下篇”国7 中～战有“一尺之～日取其半～万世不竭”～老庄哲中所有的无限可分性棰即学 和限思想～公元前极世战《墨战》中有了有战、无战、无限小;最小无,、无战大内4 ;最大无外,的定战和限、瞬战等念。战是朴素的、也是典型的限念。而极概很极概极 限理战便是微分的基战。学 古希战期;公元前腊世战,～阿基米德用接正多战形的周战战战战周战～而内来尽3 求得战周率愈愈好的近似战～也用一战串的三角形充抛物战的战形～以求得其来来填 面战。战是战法的古典例子之一～可以战是战分思想的起源。尽 世战～战多著名的家、天文家、物理家都战解上述战战战作了大量数学学学决几17 的究工作～如法的战战、笛战、战伯瓦、笛沙格～英的巴战、瓦里士～德的战研国卡国国 普勒～意大利的瓦列利等人都提出战多有建战的理战。战微战分的战立做出了战。卡很献 世战下半～在前人工作的基战上～英大科家牛战和德家布叶国学国数学莱17 尼茨分战在自己的度里自究和完成了微战分的战立工作～战然战只是十分初步国独研 的工作。 世战初～法科院的科家以柯西战首～战微战分的理战战行了战究～国学学学真研19 建立了限理战～后又战战德家战战斯特拉斯战一步的战格化～使限理战成战极来国数学极 了微战分的战定基战。才使微战分战一步的战展战。来 年～德家外战斯特拉斯造了一有战的战战函～造了国数学构个没数数即构1874 一有切战的战战曲战～战直战念是矛盾的。使人战战战到限念、战战性、可微条没与概它极概 性和收战性战战系的依战比人战想象的要深得多。外战斯特拉斯最战完成了战战系数奥数 更深刻的性战的理解～使得分析完全由战系战出～了知战理解和何直战数学数脱离几。 人战战自然的战战永战不止步～微战分战战科在战代也一直在战展着～人战战战微战会学 分的水平在不深化。断 ※ 微战分 学拉丁战意战用战战的小石战来数是究限、微分、战分和研极学学(Calculus, ) 无战战的一分支～成战了战代大育的重要战成部分。战史上～微战分曾战数个数学并学教 指无战小的战算。更本战的战～微战分是一战究战化的科～正如何是究空战学研学几学研的科一战。学 客战世界的一切事物～小至粒子～大至宇宙～始战都在战和战化着。因此在运数 学概运数学来中引入了战量的念后～就有可能把战战象用加以描述了。 由于函念的战生和用的加深～也由于科技战战展的需要～一战新的数概运学数 学几学学学数学分支就战解析何之后战生了～战就是微战分。微战分战战科在战展中的地位是十分重要的～可以战是战氏何后～全部中的最大的一战造。它欧几数学个 微战分在科、战战和工程战域被泛的战用～解那些战依代不学学学学广来决靠数学 能有效解的战战。微战分在代、三角和解析何的基战上建立起～决学数学学几学来并 包括微分、战分大分支。微分包括求战的算～是一套战于战化率的理战。学学两学数运 它数号学使得函、速度、加速度和曲战的斜率等均可用一套通用的符战行战战。战分～包括求战分的算～战定战和战算面战、战等提供一套通用的方法。微战分基本定理运体学 指出～微分和战分互战逆算～战也是战理战被战一成微战分的原因。我战可以以运两学两 者中任意一者战起点战战微战分～但是在中～微分一般先被引入。在更来学教学学会 深的战域中～微战分通数学学称学并研数学常被战分析～被定战战究函的科。 ※ 在高二上期的战战程中～我战战战了战和定战分～战始了战其战用的理学数学学数并 解和战战。其战～早在高中物理战始不久后的战中～我战就接到了微战分的原型学触—— 微元法。同当学学年的科家一战～我战也因物理上的战用需要～战始了战微战分的战战之旅。 借着战次研学学数学研究性战的契机～我战就了解一下微战分的战展战史～战战究战社会并战展的重要意战～本着“以史战战”的战度了解其中波折而有趣的战展战程～由此拓展自己的知战面～增添自己战微战分战的战学趣。 作战理科生～探究战程中的我战也能战合所战史知战、战战分析的方法～学培战自身人文素战～增强自身的战合素战～战高中战段的战史战上战战的学画号句战。 我战也战微战分在生活中就一些战战战战战用的一些究提研来高自己在以微战分的思想方法解战战的能决哪况哪会力～了解在些情～些战域用到微战分～战一步加深战微战分的战战。 另研极参与一方面～在战行小战战战、共同究的战候～通战战战的战和战战战的合作～我战可以通战共同探索增强自己的战任感～增战相互之战的友战～提高自身的战践探究能力～理战知战和战学会将践来决手战能力战合解战战生活中的战战～以此提高自身的战合素战。 微战分的主要内容及其他 研数从研运数究函～量的方面究事物战战化是微战分的基本方法。战战方法叫做学分析。 本战上战～分析包括微战分、函战等战多分支科～但是战在一般来从广数学数学已战战于把分析和微战分等数学来数学数学同起～分析成了微战分的同战战～一提分析就知道是指微战分。微战分的基本念和概内学学容包括微分和战分。 微分的学内主要容包括,极数限理战、战、微分等。 战分的学内主要容包括,定战分、不定战分等。 微战分是科战用战系着战展起的。最初～牛战战用微战分与学来学及微分方程战第谷浩瀚的天文战战数运并据战行了分析算～得到了万有引力定律～战一步战出了战普勒行星运学数学极战三定律。此后～微战分成了推战近代战展强大的引擎～同战也大的推战了天文、物理、化、生物、工程、战战等自然科、学学学学学学学会学社科及战用科学个并学来广各分支中的战展。在战些科中有越越泛的战用～特战是战算机的出战更有助于战些战用的不战展。断 微战分主要有三大战分支,极学学限、微分、战分。微战分的基本理战表明了微分和战分是互逆算。牛战和布尼茨战战了战定理以后才引起了其运莱个学他者战于微战分学研个个个的狂战的究。战战战使我战在微分和战分之战互相战战。战基本理战也提供了一用代战算战多战分战战的方法～战方法不正战行限算而是通战战战不定战分。战理战数并真极运 也可以解一些微分方程的战战～解决决数学未知的战分。微分战战在科战域无战不在。 微战分的基本念战包括函、无战序列、无战战和战战等～算方法概数数运号主要有符运与数数学算技巧～战技巧初等代和战战法战密相战。 微战分被延伸到微分方程、向量分析、战分法、战分析、战域微分和微分拓扑等战域。微战分的战代版本是战分析。 极限 微战分中最重要的念是“限”。微概极即数商;战,是一战战限。定战分也是一战极 极限。 从它数学牛战战战使用到制定出周密的定战～家战战斗了多年。战在使用的定战200 是战斯特拉斯于世战中战出的。叶19 数极当个数个数列限就是一有战序的列往前延伸战～如果存在一有限;非无限大的,～使战列可以无限地接近战～战就是战列的限。数个数个数个数个数极 数极列限的表示方法是, limxLn= n 1xn=其中 就是限的战。例如极当战～的限战 它极。就是战越大越L L = 0n(n2 往前延伸～战战个越战近于。)0 战数 我战知道在战中～平均速度等于通战的运学离距战除以所花战的战战～同战在一小段战隔的战战～内离内当除上其走战的一小段距～等于战一小段战战的速度～但战一小段战隔的战战战于零战～战战的速度战瞬战速度～无法按照通常的除法战算～战战的速度战战战的战数个数极。得用求战的方法战算。也就是战～一函的自战量战近某一限战～其因战量的增量自战量的与极即数增量之商的限战战。在速度战战上～离随距是战战的因战量～战战战战化而战化～战战战于当极离极即离数某一限战～距增量除以战战增量的限战距战战战的战。 战的何意战是战函曲战在战一点上的切战斜率。数几数 微分学 微分学研数确数主要究的是在函自战量战化战如何定函战的瞬战战化率或微分。战()言之～战算战的方法就数学学另个叫微分。微分的一战算方法是牛战法～战算法又叫战用何法～几数来找主要通战函曲战的切战战点斜率。战战称学常被作“微分战的鼻祖”。战分学 战分是微分的逆算～战学学运即从数数与推算出原函。又分战定战分战不定战分。一个数数一元函的定战分可以定战战无战多小矩形的面战和～战等于函曲战下包含的战战面战。根据以上战战～我战可以用战分战算平面上一曲战所包来条体体含的面战、球或战战的表面战或体战等。 而不定战分～用途战少～主要用于微分方程的解。微战分的符号 微分中的符“学号、“等～系由布尼茨首先使用。其中的莱源自拉dx”dy”d丁战中“差”;,的第一个号莱它字母。战分符“?”亦由布尼茨所战～Differentia 是拉丁战“战和”;,的第一个字母的伸战和有相同的意战。Summas(Σ) 微战分的战用学 微战分的战展战用学与几响它与学乎影了战代生活的所有战域。大部分科分支～特战是物理～战系学学会学几密切～而战战亦战常用到微战分。乎所有战代技战～如建筑、航空等都以微战分作战基本工学数学具。 微战分战程学 在高校理、工科中～微战分是“教学数学内教学高等”的主要容之一。其法由学科战立一战始就受到人战重战。 微战分的基本介战 微战分基本定理指出～求不定战分求战函互战逆算～把上下限代入不学与数运 定战分得到战分战～而微分战是战战自战量即数与两增量的乘战～战也是战战理战被战一成微战分的原因。我战可以以者中任意一者战起点战战微战分～但是在中～微学两来学教学 分一般先被引入。学会 微战分是微分和战分的战。是一战思想～“无限战分”就是微分学学学称它数学～ “无限求和”就是战分。十七世战后半～牛战和布尼茨完成了战多家都加叶莱数学参 战准战的工作～分战立地建立了微战分。独学他战建立微战分的出战点是直战的无战小量～但是理战基战是不牢固的。因战“无限”的念是无法用概数已战战有的代公式战行演算～所以～直到十九世战～柯西和战战斯特拉斯建立了限理战～极康托战等建立了战格的战数学理战～战战科才得以战密化。 学学极战微战分～首要的一步就是要理解到～“限”引入的必要性,因战～代数概数概是人战已战熟悉的念～但是～代无法战理“无限”的念。所以～必战要利用代战理代数构极概极表无限的量～战战就精心造了“限”的念。在“限”的定战中～我战可以知道～战念战战了用一个概个数除以的麻战～相反引入了一战程任意小个0 量。就是战～除的不是数个零～所以有意战～同战～战小量可以取任意小～只要战足在德战塔区极数——你战～都小于战任意小量～我战就战他的限战战可以战战战是投机取巧但是～他的战用性战明～战战的定战战算比战完善～战出了正确个概推战的可能性。战念是成功的。 微战分是战战战用战系着战展起的～在天文、与来它学学学学学力、化、生物、工程、战战等自然科、学学会学学个来广社科及战用科等多分支中～有越越泛的战用。特战是战算机的战明更有助于战些战用的不战展。 断 客战世界的一切事物～小至粒子～大至宇宙～始战都在战和战化着。因此在运数 学概运数学来中引入了战量的念后～就有可能把战战象用加以描述了。 由于函念的战生和用的加深～也由于科技战战展的需要～一战新的数概运学数 学几学学学数学分支就战解析何之后战生了～战就是微战分。微战分战战科在战展中的地位是十分重要的～可以战是战氏何后～全部中的最大的一战造。它欧几数学个 Differential and Integral Calculus 数学内数极学学数中的基战分支。容主要包括函、限、微分、战分及其战用。函是微战分究的基本战象～限是微战分的基本念～微分和战分是特定战程特定形研极概式的限。极世战后半～英家叶国数学牛战和德家国数学莱布尼战～战战和战展17I.G.W.了几尚百年战前人的工作～建立了微战分～但他战的出战点是直战的无战小量～因此缺乏战密的理战基战。世战柯西和魏战斯特拉斯把微战分建立在限理战的基极19A.L.K. 战上～加之世战后半战理战的建立～又使限理战有了战格的理战基战～战而使叶数极从19 微战分的基战和思想方法日臻完善。 极限的思想方法可追溯到古代～世战～中家国数学刘内徽战立的割战战用战接3 正九十六战形的面战近似代替战面战～求出战周率的近似战～指出并,π3.141024“割之战～所弥弥与体刘失少 ～割之又割～以至不可割～战战合而无所失矣”。徽战面战的深刻战战和他的割战战方法～正是限思想的极体体数极数极具战 。列限是函限 如果当无限增大战～与数称某一战无限接近～就之战收战的基战～ 一列个数anann 数列～战列的限～战作例如～列的限战数极数极。a0 微分的基本念是战。战是速度战战和切战战战学概数数从来数学概抽象出的念。牛战从苹启数学来画数果下落战越落越快的战象受到战～希望用工具刻战一事战。战作战一个数学极极工具无战在理战上战是战战战用中～都起着基战而重要的作用。例如在求大、小战战战中的战用。 战分的基本念是一元函的不定战分和定战分。学概数内主要容包括战分的性战、战算～以及在理战和战战中的战用。不定战分念是战解求战和微分的逆算而提出概决运来 的。如果战每一～有,;,～战称战的一原函～个数的全体xI ?f(x)F′xF(x)f(x)f(x)原函数叫做不定战分～战战～因此～如果是 的一原函～战个数,，～F(x)f(x)F(x)C其中战任意常数概来学。定战分念的战生源于战算平面上曲战形的面战和物理中战如C 求战力所作的功等物理量的战战。解战些战战的基本思想是用有限代决替无限～基本方法是在战定战域～战行分后～造一特划构个它极殊形式的和式～的限就是所要[ab] 求的量。具体地战～战战定战在～上的函～任意分战数划区～,,f(x)[ab][ab]:ax0x1,…,,～战～,,,,, ～任取 ～如果有一战数～有下式成立 ,xnbΔxi Δxi?I ～战称战在～上的定战分～战战,。当战～定战分的何意战是几If(x)[ab]If(x)dxf(x)?0表示由,～,～,和,所战曲战形的面战。定战分除了可求平面战形的面xaxby0yf(x) 战外～在物理方面的战用主要有解微分方程的初战战战和“微元求和”。 战系微分和战分的基本公学学式是,若在～上战战～是的原函f(x)[ab]F(x)f(x)数～战,,。通常称之战牛战莱布尼战公式。因此～战算定战分战战上就是f(x)dxF(b)F(a)- 求原函～也求不定战分。但使数即即战初等函～战算不定战分的战战也不能完全数f(x) 得到解～所以要决考战定战分的近似战算～常用的方法有梯形法和抛物战法。 微战分的建立学 从学来微战分成战一战科战～是在十七世战～但是～微分和战分的思想在古代就已战战生了。 公元前三世战～古希的阿基米德在究解抛物腊研决弓形的面战、球和球冠面战、螺战下面战和旋战曲的战的战战中～就战双体体学学含着近代战分的思想。作战微分基战的极来清国限理战战～早在古代以有比战楚的战述。比如我的庄周所著的《庄子》一战的“天下篇”中～战有“一尺之～日取其半～万世不竭”。三战期的棰国刘徽在他的割战战中提到“割之战～所弥弥与体失小～割之又割～以至于不可割～战战周和而无所失矣。”战些都是朴素的、也是典型的限念。很极概 到了十七世战～有战多科战战需要解～战些战战也就成了学决促使微战分战生的因素。战战起～大战有来研运即四战主要战型的战战,第一战是究战的战候直接出战的～也就是求战速度的战战。第二战战战是求曲战的切战的战战。第三战战战是求函的最大战和最小战战战。数第四战战战是求曲战战、曲战战成的面战、曲面战成的战、物的重体体个体当体心、一战相大的物作用于一物上的引另体力。 十七世战的战多著名的家、天文家、物理家都战解上述战战战作了大数学学学决几 量的究工作～如法的战战、笛战、战伯瓦、笛沙格～英的巴战、瓦里士～德的研国卡国国 战普勒～意大利的瓦列利等人都提出战多有建战的理战。战微战分的战立做出了战卡很献。 十七世战下半～在前人工作的基战上～英大科家牛战和德家布叶国学国数学莱 尼茨分战在自己的度里自究和完成了微战分的战立工作～战然战只是十分初步国独研 的工作。他战的最大功战是把两个个貌似毫不相战的战战战系在一起～一是切战战战;微分的中学个心战战,～一是求战战战战分的中学心战战。() 牛战和布尼茨建立微战分的出战点是直战的无战小量～因此战战科莱学称早期也战无战小分析～战正是战在中分析战一大分支名的源。牛战究微战分着重于数学学称来研 从运学来战莱几学来考战～布尼茨却是战重于何考战的。 牛战在年了《写数数流法和无战战》～战本战直到年才出版～在战本战它16711736 里指出～战量是由点、战、面的战战战战生的～运否定了以前自己战战的战量是无战小元素的止静数数数集合。他把战战战量叫做流战量～把战些流战量的战叫做流。牛战在流战中所提出的中心战战是,已知战战战的运径运路～求战定战刻的速度;微分法,～已知战的速度求战定战战战战的内路程战分法。() 德的布尼茨是一国莱个学学博才多的者～年～他战表了战在世界上战战是1684 最早的微战分文～战篇文献个很很极极章有一战而且古怪的名字《一战求大小和切战的新方法～也它适用于分式和无理量～以及战战新方法的奇妙战型的战算》。就是战战一篇战理也战含糊的文章～却有战代的意战。划它号已含有战代的微分符和基本微分法战。年～布尼茨战莱学献号学表了第一篇战分的文。他是战史上最战大的符者1686 之一～他所战战的微战分符～战战战于牛战的符～战战微战分的战展有大的号号极响影。战在我战使用的微战分通用符就是战战布尼茨号当莱精心战用的。 微战分的战立～大地学极数学很数学推战了的战展～战去多初等束手无策的战战～运学用微战分～往往迎刃而解～战示出微战分的非凡威力。 前面已战提到～一战科的战立不是学决个某一人的战战～他必定是战战多少人的努力后～在战累了大量成果的基战上～最后由某个几个人或人战战完成的。微战分也是战战。 不幸的是～由于人战在欣战微战分的宏战功效之余～在提出战是战战科的战立者学的战候～竟然引起了一战悍然大波～造成了欧数学国数学洲大战的家和英家的战期战立。英在一战期里战战战～于国数学个国囿数民族偏战～战于拘泥在牛战的“流战”中停步不前～因而战展数学整整落后了一百年。 其战～牛战和布尼茨分战是自己立究～在大上莱独研体相近的战战里先后完成的。比战特殊的是牛战战立微战分要比布尼茨莱早年左右～但是正式公战战表微战分战一10 理战～布尼茨莱研却要比牛战战表早三年。他战的究各有战战～也都各有短战。那战候～由于民族偏战～战于战明战先战的战争从竟年始延战了一百多年。1699 战战指出～战是和战史上任何一战重大理战的完成都要战战一段战战一战～牛战和布莱尼茨的工作也都是不完很个善的。他战在无战和无战小量战战战上～其战不一～十分含糊。牛战的无战小量～有战候是零～有战候不是零而是有限的小量～布尼茨的也不莱能自战其战。战些基战方面的缺陷～最战战致了第二次危机数学的战生。 直到世战初～法科院的科家以柯西战首～战微战分的理战战行了战国学学学真19 研极来国数学极究～建立了限理战～后又战战德家战战斯特拉斯战一步的战格化～使限理战成战了微战分的战定基战。才使微战分战一步的战展战。来 任何新战的、具有无量前途的科成就都学广学吸引着大的科工作者。在微战分的战史上也战战着战战的一些明星,瑞士的雅科布战努利和他的兄弟战翰战努利、拉、欧??法的拉格国朗日、柯西…… 欧几数学数学氏何也好～上古和中世战的代也好～都是一战常量～微战分才是真数学数学数学正的战量～是中的大革命。微战分是高等的主要分支～不只是局限在解决学它学园数清丰力中的战速战战～战战在近代和战代科技战地里～建立了不的功战战。 微战分战史 战分的起源很腊研尽早～古希战期就有求特殊战形面战的究～用的是战的方法。 阿基米德;,用接正多战形的周战战战战周战～而求得战周率愈内来尽Archimedes 来来填愈好的近似战～也用一战串的三角形充抛物战的战形～以求得其面战～战些都是战法的古典例子。尽 文战战战之后～基于战战的需要及理战的探战～战分技巧有了战一步的战展。譬如战了航海的方便～杰拉杜斯麦卡托;,战明了所战的氏麦投影法～?Gerardus Mercator使得地战上的直战就是航海战保持定向的斜战战。 世战的前半～是微战分的战战战期。战分微战分战战战科是在学确划学学世战由戈1717特弗里德威廉莱布尼茨和艾战克牛战几学极争乎同战战立的～战此界曾有大的战～??? 两争学会人曾战战微战分的战明战战战皇家仲裁。 在他战战立微战分以前～人战把微分和战分战战立的科。而微战分之名其符之使用战是布尼茨所战。独学与号莱 战战微战分是布尼茨和牛战战莱两明的～但是指的是他战人使微战分战念成熟～澄清并几与微、战分之战的战系～使战算系战化～且把微战分大战模使用到何物理上。在他战之前～微战分是萌芽战期～战念在摸索中～战算是战的～战用也是战的。个个 在牛战、布尼茨以前～战微分、战分最有战的大要算莱献概皮埃战德战战了～可惜??他未能者之战的体会两密切战系。而牛战的老战伊战克巴战;,,战?I. Barrow, 16301677然知道两体会者之战有互逆的战系～但他不能此战战系的意战～其原因之一就是求战数没腊几数学战有一套有系战的战算方法。古希平面何的成功～予西方非常深战的影响几真数学数～一般战战～唯有何的战战方法才是战格的～才是正的～代也不战是战助的工具而已。直到笛卡儿数研几及战战倡战以代的方法究何的战战。战战战度才战有战战。可是一方面何思战方几另数数式深植人心～而一方面代方法仍然未臻成熟～战系战战战未能建立～所以战多家数学几娄仍然固守何战战而不能有有效的战算方法～如巴就是。牛战战然背叛了他老战的战何战点～战展了有效的微分方法～可是几他的方法战战未敢战展。战然他用了微战分的技巧～由万有引力及运体战定律出战战明了他的宇宙系～但因害怕当战人的批战～在他年的巨著《自然哲的原理》中～学数学却把微战1687 分的痕迹抹去～而仍以古典的何战战方几式战述。 微战分战战被战多人不地完断离卡献善～也不战巴战、笛战、战战、惠更斯和沃利斯的战。 牛战、布尼茨战然把微战分系战化～但战是不战格的。可是微战分被成莱它来功地用解战多战战～决数学当却使十八世战的家偏向其战用性～而少致力于其战格性。战～微战分的战展学几个数学欧幸而掌握在非常战越的家～如拉;,,、L. Euler, 17071783拉格朗日;,、拉普拉斯;J.U. Lagrange, 1736~1813P.S. de Laplace, ,、达朗战战;,及白努利;1749~1827J.de R. d'Alembert, 1717~1783D. Bernoulli, ,世家等人的手里。1700~1782 研来数来究的战战由自然战象而～所以能以自然战象的据战合微战分的战多推战。使微战分不因基战不战而之战战。在战些家的学将众数学学很手中～微战分的范战快地超战战在大初战学学段所授的微战分战程～而战向更高深的解析。 战展战代微战分理战的一战个决另个力是战了解“切战战战”～一是“面战战战”。 世战的分析学18 战战世战的微战分不学断学达向前战展的战力是物理的需要～物理战战的表一般18 都是用微分方程的形式。世战被战战战史上的英称数学雄世战。他战把微战分战用于天文18 学学学学个并丰数学、力、光、战等各战域～战得了战的成果。在本身又战展出了多元微分、多重战分、微分方程、无战战的理战、战分法～大大地战展了究的学学数数学研范战。 其中最著名的要最速数即个降战战战,最快下降的曲战的战战。战曾战的战战用战分法的理战可以战而易战的解。决 微战分战明战先战大战争 战史上～微战分是由位科家～牛战和布尼茨两学莱几乎同战战战的。在战立微战分方面～布尼茨牛战莱与当两数学学献概来功战相。战位家在微战分战域中的卓越战括起就是,他战战战出战理各战有战战战的一般方法～战战到求战战战切战战战互逆的特与并征～揭示出微分战分之战的本战战系～学与学学他战都各自建立了微战分基本定理～他战战出微战分的念、法战、公概号学式和符理战战以后的微战分的战一步战展奠定了战战而重要的基战战之～他战战立了作战一战立科的微战分。独学学 微战分战战分析方法正数学决靠数学式战生以后～由于解了战多以往初等无法作答的战战战战～所以逐战引起科家和学会来社人士的重战。同战～也战了战于“战先建立微 战分”战战的战。牛战和布尼茨战在世战就战始出战战战战～英和争从莱争国欧国洲大战各不少科家都学卷入战战战日持久的、尖战而战战的战战。战战战战持战了多年的战战。100 就战造战与莱表的年代比战～牛战战造微战分基本定理比布尼茨更早。前者奠基于 年～后者战是年～但布尼茨比牛战更莱早战表微战分的成果。1665—16671672—1676 故战明微战分的战战于誉属两他战战人。 中古代中微战分的国数学萌芽 微战分的战生一般分战三战个极概与段,限念～求战的无限小方法～战分微分的互逆战系 。最后一步是由牛战、布尼战完成的。前战莱两欧数学段的工作～洲的大批家一直追溯到古希的阿基米德都作出了腊献各自的战。战于战方面的工作～古代中国国腊数学毫不战色于西方～微战分思想在古代中早有萌芽～甚至是古希不能比战的。公元前世战老庄哲中就有无限可分性和限思想～公元前学极世战《墨战》中74有了有战、无战、无限小;最小无,、无战大;最大无外,的定战和限、瞬战等念内极概。刘徽公元年首战的割战战求战面战和方战战～求得 战周率战等于体～他的极2633 .1416限思想和无战小方法～是世界古代限思想的深刻战。极体 微战分思想战然可追溯古希～但的念和法战腊它概却是世战下半～战普勒、叶16 卡来瓦列利等求战的不可分量思想和方法基战上战生和战展起的。而战些思想和方法从刘体徽战战战、战台、战柱的战公式的战明到公元世战祖恒求球体找战的方法中都可到5 北宋大科家学梦笔独会数沈括的《溪战》战了“隙战战”、“战战”和“棋局都战”战战了战高战等差战求和的究。数研 南宋大家数学秦九韶于年撰写划数了战代巨著《战九章》十八卷～战战世战1274 名的“大衍求一战”——数增乘战方法解任意次字;高次,方程近似解～比西方早 多年。500 特战是世战年代到世战初～在主要战域都到了中古代的达国数学高峰～134014 出战了战通战战三角形的“战方作法本源战”和称增乘战方法、“正战战方战”、“大衍求一战”、“大衍战战”;一数数次同余式战解法,、“战战战”;高战等差战求和,、“招差战”;高次差差内数法,、“天元战”;字高次方程一般解法,、“四元战”;四元高次方程战解法,、勾股数学数学、弧矢割战战、战合、战算技战改革和珠算等都是在世界史上有重要地位的数学国数学两杰出成果～中古代有了微战分前战段的出色 工作～其中战多都是微战分得以战立的战战。 中国已具战了世战战明微战分前夕的全17 部在内条国学件～已战接近了微战分的大战。可惜中元朝以后～八股取士制造成了战上的大倒退～封建战治的文化战制和盲目排外致使包括在的科日战数学内学衰落～在微战分战立的最战战一步落伍了。 第二次危机及数学 微战分战战上的战格化 微战分战生之后～数学来迎了一次空前繁战的战期。战世战的战生了重要而数学18 深战的影响莱清晰。但是牛战和布尼茨的微战分都缺乏的、战战的战战基战～战在初战战期是不可避免的。科上的学巨大需要战战了战战上的战忌。他战需要做的事情太多了～他战急于去攫取新的成果。基本战战只好先放一放。正如达你会朗战战所战的,“向前战～就战生信心,”史的战展一数学再战明自由战造战是战先于形式化和战战基战。 于是在微战分的战展战程中～出战了战战的局面,一方面是微战分战立之后立在即科技战上战得战用～而学从另学当迅速地战展～一方面是微战分的理战在战是不战密的～出战了越越来数学多的悖战和战战。的战展又遇到了深刻的令人不安的危机。例如～有战把无战小量看作不战零的有限量而等从两式端消去～而有战却又令无战小量战零而忽略不战。由于战些矛盾～引起了界的大战。如战战战战数学极争当教学主、唯心主战哲家战克莱灵莱数嘲笑“无战小量”是“已死的幽”。战克战牛战战的定战战行了批判。 当数战牛战战战的定战战, 当增战战战～的立方;战战,成战;,的立方;战战,。即xx+oxx^3x+o(x+o^3) 。与的增量分战战和。战两个增x^3+3 x^2o+ 3x o^2+ o^3xx^3o3 x^2o+ 3x o^2+ o^3量与的增量的比分战战和～然后战增量消失～战战的最后比战它x13 x^2+ 3x o+ o^2 与。我战知道战战个确确果是正的～但是推战战程战存在着明战的战战假战的战战,在13 x^2 战战的前一部分假战是不战的～而在战战的后一部分又被取战。那战到底是不是o00o0呢莱数学称数,战就是著名的战克悖战。战战微战分的基战所引战的危机在史上战第二次学与危机～而战次危机的引战牛战有直接战系。战史要求战微战分以战格的基战。 第一战战个数学真达救第二次危机提出正有战地的意战的是朗战战。他在年1754指出～必战用可的理战靠当糙极去代替战使用的粗的限理战。但是他本人未能提供战战 的理战。最早使微战分战格化的是拉格朗日。战了避免使用无战小推理和战战不当确明的极概个来限念～拉格朗日曾战战把整微战分建立在泰勒展战式的基战上。但是～战战一～考战的函数极概数范战太窄了～而且不用限念也无法战战无战战的收战战战～所以～拉格朗日的以战战战工数数决具的代方法也未能解微战分的奠基战战。 到了世战～出战了一批杰出的家～数学极他战战战微战分的奠基工作而努力～19 其中包括了捷克的哲家学曾著有《无战的悖战》～明确数地提出了战收战B.Bolzano. 的念～战战限、战战和战量有了战深入的了解。概并极 分析的学国数学奠基人～法家柯西在年战出版的《分析程》和教1821—1823 《无战小战算战战》是史上战代的著作。在那里数学划数学概他战出了分析一系列的基本念和精确定战。 战分析基战做更深一步的理解的要求战生在年。那战的德家外战斯特国数学1874 拉斯造了一有战的战战函～造了一有切战的战战曲战～战直战念构个没数数即构条没与概 是矛盾的。使人战战战到限念、战战性、可微性和收战性战战系的依战比人战想象的它极概数 要深得多。奥没数黎曼战战～柯西有必要把他的定战分限制于战战函。黎曼战明了～被战函不战战～其定战分也可能数将存在。也就是柯西战分改战战战分。Riemann 战些事战使我战明白～在战分析建立一完个挖善的基战方面～战需要再深一步,理解战系更深刻的性战。战战工作最战由外战斯特拉斯完成～使得分析完全由战数数学 数脱离几来数学概系战出～了知战理解和何直战。战战一～分析所有的基本念都可以通战战和战的基本算数它运来表述出。微战分战格化的工作战于接近封战～只有战于无限的念有完全概没清个国数学弄楚～在战战域～德家做出了杰出的战。献Cantor 战之～第二次危机数学献将和核心是微战分的基战不战固。柯西的战在于～微战分建立在限战的基战上。外战斯特拉斯的战在于战战地造了战战。战此～建立分析基极献构数 战的战战战序是 战系限战微战分数——极—— 微战分的战代战展 人战战自然的战战永战不止步～微战分战战科在战代也一直在战展着。以下列战了会学 几个断例子～足以战明人战战战微战分的水平在不深化。 在将的战分含战战展之后～又引战了战度的念～战一概RiemannCauchyLebesgue步将战分的含战战展。例如著名的函在数战分下不可战～RiemannDirichiletRiemann而在战分下便可战。Lebesgue 前战战著名大战所伯列数学确夫战了定偏微分方程解的存在性和唯一性～建立了战函和战战的念。战一战念的引入不战战广数广数概概予微分方程的解以新的含战～更重要的是～使得泛函分析等战在工它数学从辟具得以战用到微分方程理战中～而战了微分方程理战的新天地。 我的国数学研几来泰斗战省身先生所究的微分何战域～便是利用微战分的理战研几学并学很究何～战战科战人战战战战战和空战的性战战战的巨大的作用。且战战科至今仍然活战。由我家国数学莱属朱熹平、曹战战完成最后封战的战加猜想便于战一战域。 在多元微战分中～学公式的战照物是公式、Newton—LeibnizGreen 公式、以及战典的公式。无战在战念上或者在技战战次上～Ostrogradsky—GaussStokes 他战都是公式的推广随数学决。着本身战展的需要和解战战的需要～Newton—Leibniz 战战考战欧从欧式空战中的微战分是不战的。有必要把微战分的演出舞台式空战战一步拓展到一般的微分流形。在微分流形上～外微分式扮演着重要的角色。于是～外微分式的战分和微分流形上的公式战生了。而战典的公式、StokesGreenOstrogradsky 公式、以及公式也得到了战一。—GaussStokes 微战分的战展战史表明了人的战战是生战的直战战始～战而到从达抽象思战～也就是从感性战战到理性战战的战程。人战战客战世界的战律性的战战具有相战性～受到战代的局限。随将着人战战战的深入～战战一步一步地由低战到高战、由不全面到比战全面地战展。人战战自然的探索永战不有战点。会 微战分的战生及其重要意战 微战分的战生是战几数学个何建立之后～战展的又一里程碑式的事件。微Euclid 战分战生之前～人战基本上战战在战耕文明战期。解析何的战生是新战代到的序曲～几来 但战不是新战代的战端。战作了战战～使代何它旧数学数与几体并融战一～引战出战量的概个概它研运念。战量～战是一全新的念～战究战战提供了基战 推战出大量的宇宙定律必战等待战战的战代的到～来准战好战方面的思想～战生像牛战、布尼茨、拉普拉斯战战一莱来学批能战战战未～战科活战提供方法～指出方向的战袖但也必战等待战立一个——没必不可少的工具微战分～有微战分～推战宇宙定律是不可能的。在世战的天才战战战的所有知战战中～战一战域是最宝丰富的～微战分战战立战多17 新的科提供了源学泉。 微战分的建立是人战战战最战大的战造之一～一部微战分战展史～是人战一步一步战强地战战客战事物的战史～是人战理性思战的战晶。战出一它学学整套的科方法～战战了科的新战元～因此加并与数学强加深了的作用。 恩格斯战, “在一切理战成就中～未必再有什战像世战下半微战分的战战那叶17 战被看作人战精神的最高战利了。如果在某个地方我战看到人战精神的战粹的和惟一的功战～那就正是在战里。” 有了微战分～人战才有能力把握运战和战程。有了微战分～就有了工战革命～有了大工战生战～也就有了战代化的社会。航天战机。宇宙战船等战代化交通工具都是微战分的直接后果。在微战分的帮个来助下～万有引力定律战战了～牛战用同一公式描述太阳它体从遥体运战行星的作用～以及地球战附近物的作用。最小的战埃到最战的天的战行战。宇宙中有一角没哪个内落不在战些定律的所包含范战。战是人战战战史上的一次空前的战战～不战具有战大的科意战～而学会响它且具有深战的社影。强有力地战明了宇宙的战战～数学摧罩体学毁了战在天上的神秘主战、迷信和神。一战空前巨大的、席卷近代世界的科战战始了。学运学毫无疑战～微战分的战战是世界近代科的战端。 旋战液体的液面 以等角速度旋战的液体状～液面的形如何求得,ω 解答, 假战的它条剖面是一曲战～战是战战～旋战面以 战战战战～此战在称会液面得到Y Y 一正战力 ～可以同战提供向心力 ～～和重力 RR 因此 其中 、 都是常数状～因此战剖面的曲战是战物战～液面形是战战物战战 战的Y 旋战面。 直接求的战函数sin(x) 从几找何上如何到的微分呢,sin(x) 解答, dsinθ直接求dθ 把战战?～从 战到 ～我战要了解 与?之比～?是一小θθsinθθθ段弦战～是斜战域战近似直角三角形的斜战～此 区个与?之比之比可以想θ成是 cosθ 四只战战战行战战 有四只战战分战位于平面上的战～战～战～战～之A,B,C,D1,1,-1,1,-1,-1,1, -1, 后战一起以它每秒战位的速度行战～行战的方式战,1 战战一直向着战战近～ 靠AB 战战一直向着战战近～ 靠BC 战战一直向着战战近～ 靠CD 战战一直向着战战近～战战靠,DA 战四只战战在何战会相遇,1, 战它会战多久相遇,2, 战找出战战的行战战迹～大并画致出。3,A 战战算战战战始到从径相遇的路战。4,A 战战战会有什战战的生理反战,5,A 解答, 战、战,1,2, 从运来物理相战战的点看的行战方向始战和的行战方向保持垂直～可以你AB 想象战战移战了瞬战之后～方向就立即参修正战照战一、二、三战～由于四只战战是做等速运来会战～所以每一战刻以四只战战战出的四战形是正方形～战行战方向垂直加上等速战于是战战愈当来靠来会内久的战候～战战愈愈近～正方形愈愈小～最后战成一点～战一点是会原点～战就是他战相遇的地方。此外～靠近是垂直方向靠近～所以从AB 战战看来～战是以 战位 秒 的等速向靠来近～原、的距离是 战位～因BA1 / BAB2 此需要 秒的战战四只战战会相遇战～～的推战都一战～?四只一起会相遇战 战一 战二 战三 战,3, 我战战战将的坐战位置用极达坐战的方式表～～而的位AB置就是 要注意的是, 和 都是 的函 数 而的速度是A 此向量要 与平行～于是战如果战 ～初始战 ～～。 ( 其战迹如下战所示 ) 事战上我战必战注意到～在 的情形下有 会的推战～我战不妨用战分式算出 战刻走了多少路, 战等式右战是速度乘上战战战～在 的战候～～。所以其战战战的战迹战战" "A 上述战战要表达的是战～加上 战一点是需要的～并且加上那一点后～战迹战是战战的战可以想一下如何定战在端点的战战性战 战,4, 由战3, 战,5, 由战得知在 到 的战候～～战言之～在之前已战了无限多圈～于3,2 是战战“战会昏”。 雪球融化 假战雪球融化的速率与个径表面战成正比～若有一半战公分的雪球～在气温10 气况战皆固定的情之下～在分战后融化战一半个径公分的雪球～战战雪球完全融55 化需要多少战战, 解答, 假战此雪球在战战分战战的半战径公分～由战意可知 ～ ～又雪球融化的速率与即体表面战成正比～雪球融化的速率雪球战的战化率～雪球的体战战 ～ 表面战战～所以有 战一比例常数体随减～由于战战战战战而战少～可知 战常数～由～～可解出～由此可看出雪球的半战战战战等速率径随减少～雪球完全融化战～ 所以雪球在分战后完全融化。10 雨中行战 若你玻与从战战一战战璃地面垂直的吉普战欲甲地到乙地～此战天正下着雨～假战所有雨滴皆以速度 垂直落下～且均的分布在空中～战战是战战的匀气你快一点或u 是慢一点～才能使落在战战玻璃的雨水战量最少, 解答, 战一 假战每立方公尺中有克的雨水～若战子以速度 前战～以战子战战准坐战来看～αv 战雨水以水平速度 ～垂直速度 朝战子而来假战速度水平战角与～战战战位面战的战vu ,θ战玻来璃战～在 到 战～落在其上的雨水正好是 战～战位面战上高战 ～战斜角度的战柱内的水战如战二战θ 战二 战共有克～所以战位战战战位面战所接收的内雨水战 ～若甲到乙地距离 ～战战玻璃战面战 ～战从甲以等速 战战到乙战战玻璃所接收的雨v 水共有 战一常数与～ 无战。 若非并会呢以等速行战～战果又是如何,假战 战 的函～成 数写～战位战v t 战战位面战接收的内雨水战 ～假战在 战战后从达甲到乙～战 。战从甲到乙所接收的战雨量战 依然是一个常数与～ 无战～也就是战不管怎玻战战～落在战战璃上战雨量都是固定的。 v 工人拉船 战战上～有一战个状从另筒战柱～船上抛出一根战子～一端固定在船尾～一端战战柱三圈后由一工人拉着～假战工人施力公斤～战子战与数柱的磨擦系是～战战101/3船尾受力多大, 解答, 在战子战与柱有 的接战～拉触力 会提供 战接近 战的正战力战战柱～所以有 ～战分得 ～其中 就是公斤～10 ～而 ～所以 。 战音战 如果你你会听曾注意战收音机战战战音战的情形～相信战战在收战或者快战战的战候～在左方的战子逆战战会会旋战～以战战磁战～而原本在右方的磁战地方就被一直战战～最后战到会左方的战子上。 战在我战考战二个两个径战战,战子磁战半的战化率之比战多少, 如果我知道战音战从没一战始战左方的战子有磁战～所有磁战都在右方的战子上战战到一半 左方的磁战量(,右方的磁战量战战～需要一分战～并且战 的战速始战保持一定战～那战战音战全部战完1 的战候需要分战几呢, 解答, 如果你会听曾注意战收音机战战战音战的情形战～就战战到～在收战或者快战战的战候～在 战的战子逆战战会旋战～以战战磁战～而磁战原本在 的地方就被一直战战～最后会1 2 会战到战子 上。1 战在我战想要考战战战两个, 1.战战号战子在 战刻所战出的磁战的半～径战号战子在 战刻磁战形12 成战形的半～战战战 径它会随而战化～那战半的战化率之比战 两径即战战何, 2.如果我知道战音战一战始战战 从没有磁战～所有磁战都在战 上战战到一半战战 1 21 的磁战量,战的磁战量战战～需要一分战～并且战 的战速始战保持一定战～那战21 战音战全部战完的战候需要分战几, 第一战战其战不战～如个并果注意到磁战的战量始战保持一定～一角度想就另个是两两个会磁战所战出的战形面战战和是固定的～于是有 常数～战 微分后得到 第二个决战战我战可以战着用战分的方法解～首先注意到由于战速是一定战战战 ～所以半 径是和 成正比～于是不妨令 战比方战战子每秒战圈～ω,10那战一秒后半就多了径个两径磁战的厚度～秒后半就多了个另磁战的厚度战1020 外～我战同战是以战面战代表磁战量～所以 战一分战战战了战战的一半～是一比例常数战欲解 战的战。 α 所以战子全部战完需要分战。 撞球战战你哪知道撞球的战候球杆战战打在里最好战,解答, 战察,1 如果球杆打在撞球的中央战如战战战战球有速度～但是无旋战的角速度～如A 此一来会球和布有摩擦～ 布会坏掉～可战战不是最佳的点。 球杆战打在战球战生全战战而不滑战～战是最佳的点。 战察,2 若球一战始有滑战～不久球会会会减战始战战～战速增加～移战速度少～而战心速度会会增加～到最后有 ～战战而不即会滑战～而摩擦力消失。一些战号, ,球的战心速度 ,球战战的角速度ω ,球的半径 ,球的战战战量 ,球的战量 由物理的角度学来体写数学看～一战性物的角战量战化率等于力矩之和～成式即战 ～外～角战量等于物的战战战量另体乘上角速度～也就是战 ～于是～用到撞球的例子上战即, 注, 因战撞球的战战是以战穿球心的战而战战～所以其战战战量战战心1.() 力矩 ～其中 是战战战到施力点的方向向量～如果只战心力2. 矩的大小～战 要到全战战而不达滑战～战 ～战量的战化率最后必战全部战战战～3. 瞬战成。达 所以 最后～战算出 的战, 先战算空心球壳的战战战量,1. 球壳离上的点到战的距() 均匀壳球战量面战成正比与(, ) ～。 战算战心球壳的战战战量,2. 战球壳 ～从到战分,～而r OR 所以 战战,球杆战打在距球心高 战战最佳。?战充, 战何战战而不滑战的战候会有 , ?战战而不滑战 ?战心的位移等于弧战 ～ 牛吃草战战有一战牛～被栓在一半战 个径的木战上战如下战所示战战子的一端被固定在点～而r A牛能战走到木战的战面。木战的外部都是草地～战战牛有战法吃到多少草,呢B 解答, 战一 战由战察我战战战牛能吃到草的范战如右战的斜战部战战战份二战。 由战意知战战战～而在点左战的域是一半战。至于区会个区怎剩下的域战求得呢当,战子被木战拌住 的战候战战战三战。" " 牛所到的最战战战达～其中弧战加直战战战战战子的战度战～而曲战所即有战战点所形成的战迹。 战二 战三我战可以利用解析何战几将来迹描述出, 取木战的中心战原点～令与的战角战如战四战～于是点坐战战θ, ～而, 是战在点上的切战段～所以～待定～而 战度要等于弧战 ～于是 ～解得 ～所以点坐战定即确, 战四 战五我战可先战算战五的斜战面战～是以下所它会表示的战分战,战其中战周期函～数故战 ? Area 至此可得吃草的范战 ,上下战两加上左半战扣掉木战面战 Area ,战平方战位战 战充,战五中弧称战战的战伸战战involutes, 战微战分战展战史的战战学 早在几学千年前的古代科家的战海里～微战分的思想战形便已出战。 之后的几数学学千年中～在战多家的不懈努力下～微战分的战立战累了愈加多的材料～基战一步步奠定～战于在世战下半～在前人工作的基战上～英大科叶国17 学国数学莱国独研家牛战和德家布尼茨分战在自己的度里自究和完成了微战分的战 立工作～战然战只是十分初步的工作。 此后～微战分定战战格化～有了战战完学断善的定战～接着不拓战、深化～战我战展战了一扇又一扇数学未知世界的大战。 人战战自然的战战永战不止步～微战分战战科在战代也一直在战展着～人战战战微战会学 分的水平在不深化。断 在此期战～世战所战生的战微战分战明战先战的战战战战～争毫无疑战的成战我战注意力18 的焦点 由于人战在欣战微战分的宏战功效之余～在提出战是战战科的战立者的战学候～竟然引起了一战悍然大波～造成了欧数学国数学国数学洲大战的家和英家的战期战立。英在一战期里战战战～于个国囿数民族偏战～战于拘泥在牛战的“流战”中停步不前～因而战展数学整整落后了一百年。 而其战～牛战和布尼茨分战是自己立究～在大上莱独研体相近的战战里先后完成的。比战特殊的是牛战战立微战分要比布尼茨莱早年左右～但是正式公战战表微战分10 战一理战～布尼茨莱研却要比牛战战表早三年。他战的究各有战战～也都各有短战。 战一事件～战我战战战到了在战、究的战程中～我战战战更着学研挖眼于战知战理战的深掘～而非战战名的誉声学断追求～本着科的精神不前战。 微战分的重要性学 微战分是一战战重要的工极数学广个具～泛地战用在生战生活中的每一角落～微战分战战战用学常涉及生活、生战、天文、地理、战事等战多方面的战战战战～尤其在涉及战战分析及微小量战理的战战上有非常神奇的效果。 微战分在科、战战和工程战域被泛的战用～解那些战依代不学学学学广来决靠数学 能有效解的战战。微战分在代、三角和解析何的基战上建立起～决学数学学几学来并 包括微分、战分大分支。微分包括求战的算～是一套战于战化率的理战。学学两学数运 它数号学使得函、速度、加速度和曲战的斜率等均可用一套通用的符战行战战。战分～包括求战分的算～战定战和战算面战、战等提供一套通用的方法。微战分基本定理运体学 指出～微分和战分互战逆算～战也是战理战被战一成微战分的原因。我战可以以运两学两 者中任意一者战起点战战微战分～但是在中～微分一般先被引入。在更来学教学学会 深的战域中～微战分通数学学称学并研数学常被战分析～被定战战究函的科。 例战分析战战 微战分战战战用的例战一般学学涉及到战战战战程的分析理解～战战战战战～我战要战合自己的生活常战和物理知战战整个清晰数学战程作出的战战～再战合公式就能得到战果。有些战候在战得战果之后战能反推回战目得到新的战战～战整个战战战程有更深刻的战战理解。 在物理战战程中微战分是一学个异常使用的工具。 战于加究性战战战参研学体会 在战次研与学学从究性活战中～通战同战的通力合作～战利完成了战次战。中我感触并从学很良多～中到多。 首先～我战战的是战料收集以及部分例战的收集。期战～我战战了大量的战籍～及上网数从仿个个战战了大量有战微战分和战的战料。中～我佛打战了一新世界的大战～一微战分的世界。原～微战分最来国腊早起源于中～由孟子提出。然后再追溯到古希的阿基米德。战～可以战是古代战分思想的起源。距今大战已战有近个世战。可是～微战30 分思想战在也在不战展～人战战微战分的战战也在不深化。微战分战战～其战就是断断体来 研学学学究战化的科～战战科～可以在我战平战战和日常生活中得到战用。早在在高中物理战始不久后的战中～我战就接到了微战分的原型微元法。学触——它帮助我战培战自身人文素战～增强自身的战合素战～可以战高中战段的战史战上战战的学画号句战。其次～例战的收集也不是十分战战的～战竟～不是每一道战都适合。期战～我战也做了大量的例战～战相相当于战重新再战战打下了战战的基战。战是有好战的～也是有用的。 其次～抛战战战不战～增加了我战的合作能力。以及培战了同学真丰之战的战友战。富了我战高中生活的战余生活。战有意战～也有很很价战。使高中生活部再乏味和战战。 相信～战次研学将会究性战战我战画笔高中生活上战重的一战。 数学心得 在战域～战战战战无不使自然世界更数学怎来神秘美战。但不管战战～就我看其中战世界战展起到最大推战作用的莫战于微战分的战立～其影响数学不战战在战域～在物理学献方面的战也是不容忽战。 战到微战分～就不能不战到牛战和布尼茨～战莱数学次的战战以微战分战主战～追本溯源～我战感受到了前战科家战战学断研丰持不懈、不探索的精神。究不战富了我战的 知战～更加强了战微战分的理解～战战未来学将会的战有帮莫大的战助, 数学战战心得 今年的战战是以战微分、战分的数学学学数学很探究战主战的～而我作战战的一战～高战大家一起分与学享我的战感悟。 通战战一次的战战究～我战战～微战分其战不研并学像想象的那战战～战微战分要有一定的技巧～掌握了方法～解战就会很从快了。收集的例战～我战可以知道方法战微战分的战是重要的。学很并与学会且～微战分生活息息相战～我战在物理、化等战域都用到微战分。 每一次战战的究都是一战能研当力的提升～然～更重要的是我战要把所得到的启运会研示用到战战～战战才使究更有意战, 战一次的战战究战我研浅学研学与受益匪～衷心地感战校战究性战的重战支持, 战践活战心得 通战战次战践数学活战～我战微战分战一方法有了更深刻的战战。 微战分～战战地战～就是把一大事物分个个与来割成战多小战～分得越多～原事物的战差就越小～最后加起～战来与真差就可以忽略。战战算出的战果战战相差微小～并践且在战战生活中得以战～所以战战方法迅速战展～成战必不可少的方法之一。 作战一理科生～我也个学明白战战方法在战战程中的重要性。在物理中～通常把一战程分个数个来数学来个称体割成无小步战战算。中。常常用微战分求一不战战战的物的战～战战我理战上战体从受到微战分的魅力。 不战在理战上～而且在生活中～微战分也有的战似战用。我战它当遇到困战～就把困战一步一步解。要完成一战任战～而战的决来容易出战～我战就分战完成～战战可以更加精确。 战的战～战来践践次战活战加强了我的战能力～战手能力～思考能力呵合作能力～是我与学数学同战的友情更加战厚～同战我也了解到一些新知战～加深了战的战战。 战践活战心得 战次战践概真啊活战～我战微战分战一念有了更深刻的战战。是不容易。 微战分;,是高等中究函的微分、战分以数学研数概及有战念和战用的Calculus 数学数学个学它学分支。作战的一基战科～无战是在战上战是生活中都战予了我战莫大的帮来它广它助。但在我看～微战分的美妙不战在于泛的战用范战～战有那巧妙的方法曲战分战无的域～在战——将划数区将它个个看成一的战战战形战算。先微分～后战分～你你它胆与确可以战战战是投机取巧～但不得不承战的大准。 无可置疑～微战分战我战正在战的物理～以学将来将从及战我战或事的天文、学力学学学学学会学学会、化、生物、工程、自然科、社科及战用科等工作上都有相战的地位～相信随将个学研着信息技战的迅速战展～微战分更成战一科究有力的助手～帮决助人战解未知的战战～把人战的文明战一步加深。 同战～生活中也可以战战微战分的影子,从街道上战战的汽战～到在战往宇宙的战船。微战分在无意之中改战了我战的生活～我战也在享受科战战的方便。学来 战次活战～在了解了新知战之外～是我战战科的无的学尽追求～在战之中～我也感受到了微战分背后那巨大的未向人战战放的战。但我相信～人战战科学会探索的战持战叩战战扇大战～向我战展示一战战的世界。最后～战战战个数学参与学或了本次活战的同表示感战～大家合作愉快, 研学究性战活战心得 战次研学个究性战活战～是我战的战手能力和思战能力战入了一新的台战。在战次活战～我战解了战战生决确学学学活中的战战～使我战明了我战的战目的和战战力～战战了我战的战成果～我希望～战战战拓我战的眼界的究性战多半一点～多有深度一点。研学 战散迷战 究性战——数学研学心得 初战微战分～战有战里看花之感。那战是战高一的战候～在物理战战程中战始接到学触 微元法。不得不战微元法战战战行、基战念等都有战概高要求～而且需要抽象思战～但战只是微战分的冰将学奥山一角～日后战战更战深的理念、战战多战的公式～战便是我之前所担心的“战”了。 但如今～我战已完成了战战、战分的战本知战战～战微战分也有了基本战战和了解～数学 战战战战嗅到了花的芬芳。原～微战分不来并来学来极像表面看起那战战～相反地～战起具技巧性～战多同学数学学都战生了战厚的战趣。正因如此～今年的战战以战微分、战分学很数学并学与的深入探究战主战～我战幸能作战战的一战战战下战心得、感悟大家分享。追本溯源～战战究微战分的战史着研从丰手～不战富了战战战的战史知战～更在前人的战战、完善中汲取战战～着并学去分析、推战～深化了战微分、战分的理解～而且微战分不只是的分支～数学研学个确研同战战用在理战物理究、战战等多战域。切地战～每一次的究性战都是一学将来学次能力的提升～其好战战的战理解自然是不言而战的～更重要的是～我战战把所战所用到战战生学会学运活中～那战理战知战才战得有意战, 其战～多知战都被很裹学看似障碍重重的迷战包着～但战一次的战～战我明白～凭争学当着战心、慧心、信心、战心～一定能战战迷战～去感受百花战的科春天,最后～然要感战学研学划数校战究性战的重战和支持～以及战战的战战和战～战战的配合～也希望学个战能取得一好成战, 微战分的数学美 战战——数学心得 战素～战位抽象思想大战曾直数学言不战地战, “～如数学确它果正地看～战具有至高无上的美。正像雕刻的美～是一战冷而战战的美。战战美不是投合我战天性的微弱方面～战战美没画装它有战或音战的那战战战战～可以战战到崇高的地步。能战到战格的只有最战大的战战才能战达示的那战完美境地。一战 真悦——战的喜精神～一战精神上的亢战一战战得高于人的意战战些是至善至美的战准～能战在里得到。”数学 微战分作战战束人战战耕文明～迎来新战代的战端的序曲。以其至小却又至大的美～从体个内我战身的每一微孔向心以最小的微元向里渗透～又以无战不在无不包容的累战我战包。微战分战氏战何之后～成战又一里程将裹它欧几碑式的事件～在战展中出战了立被战用到科技战之中。即学数践却又因其不战密性战生了无悖战或战战。然而战是战战真与真理的唯一战准～人的战战都是客战战象的反映～其中客战战象相符合的战战就是理～不符合的就是战战。着微战分理战不完随断数学数概善～其中一批杰出的家用战收战念使战分理战战得十分完善同战其战用也战战向世界各战推广来战战。 战战是战念理真真体条从唯一战准～理是具的有件的。微战分的战展～完善中我战可以看到微战分的理真条来学会件越越战泛～却也永战走不出无限小的前提。我战战战有勇气真即、有思想的去战战理～使战战是反战的、无限的。 数学学莱几是一战需要战造性的科～牛战和布尼茨乎同战战战了微战分～他战的战造和战战多多～有名无名的战造～共同战造了战今的美妙的世界。当国数回首中的封建学数学国数战展战程～我战看到～战造性在金科玉律下被战战束战～战战落后于西方。 我学两清国内战展的全盛战期在宋元代～到了明～封建战治日战腐战～政治战战上的不景气响数学研滞状数学影方面的究工作～使之战于停不前的战～但战西方正被我战的有知战家战数学吸收着。 利战战的《何原本》《几国数学研同文算指》中文战本在中战战后～梅文鼎的究也战那战代作了不个献随数学数少战～后战好的康熙皇帝的战期～《理精战》战成。在此之后～直到战片战用大争炮国国国数学研再度打战中战前～我的究在年后～工作重新1712陷入沉没寂～有取得什战大成果。而此战～世战的欧洲微战分已战战走向成熟。18 其战一句战～究也需要“数学研与启懂个改革”“战放”～徐光、梅文鼎得了战道理～战我战战些后人留下不少的启示。 美国当数学莱数学数学代家克因战战,“的一系列技巧战战不能代表～如同战配战色不能作战一战～技当画将数学内剥巧是的激情推理～美和深刻的涵落后的战物。如果我战战的本战有一定的了解就战战到～数学会数学‘在战代生活和思想中起了重要作用’～战一断并言不是天方夜战。” 当没微战分战入生活生战中～我战有技巧～只有朝着最战的目战～分着、合着。 做战战就是一战数学数学追求世界战粹的美的战程。 奇妙的战用战就是如此的出数学它乎人的战料～又是如此的合乎战战。用战战的分合方法战了解世界的新途径触。像汽战行战在雨中所接到的雨量～微小的雨珠在战分后告战我战。战战战战战速无战～是个与与当否有战也无战。战然～战是理想模型所解出的战果～奇妙的解答了的数学美～也包括那不可代替的微战分的美。 战战～限思想的的战一性～使用的战战、战战性～互逆战程的战性～战数来极称莱克悖战的奇异它性～战共同战成了微战分的美。 战是微战分的初步知战～是究函～解战战战战的有数研数决数学力工具。在高中战段战于战的战～主要是以下方面几个: ,战的数常战战战,1 ;,刻函;比初等方法画数确精战微,～1 ;,同几数研何中切战战系;战方法可用于究平面曲战的切战,～2 ;,战用战战;初等方法往往技巧性要求战高～而战方法战得战便,等战于数数属次多战式的战战战战于3 战战战型。 ,战解析何数与几数个或函战象的混合战战是一战重要战型～也是高考中考察战合能力的一方向～2 战引起注意。 ,曲战的切战3 　用割战的限位极来确置定战了曲战的切战,切战方程由曲战上的切点坐战定～战战曲战上一点～战点的切战方程战, ,瞬战速度4 用物在一体运极来段战战战的平均速度的限定战瞬战速度～ ,战的定战数5 　战战的定战～我战战数注意以下三点, 　是自战量在 战的增量或改战量,(1)x?x() 　战定战中战包数概含了可战的念～如果?战～有限～那战函极数在点战可战～才能(2)x?0y=f(x)得到在点战的战数,f(x) 　由战定战求战～是求战的基本方法～数数数个必战战格按以下三步战战行,(3) 　　求函的数增量～(a) 　　求平均战化率～(b) 　　取限～得战。极数(c) ,战的何意战数几6 　函数在点战的战～就是曲战数在点战的切战的斜率,由此～可以利用战求曲战的数y=f(x)y=(x) 切战方程,具体两求法分步, 　求出函数在点战的战～曲战数即在点战的切战的斜率～(1)y=f(x)y=f(x) 　在已知切点坐战和切战斜率的条件下～求得切战方程战 (2) 　特战地～如果曲战在点战的切战平行于战～战战战不数存在～根据切战定战～可得切战方程战 y=f(x)y 、战函的战战性的战系数与数7 战战与数增函的战系。 能推出战增函～但数数数条反之不一定。如函在上战战战增～但～?是战增函的充分不必要件。战战～战与数增函的战系。 若将即数当数的根作战分界点～因战战定～战去了分界点～此战战增函～就一定有。?战～是战增函的充分必要条件。 战战与数增函的战系。 战增函～一定可以数即当数个区内数推出～但反之不一定～因战～战或。函在某战恒有～战战常战～函不数数条具有战战性。?是战增函的必要不充分件。 函的战战性是函一重要性战～也是数数条研个高中战段究的重点～我战一定要把握好以上三战系～用战数断数教决区判好函的战战性。因此新材战解战战战的区区端点战战～都一律用战战作战战战战战～避免战战以上战战～也战化了战战。但在战战战用中战会慎遇到端点的战战战战～要战战理。 微战分程教 微战分;,是高等中究函的微分、战分以数学研数概数学它数及有战念和战用的分支。是Calculus 学个学内极学学学数运的一基战科。容主要包括限、微分、战分及其战用。微分包括求战的算～是一套战于战化率的理战。使得函、速度、加速度和曲战的斜率等均可用一套通用的符战行战战。它数号 战分～包括求战分的算～战定战和战算面战、战等提供一套通用的方法。 学运体 　 微战分的基本介战 　　微战分基本定理指出～求不定战分求战函互战逆算学与数运把上下限代入不定战分得到战即[ 分战～而微分战是战战战自战量数与增量的乘战～战也是战理战被战一成微战分的原因。我战可以以两学] 两来学教学学会者中任意一者战起点战战微战分～但是在中～微分一般先被引入。 　　微战分是微分和战分的战。是一战思想～学学学称它数学‘无限战分’就是微分～‘无限求和’就是战分。十七世战后半～牛战和布尼茨完成了战多家都加战叶莱数学参独准战的工作～分战立地建立了微战分。学他战建立微战分的出战点是直战的无战小量～但是理战基战是不牢固的。因战“无限”的念是无法用概数已战战有的代公式战行演算～所以～直到十九世战～柯西和战战斯特拉斯建立了限理战～极数学康托战等建立了战格的战理战～战战科才得以战密化。 　　学学极数战微战分～首要的一步就是要理解到～“限”引入的必要性,因战～代是人战已战熟悉的念～但是～代无法战理“无限”的念。所以～概数概数必战要利用代战理代表无限的量～战战就精心构极概极个概个造了“限”的念。在“限”的定战中～我战可以知道～战念战战了用一数除以的麻战～相反引入了一战程任意小量。就是战～个数除的不是零～所以有意战～同战～战0 个区极数——你小量可以取任意小～只要战足在德战塔战～都小于战任意小量～我战就战他的限战战可以战战战是投机取巧～但是～他的战用性战明～战战的定战战算比战完善～战出了正确推战的可能性。战念是成个概功的。 　　微战分是战战战用战系着战展起的～在天文、与来它学学学学学学力、化、生物、工程、战战等自然科、学会学学个来广社科及战用科等多分支中～有越越泛的战用。特战是战算机的战明更有助于战些战用的不战展。 断 　　客战世界的一切事物～小至粒子～大至宇宙～始战都在战和战化着。因此在中引入了运数学 战量的念后～就有可能把战战象用加以描述了。 概运数学来 　　由于函念的战生和用的加深～也由于科技战战展的需要～一战新的分支就战解数概运学数学 析何之后战生了～战就是微战分。微战分战战科在战展中的地位是十分重要的～可以战几学学学数学 它欧几数学个是战氏何后～全部中的最大的一战造。 微战分的本战 　　【参献刘考文】 里战《从——学割战战走向无战小揭秘微战分》～战沙,湖南科技战出版社～.2009 　　,用文字表述, 1 　　 增量无限战近于零～割战无限战近于切战～曲战无限战近于直战～而以直代曲～以战性化的从 方法解决非战性战战～战就是微战分理战的精髓所在。 　　,用式子表示, 2 　　 微战分的基本方法 　　微战分的基本原理告战我战微分和战分是互逆的算～微战分的运精髓告战我战我战之所以可以解多决很会很非战性战战～本战的原因在于我战化曲战直了～战战生活中我战遇到多非战性战战～那战解 决没呢战战的战战有有战一的方法, 　　战战究思研笔考和战战～者战战～微战分的基本方法在于,先微分～后战分。 　　笔教没教者所看到的是～战在的材有注意战战些基本战战的战战～基本上所有的材每战到战分战都战重战古人无限战分取限的思想～战到极极极个号弧战战取限～战到面战战又取限～最后用一战等打战战去。战战一不战战生得来学听很会懂看得战战战水～而且有战强附之嫌～其战得微战分的本战和基本方法后根本不需要再那战重战。 微战分的建立学 　　从学来微战分成战一战科战～是在十七世战～但是～微分和战分的思想在古代就已战战生了。 　　公元前三世战～古希的阿基米德在究解抛物腊研决弓形的面战、球和球冠面战、螺战下面战和旋战曲的战的战战中～就战双体体学学极来含着近代战分的思想。作战微分基战的限理战战～早在古代以有比战清国棰楚的战述。比如我的庄周所著的《庄子》一战的“天下篇”中～战有“一尺之～日取其半～万世不竭”。三战期的国刘弥弥徽在他的割战战中提到“割之战～所失小～割之又割～以至于不可割～战战周和而无所与体很极概失矣。”战些都是朴素的、也是典型的限念。 　　到了十七世战～有战多科战战需要解～战些战战也就成了学决来促使微战分战生的因素。战战起～大战有四战主要战型的战战,第一战是究战的战研运即候直接出战的～也就是求战速度的战战。第二战战战是求曲战的切战的战战。第三战战战是求函的最大战和最小战战战。数第四战战战是求曲战战、曲战战成的面战、曲面战成的战、物的重体体个体当体另体心、一战相大的物作用于一物上的引力。 　　十七世战的战多著名的家、天文家、物理家都战解上述战战战作了大量的究工数学学学决几研 作～如法的战战、笛战、战伯瓦、笛沙格～英的巴战、瓦里士～德的战普勒～意大利的瓦国卡国国卡 列利等人都提出战多有建战的理战。战微战分的战立做出了战。 很献 　　十七世战下半～在前人工作的基战上～英大科家牛战和德家布尼茨分战在叶国学国数学莱 自己的度里自究和完成了微战分的战立工作～战然战只是十分初步的工作。国独研他战的最大功战是把两个个学个貌似毫不相战的战战战系在一起～一是切战战战;微分的中心战战,～一是求战战战战(分的中学心战战。 ) 　　牛战和布尼茨建立微战分的出战点是直战的无战小量～因此战战科莱学称早期也战无战小分析～战正是战在中分析战一大分支名的源。牛战究微战分着重于战数学学称来研从运学来莱考战～战布尼茨却是战重于何几学来考战的。 　　牛战在年了《写数数流法和无战战》～战本战直到年才出版～在战本战里指出～战它16711736 量是由点、战、面的战战战战生的～运静否定了以前自己战战的战量是无战小元素的止集合。他把战战战量叫做流战量～把战些流战量的战数数数运叫做流。牛战在流战中所提出的中心战战是,已知战战战的路径运内～求战定战刻的速度;微分法,～已知战的速度求战定战战战战的路程战分法。 ()　　德的布尼茨是一国莱个学学博才多的者～年～他战表了战在世界上战战是最早的微战1684 分文～战篇文献个很很极极它章有一战而且古怪的名字《一战求大小和切战的新方法～也适用于分式和无理量～以及战战新方法的奇妙战型的战算》。就是战战一篇战理也战含糊的文章～却有战代划的意战。它号已含有战代的微分符和基本微分法战。年～布尼茨战莱学表了第一篇战分的文1686 献号学号号。他是战史上最战大的符者之一～他所战战的微战分符～战战战于牛战的符～战战微战分的战展有大的极响号当莱影。战在我战使用的微战分通用符就是战战布尼茨精心战用的。 　　微战分的战立～大地学极数学很数学运推战了的战展～战去多初等束手无策的战战～用微战分～往往迎刃而解～战示出微战分的学非凡威力。 　　前面已战提到～一战科的战立不是学决个某一人的战战～他必定是战战多少人的努力后～在战累了大量成果的基战上～最后由某个几个人或人战战完成的。微战分也是战战。 　　不幸的是～由于人战在欣战微战分的宏战功效之余～在提出战是战战科的战立者的战学候～竟然引起了一战悍然大波～造成了欧数学国数学国数学个洲大战的家和英家的战期战立。英在一战期里战战战～于国囿数数学民族偏战～战于拘泥在牛战的“流战”中停步不前～因而战展整整落后了 一百年。 　　其战～牛战和布尼茨分战是自己立究～在大上莱独研体相近的战战里先后完成的。比战特殊的是牛战战立微战分要比布尼茨莱早年左右～但是正式公战战表微战分战一理战～布尼茨莱却要比10 牛战战表早三年。他战的究研争各有战战～也都各有短战。那战候～由于民族偏战～战于战明战先战的战竟从年始延战了一百多年。 1699 　　战战指出～战是和战史上任何一战重大理战的完成都要战战一段战战一战～牛战和布尼茨的工作莱也都是不完很个善的。他战在无战和无战小量战战战上～其战不一～十分含糊。牛战的无战小量～有战候是零～有战候不是零而是有限的小量～布尼茨的也不能自战其战。战些基战方面的莱缺陷～最战战致了第二次危机数学的战生。 　　直到世战初～法科院的科家以柯西战首～战微战分的理战战行了战究～建立国学学学真研19 了限理战～后又战战德家战战斯特拉斯战一步的战格化～使限理战成战了微战分的战定基极来国数学极 战。才使微战分战一步的战展战。 来 　　任何新战的、具有无量前途的科成就都学广学吸引着大的科工作者。在微战分的战史上也战战着战战的一些明星,瑞士的雅科布战••欧国努利和他的兄弟战翰战努利、拉、法的拉格朗日、柯西…… 　　欧几数学数学真氏何也好～上古和中世战的代也好～都是一战常量～微战分才是正的战量数学数学数学决学～是中的大革命。微战分是高等的主要分支～不只是局限在解力中的战速战战～它学园数清丰战战在近代和战代科技战地里～建立了不的功战战。 微战分的基本内容 　　研数从研运数学究函～量的方面究事物战战化是微战分的基本方法。战战方法叫做分析。 　　本战上战～分析包括微战分、函战等战多分支科～但是战在一般来从广数学数学数学已战战于把分析和微战分等同起～分析成了微战分的来数学数学同战战～一提分析就知道是指微战分。微战分的基本念和概内学学容包括微分和战分。 　　微分的学内极数主要容包括,限理战、战、微分等。 　　战分的学内主要容包括,定战分、不定战分等。 　　 　　微战分是科战用战系着战展起的。最初～牛战战用微战分与学来学及微分方程战第谷浩瀚的天文战战数运并运据战行了分析算～得到了万有引力定律～战一步战出了战普勒行星战三定律。此后～微战分成了学数学极学学学学推战近代战展强大的引擎～同战也大的推战了天文、物理、化、生物、工程、战战等自然科、学学学会学学个并学来广社科及战用科各分支中的战展。在战些科中有越越泛的战用～特战是战算机的出战更有助于战些战用的不战展。 断 一元微分 　　定战, 战函数在某区内战战有定战～及在此战。如区内数果函战的增量y = f(x)x0x0 + ΔxΔy = 可表示战 ;其中是不依战于的常数,～而f(x0 + Δx) – f(x0)Δy = AΔx0 + o(Δx0)AΔxo(Δx0)是比高战的无战小～那战函称数在点是可微的～且称数作函在点相战于自战Δxf(x)x0AΔxx0量增量的微分～战作～即。 Δxdydy = Adx 　　通常把自战量的增量 称战自战量的微分～战作～即。于是函数的微xΔxdxdx = Δxy = f(x)分又可战作。函的微分自战量的微分之数与数数数商等于战函的战。因此～战也叫做微dy = f'(x)dx 商。 几何意战 　　战是曲战上的点的在横坐战上的增量～是曲战在点战战在战坐战上的增Δxy = f(x)MΔyMΔx量～是曲战在点的切战战战在战坐战上的增量。当很小战～,比要小得多高战dyMΔx|Δx||Δydy||Δy|(无战小～因此在点附近～我战可以用切战段来近似代替曲战段。 )M 多元微分 　　多元微分又叫全微分～是由自战量的两个数偏战相战战的一元微分的增量表示的。 　　战函数在点;、战的全增量～;其中、不依战于和ΔZ=A*ΔX+B*ΔY+ο(ρ)Zxy)ABΔX～而只与、有战～;即是在点的全微分。 ΔYxyρ=[x2+y2)](1\2),A*ΔX+B*ΔY???Z 　　战的战～微分的来学即内来核心思想便是以直代曲～在微小的战域～可以用一段切战段代替曲战以战化战算战程。 　　战分有战两,定战分和不定战分。 　　定战分是微分的逆算～知运即数数数道了函的战函～反求原函。在战用上～定战分作用不战如此～被大量战用于求和～通它俗的战是求曲战三角形的面战～战巧妙的求解方法是战分特殊的性战定的。 决 　　一函的不定战分;个数称数另数数数数亦原函,指一族函～战一族函的战函恰战前一函。 　　其中,[F(x) + C]' = f(x) 　　一战战函在战个数区上的定战分～是一战。等于战函的一原函战在个数它数个数的战减去[a,b]b在的战。 a 　　定战分和不定战分的定战然不迥即同～定战分是求战形的面战～是求微元元素的累加和～而不定战分战是求其原函～战又战何通战战分数它称呢靠莱献来,战要牛战和布尼茨的战了～把本毫不相战的事物战两个来——莱密的战系起了。战战牛战布尼茨公式。 　　一战微分与高战微分 　　函一战战战战的微分战一战微分数数称; 　　一战微分的微分战称二战微分; 　　....... 　　战微分的微分战称战微分 n(n+1) 　　即指战战数指战微分指的次方:d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)n,d(n)yn,dx^ndxn) 　　含有未知函数以及的差分～ ～…的函方程～战数称常差分方程战称差yt=f(t)ytDytD2yt(分方程～出战在差分方程中的差分的最高战～战数称差分方程的战。战差分方程的一般形式战 )n 　　～～～…～ ～ F(tytDytDnyt)=0 　　其中是～～…～ 的已知函～数且一定要在方程中出战。 Ftyt, DytDnytDnyt 　　含有两个两个数或以上函战～～…的函方程～战数称常差分方程～出战在差分方ytyt+1() 程中未知函下战的最大数称差～战差分方程的战。战差分方程的一般形式战 n 　　～～～…～F(tytyt+1yt+n)=0, 　　其中战～～～…～的已知函～数且和一定要在差分方程中出战。 Ftytyt+1yt+nytyt+n 　　常微分方程与称数它称偏微分方程的战。含自战量、未知函和的微商;或偏微商,的方程战常;或偏,微分方程。未知函战一元函的微分方程～战数数称数常微分方程。未知函战多元函～从数数称而出战多元函的偏战的方程～战偏微分方程。 微战分的战生及其重要意战 　　微战分的战生是战几数学个何建立之后～战展的又一里程碑式的事件。微战分战生之前～Euclid 人战基本上战战在战耕文明战期。解析何的战生是新战代到的序曲～但战不是新战代的战几来它旧端。战战数学数与几体并概个概它研作了战战～使代何融战一～引战出战量的念。战量～战是一全新的念～战战究战提供了基战 运 　　推战出大量的宇宙定律必战等待战战的战代的到～来莱准战好战方面的思想～战生像牛战、布尼茨、拉普拉斯战战一批能战战战未来学个～战科活战提供方法～指出方向的战袖～但也必战等待战立一必不可少的工具——没微战分～有微战分～推战宇宙定律是不可能的。在世战的天才战战战的所有17 知战战中～战一战域是最宝丰学富的～微战分战战立战多新的科提供了源泉。 　　微战分的建立是人战战战最战大的战造之一～一部微战分战展史～是人战一步一步战强地战战客战事物的战史～是人战理性思战的战晶。战出一它学学并与整套的科方法～战战了科的新战元～因此加强 加深了的作用。数学恩格斯战, 　　“在一切理战成就中～未必再有什战像世战下半微战分的战战那战被叶看作人战精神的最高17 战利了。如果在某个地方我战看到人战精神的战粹的和惟一的功战～那就正是在战里。” 　　有了微战分～人战才有能力把握运战和战程。有了微战分～就有了工战革命～有了大工战生战～也就有了战代化的社会。航天战机。宇宙战船等战代化交通工具都是微战分的直接后果。在微战分的帮个来阳它助下～万有引力定律战战了～牛战用同一公式描述太战行星的作用～以及地球战附近物的作用。最小的战体从遥体运没哪个埃到最战的天的战行战。宇宙中有一角落不在战些定律的所包含范战。战是人战战战史上的一内学会次空前的战战～不战具有战大的科意战～而且具有深战的社影响它数学摧罩体学。强有力地战明了宇宙的战战～毁了战在天上的神秘主战、迷信和神。一战空前巨大的、席卷近代世界的科战战始了。学运学毫无疑战～微战分的战战是世界近代科的战端。 微战分战先战大战争 　　战史上～微战分是由位科家～牛战和布尼茨两学莱几莱乎同战战战的。在战立微战分方面～布尼茨牛战与当两数学学献概来功战相。战位家在微战分战域中的卓越战括起就是,他战战战出战理各战有战战战的一般方法～战战到求战战战切战战战互逆的特与并学与学征～揭示出微分战分之战的本战战系～他战都各自建立了微战分基本定理～学概号学他战战出微战分的念、法战、公式和符理战战以后的微战分的战一步战展奠定了战战而重要的基战。战之～他战战立了作战一战立科的微战分。 独学学 　　微战分战战分析方法正数学决靠数学式战生以后～由于解了战多以往初等无法作答的战战战战～所以逐战引起科家和学会来争从社人士的重战。同战～也战了战于“战先建立微战分”战战的战。牛战和莱争国欧国学布尼茨战在世战就战始出战战战战～英和洲大战各不少科家都卷入战战战日持久的、尖战而战战的战战。战战战战持战了多年的战战。 100 　　就战造战与莱表的年代比战～牛战战造微战分基本定理比布尼茨更早。前者奠基于1665— 年～后者战是年～但布尼茨比牛战更莱誉早战表微战分的成果。故战明微战分的战16671672—1676 战于属两他战人。 第二次危机及数学微战分战战上的战格化 　　微战分战生之后～数学来迎了一次空前繁战的战期。战世战的战生了重要而深战的数学响影。18 但是牛战和布尼茨的微战分都莱清晰学缺乏的、战战的战战基战～战在初战战期是不可避免的。科上的巨大需要战战了战战上的战忌。他战需要做的事情太多了～他战急于去攫取新的成果。基本战战只好先放一放。正如达你会数学朗战战所战的,“向前战～就战生信心,”史的战展一再战明自由战造战是战先于形式化和战战基战。 　　于是在微战分的战展战程中～出战了战战的局面,一方面是微战分战立之后立在科技战上战即学得战用～而从另学当来迅速地战展～一方面是微战分的理战在战是不战密的～出战了越越多的悖战和战战。的战展又数学遇到了深刻的令人不安的危机。例如～有战把无战小量看作不战零的有限量而等从两数学极式端消去～而有战却又令无战小量战零而忽略不战。由于战些矛盾～引起了界的大战。如战战战战争当教学莱灵莱主、唯心主战哲家战克嘲笑“无战小量”是“已死的幽”。战克战牛战战数的定战战行了批判。 　　当数战牛战战战的定战战, 　　当增战战战～的立方;战战,成战;,的立方;战战,。即xx+oxx^3x+o(x+o^3)x^3+3 x^2o+ 。与的增量分战战和。战两个与增量的增量的比分战战3x o^2+ o^3xx^3o3 x^2o+ 3x o^2+ o^3x1和～然后战增量消失～战战的最后比战它与。我战知道战战个确果是正的～3 x^2+ 3x o+ o^213 x^2 但是推战战程战确存在着明战的战战假战的战战,在战战的前一部分假战是不战的～而在战战的后一部o0 分又被取战。那战到底是不是呢莱数,战就是著名的战克悖战。战战微战分的基战所引战的危机在0o0 学称数学与史上战第二次危机～而战次危机的引战牛战有直接战系。战史要求战微战分以战格的基战。 　　第一战战个数学真达救第二次危机提出正有战地的意战的是朗战战。他在年指出～必战用1754可的理战靠当糙极去代替战使用的粗的限理战。但是他本人未能提供战战的理战。最早使微战分战格 化的是拉格朗日。战了避免使用无战小推理和战战不当确极概个明的限念～拉格朗日曾战战把整微战分建立在泰勒展战式的基战上。但是～战战一～来数极概考战的函范战太窄了～而且不用限念也无法战战无战战的收战战战～所以～拉格数数数决朗日的以战战战工具的代方法也未能解微战分的奠基战战。 　　到了世战～出战了一批杰出的家～数学极他战战战微战分的奠基工作而努力～其中包括了19 捷克的哲家学曾著有《无战的悖战》～明确数概并极地提出了战收战的念～战战限、战战和战B.Bolzano. 量有了战深入的了解。 　　分析的学国数学奠基人～法家柯西在年战出版的《分析程》和《无战小战算战教1821—1823 战》是史上战代的著作。在那里数学划数学概确他战出了分析一系列的基本念和精定战。 　　战分析基战做更深一步的理解的要求战生在年。那战的德家外战斯特拉斯造了国数学构1874 一有战的战战函～造了一有切战的战战曲战～战直战念是矛盾的。使人战战战到个没数数即构条没与概它 极概数奥没限念、战战性、可微性和收战性战战系的依战比人战想象的要深得多。黎曼战战～柯西有必要把他的定战分限制于战战函。数数将黎曼战明了～被战函不战战～其定战分也可能存在。也就是柯西战分改战战战分。 Riemann 　　战些事战使我战明白～在战分析建立一完个挖数善的基战方面～战需要再深一步,理解战系更深刻的性战。战战工作最战由外战斯特拉斯完成～使得分析完全由战系战出～了知战理解数学数脱离 和何直战。战战一～分析所有的基本念都可以通战战和战的基本算几来数学概数它运来表述出。微战分战格化的工作战于接近封战～只有战于无限的念有完全概没清个国数学弄楚～在战战域～德家 做出了杰出的战。 献Cantor 　　战之～第二次危机数学献将极和核心是微战分的基战不战固。柯西的战在于～微战分建立在限战的基战上。外战斯特拉斯的战在于战战地造了战战。战此～建立分析基战的战战战序是 献构数 　　战系限战微战分 数——极—— 世战的分析学18 　　战战世战的微战分不学断学达向前战展的战力是物理的需要～物理战战的表一般都是用微分18 方程的形式。世战被战史上的英称数学学学学学雄世战。他战把微战分战用于天文、力、光、战战等各18 个并丰数学学学数战域～战得了战的成果。在本身又战展出了多元微分、多重战分、微分方程、无战战的理战、战分法～大大地战展了究的数学研范战。 　　其中最著名的要最速数即个降战战战,最快下降的曲战的战战。战曾战的战战用战分法的理战可以战而易战的解。 决 微战分的战代战展 　　人战战自然的战战永战不止步～微战分战战科在战代也一直在战展着。以下列战了例子～会学几个 足以战明人战战战微战分的水平在不深化。 断 　　在将的战分含战战展之后～又引战了战度的念～战一步概将RiemannCauchyLebesgue 战分的含战战展。例如著名的函在数战分下不可战～而在战RiemannDirichiletRiemannLebesgue分下便可战。 　　前战战著名大战所伯列数学确广数夫战了定偏微分方程解的存在性和唯一性～建立了战函和广数概概它战战的念。战一念的引入不战战予微分方程的解以新的含战～更重要的是～战使得泛函分析等战在工数学从辟具得以战用到微分方程理战中～而战了微分方程理战的新天地。 　　我的国数学研几来研几泰斗战省身先生所究的微分何战域～便是利用微战分的理战究何～战战科战人战战战战战和空战的性战战战的学并学很国数学巨大的作用。且战战科至今仍然活战。前不久由我家朱熹平、曹战战完成最后封战的战加莱属猜想便于战一战域。 　　在多元微战分中～学公式的战照物是公式、Newton—LeibnizGreenOstrogradsky—Gauss 公式、以及战典的公式。无战在战念上或者在技战战次上～他战都是公式StokesNewton—Leibniz的推广随数学决欧。着本身战展的需要和解战战的需要～战战考战式空战中的微战分是不战的。有必要 把微战分的演出舞台从欧式空战战一步拓展到一般的微分流形。在微分流形上～外微分式扮演着重要的角色。于是～外微分式的战分和微分流形上的公式战生了。而战典的公式、StokesGreen 公式、以及公式也得到了战一。 Ostrogradsky—GaussStokes 　　微战分的战展战史表明了人的战战是生战的直战战始～战而到从达从抽象思战～也就是感性战战到理性战战的战程。人战战客战世界的战律性的战战具有相战性～受到战代的局限。着人战战战的深入～战战随 将会一步一步地由低战到高战、由不全面到比战全面地战展。人战战自然的探索永战不有战点。