利用MATHLAB研究火箭升空问题

利用MATHLAB研究火箭升空问 论文摘要,运用物理学的方法和微积分的知识来建立数学模型,借促MATLAB软件,得到结果,在第60秒引擎刚关闭时,火箭的高度为9317.8米,速度为274m/s,加速度为132.7931m/s ,火箭达到最高点的时间为70.2s,高度为14604m.k的值估计为0.4904. 论文关键词,火箭升空,牛顿第二定律,软件 一、问题重述 火箭的质量为300千克(kg),携带900千克燃料并以15kg/s速率燃烧而产生恒定40000牛顿推力.同时受与速度的平方成正比,比例系数为k的空气阻力,在t时间时高度x(t),速度为v(t),取重力加速度g为9.8m/s. 二、问题假设 1.空气的阻力f与速度平方v成正比,比例系数为k, 2.燃料以15千克/秒的速率燃烧,并产生40000牛顿的恒定推力, 3.重力加速度g为9.8m/s, 4.火箭本身的质量为m,剩下燃料的质量为m, 5.火箭运行的高度x(米)与时间t(秒)和速度v(米/秒)对应的关系,x(t)为火箭在时t的高度测有一组数据如下: 三、模型求解 1.建立模型 由物理学可知,在t时刻,火箭和燃料的质量为1200-15t,重力产生的 阻力为(1200-15t)×9.8,空气阻力为kv,那么,由牛顿第二定律可得 ,0 t 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x 1070 1270 1480 1700 1910 2140 2360 2600 2830 3070 3310 v 190 200 210 216 225 228 231 234 239 240 246 ---------------------------------------------------------------------- ,科研项目,安康学院大学生科技创新项目,2009AKXYDXS06,. t>60 由,可得到,0(1) t>60,2, ,3, 2.模型求解 当0时,令a=dv/dt.由t和v的对应关系在matlab中编程以及给出的公 式 t=10:20, v=[190200210216225228231234239240246], fori=3:10 a(i)=(1/12)*(v(i-2)-8*v(i-1)+8*v(i+1)-v(i+2)), end a=[10107.75007.6676.252.52.8334.33332.753.58.5] 将a的值代入,3,中,在matlab中可求得k=0.4904. 在(1)式中,由,得 ,4, 求解过程,编写m文件如下: ------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------- functionxdot=wf(t,x) xdot=zeros(2,1) xdot(1)=x(2) xdot(2)=[28240+147*t-0.4904*x(2). ]/(1200-15*t) 在命令窗口中执行: xspan=0:1:60,x0=[00]’, [t,x]=ode45(‘wf’,xspan,x0), plot(t,x) 结果为: ans=1.0e+004* ------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------- Columns1through10 ……………… Column61 1.3807 0.0274 故在t=60s时,x(t)=1.3807*10,v(t)=0.0274*10m/s. 此时关闭引擎,t=60s,火箭推力为0时只受空气阻力与自身重力作用m=300kg,所以 加速度. 火箭关闭引擎后,t>60, ,转化为 设,得微分方程组 ,,5, 求解过程,编写m文件如下: ------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------- functionact=wf(t,y) act=zeros(2,1), act(1)=y(2), act(2)=-[0.4904*y(2). /300+9.8] 在命令窗口中执行: vspan=60:0.2:74, [t,y]=act(‘wf’,vspan,[13807274]), 输出的结果: ans=1.0e+004* ---------------------------------------------------------------------------------------Columns1th rough10 ……………… 1.4604 0.0000 由输出的结果可知道:当t=70.2时,y(1)=14604,y(2)=0,即此时的速度v=0m/s,而且此时火箭达到最大高度. 所以火箭升到最大高度所花的总时间T=70.2s.关闭引擎后,火箭上升到最大高度H=14604m.至此,问题得到解决. 参考文献 1 阳明盛、熊西文,MATLAB基础及数学软件.大连:大连理工大学出版社,2003.8. 2 夏玮、李朝晖,控制系统仿真与实例详解.北京:人民邮电出版社,2008.10. 3 胡祥青,大学物理.北京:北京师范大学出版社,2005.5.