轨迹问题的探究性学习

轨迹问题的探究性学习 在中学数学中, 关于轨迹的讨论，主要有两类: "几何轨迹" ---- 是指由一个几何结构中的动点而产生的轨迹图形。 "方程的轨迹" ---- 是指由代数方程 f(x, y) = 0的解集G={p=(x, y)| f(x, y) =0, x(D} 所构成的图像。 构成几何轨迹的要素有3: 几何结构, 主动点, 轨迹点，而轨迹点是受几何结构约束的。 构成方程轨迹的要素有2: 定义域D和方程 f(x, y) = 0。 几何轨迹的的学习是初三的课程，方程轨迹的学习是高二的课程，当中包括了用方程来描述几何轨迹的问题 -- 求几何轨迹的方程。 研究几何轨迹的方法是: 1. 根据给定的条件, 设计并作出相关的几何结构； 2. 作出轨迹图形。 由于初中课程的限制，结果并不推导轨迹方程，重要的是设计并作出相关的几何结构。 研究方程轨迹的方法是: 1. 根据给定的条件, 由公式或其他方法，建立能达该条件的数学方程 f(x, y) = 0和定义域D； 2. 解方程、描点，得到轨迹的图像。 高中课程的重点是建立方程。建立方程要靠数学思维、数学方法和演译推理，最好还是用人脑纸笔作业。解方程和作图主要是一些大量的重覆而繁琐的工作, 宜借助电脑完成。 如果研究的是几何轨迹的方程，则首先要作出相关的几何结构，作出几何轨迹，这有助于建立方程的思考，并对所得方程进行检验 -- 方程轨迹与几何轨迹是否重合。 无论是作几何结构或函数图像都要借助工具，下面问题将在DM_Lab环境中进行探究。 一. 几何轨迹的探究 几何轨迹的探究着重在几何结构的设计。 下面以 "平面内到两定点距离之“和、差、积、商”为定值的点的轨迹"为例。 1. 平面内到两定点距离之和为定值的点的轨迹 操 作 参 考 图 例 说 明 方法1 1. 用作两点F1和F2； 2. 用以F1为心作圆F1,半径R> |F1F2|; 3. 用在圆周上取一点A; 4. 用作线段AF1,AF2; 5. 用作AF2中垂线BC交AF1于C; 6. 选蓝色，用跟踪点C; 7. 用点一下A点，建立自动动画。 8. 暂存 1. 这样的几何结构需要证明其满足给定的条件。 易证: CF1+CF2 = CF1+CA = R = 定值。 2. 可用缩放圆的半径，改变定值。 方法2 1. 用作两点F1和F2; 2. 用作线段AB, 使得: |AB| > |F1F2| 3. 用在AB上取一点C; 4. 用作线段AC和CB; 5. 用作以F1为心,AC为半径的圆F1; 6. 用作以F2为心,CB为半径的圆F2; 7. 用作两圆交点P1和P2; 8. 蓝色，用跟踪点P1,P2; 9. 用点一下C点，建立自动动画。 10. 暂存 1. 这样的几何结构显然有P1F1+P1F2 = AC+CB = AB = 定值。 2. 移动A或B可改变该定值。 2. 平面内到两定点距离之差为定值的点的轨迹 操 作 参 考 图 例 说 明 方法1 1. 取出 "和" 1.的图; 2. 用缩小圆F1,至半径 R< |F1F2|; 3. 用点一下A点，建立自动动画。 4. 暂存 1, |CF2-CF1| = R = 定值。 2. 可用缩放圆的半径，改变定值。 方法2 1. 取出 "和" 2.的图; 2. 移动B点, 缩小AB的长度, 使 |AB| < |F1F2| 3. 用改AB为直线; 4. 用点一下C点，建立自动动画。 5. 暂存 1. |CA-CB| = AB =定值。 2. 移动A或B可改变该定值。 3. 如果图像在顶点附近有断裂,可取消自动动画, 改为手动慢动作拖动C点的移动。 [注] 符合条件的几何结构不是唯一的，这里只是其中的两例，更多的方法可以让学生去探究和讨论，这有助于提高学生几何知识的运用和数学的思维能力，有助于学生数学素养的培育。 3. 平面内到两定点距离之积为定值的点的轨迹 操 作 参 考 图 例 说 明 方法1 1. 用作两点F1和F2; 2. 用作线段AB, 使得: |AB| > |F1F2| 3. 用在AB上取一点C; 4. 用连结AC; 5. 测量AC长度，得变量a； 6. 在参数监察栏输入: d = 3 7. 在参数监察栏输入: b=d/a 8. 用作线段DE=b; 9. 用作以F1为心,DE为半径的圆F1, R1=DE; 10. 用作以F2为心,AC为半径的圆F2, R2=AC; 11. 用作两圆交点P1和P2; 12. 红色，用跟踪点P1,P2; 13. 用点一下C点，建立自动动画。 1.R1·R2 = DE·AC = a·b=d=定值。 2. 修改d的值, 例如改 d=5，可改变该定值。 4. 平面内到两定点距离之商(比)为定值的点的轨迹 操 作 参 考 图 例 说 明 方法1 1. 用作两点F1和F2; 2. 用作线段AB； 3. 用在AB上取一点C; 4. 用连结AC; 5. 用作以F1为心,AC为半径的圆F1, R1=AC; 6. 用作以F2为心,AB为半径的圆F2, R2=AB; 7. 用作两圆交点P1和P2; 8. 红色，用跟踪点P1,P2; 9. 用鼠标慢慢拖动B点移动。 1. C是线段AB的内分点，当A或B移动时，C的分比不变。即AC:AB=定值。 R1:R2 =AC:AB = 定值。 2. 移动C的位置, 可改变该定值。 [注] 以上是一些几何轨迹的例，这些轨迹都是由特定的几何结构产生的。设计这些几何结构，要根据给定的条件，再运用几何知识或有关几何定理，很考究心思。产生同样轨迹的几何结构不是唯一的，这里有广阔的创意空间。可以成为小组讨论或创意活动的课题。几何轨迹一般是按排在初三课程的后期，多数几何内容学过之后进行，因此也可以作为对前面知识的拓展应用。 例如： 运用圆幂定理，设计一个能产生 "到两点距离之积为常量" 的点的轨迹。 学生首先要回忆圆幂定理讲的是什么。圆幂定理包括三条定理，其中之一叫相交弦定理。如下图：圆O上两弦AB和DE相交于C点，则EC·CD = AC·CB。 如果A、B、C不动，让D点绕圆周一圈，则有EC·CD = AC·CB=常量。而EC和CD却是变量。 如果以EC和CD为半径作两个圆，两圆不要离的太远，让它们能相交，则交点到两圆心的距离之积就是一个常量。那么，交点的轨迹满足题目条件，就是所求。 操 作 参 考 图 例 说 明 1 1. 用作圆O； 2. 用作弦AB，A、B在圆周上； 3. 用在AB上取一点C； 4. 用作CD，D在圆周上； 5. 用作CD与圆O交点E； 6. 用连结EC； 7. 用作两点F1和F2; 8. 用作以F1为心,EC为半径的圆F1, R1=EC; 9. 用作以F2为心,CD为半径的圆F2, R2=CD; 10. 用作两圆交点P1和P2; 11. 红色，用跟踪点P1,P2; 12. 用点一下D点，建立自动动画。 1.R1·R2 = EC·CD = AC·CB=定值。 2. 移动C的位置, 可改变该定值。 3. 完成后再玩一玩：用点一下C点，出现的是一条怎样的轨迹? 二. 函数轨迹的探究 所谓函数的轨迹，就是方程的曲线，主要是解方程描点。这交给电脑去做好了，探究的空间只是参数对图像的影响。这是高中课程的内容。 下面以 "平面内到两定点距离之“和、差、积、商”为定值的点的轨迹"为例。 1. 平面内到两定点距离之和为定值的点的轨迹 操 作 参 考 图 例 说 明 方法1 1. 开启座标格线，作座标轴，显示刻度。 2. 从[工具]打开[函数作图]； 3. 用作两点F1和F2； 4. 测量点F1的x、y座标得变量a和b； 5。测量点F2的x、y座标得变量c和d； 6. 测量点F1到F2的距离，得变量e； 7. 在函数输入栏输入： hf=>sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)+sqrt((x-c)^2+(y-d)^2) = k 8. 设k为参数，要初值 > 变量e； 9. 用让函数动起来.。 观察： 参数k对图像的影响。 + 2. 差、积、商 的作图方法几乎完全相同，只是输入函数不同而以，这里从略。下面只给出图例。要注意的是参数k要有适当的范围，不是任意的k值都有图像。原因留给学生去思考。 差 积 商(比) hf=>abs(sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)-sqrt((x-c)^2+(y-d)^2))=k 参数K的初终值都要小于变量e。 hf=>sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)*sqrt((x-c)^2+(y-d)^2)=k 受DM_Lab精度的限制，参数K的初值最好>=2。 hf=>sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)/sqrt((x-c)^2+(y-d)^2)=k 参数K可取(0,5)试试。 三. 求几何轨迹的方程 解析几何学习中较困难的要数求轨迹的参数方程了，题目一般是没有附图的，图形要学生自己画图，图形画不好不但使解题无从着手，而且还可能形成误导。获得后，也难以验证。 此处给出3例，可作为解题和验证的参考。 例1. 如图，圆O(0,0)的半径 R = 5，A是圆周上一点，自A向x轴作垂线，垂足为B，沿OA方向截取OC = AB，求C点轨迹方程。 作图 1. 用，作圆O，以(0, 0)为心，5为半径； 2. 用，在圆周上取一点A； 3. 用，作AB⊥x轴； 4. 用，沿OA截取OC=AB； 5. 选择颜色，用跟踪C的轨迹； 操作 : 拖动A点移动，画出点C的轨迹。 解: (1) (2) |OC| = |AB| = 5|sinθ| (3) (4) 轨迹方程: 验证 1. 在函数输入栏输入 tf=> x=5*abs(sin(t))*cos(t), y=5*abs(sin(t))*sin(t) ，（按[Enter]） 例2 . 过椭圆 上一点 P(-8, 0)作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹。 作图 1. 用，作椭圆O，其中a = 8，b = 6； 2. 用，在x轴上作一点 P (-8, 0)； 3. 用，作线段PQ，Q在椭圆上； 4. 用，作PQ中点M； 5. 选择颜色，用跟踪C的轨迹； 操作 : 拖动A点移动，画出点C的轨迹。 解: 椭圆的参数方程: 由Q在椭圆上==>， 由已知 ， 设PQ中点为M(x, y) = ， ==> M点轨迹的参数方程: ，消去参数θ ==> 验证: 在函数输入栏输入 tf=> x=4*cos(t)-4, y=3*sin(t) ，按[Enter] 思考: 如果M是PQ的2/3分点，则轨迹及方程又如何 ? 例3. 已知 : 1. 原点O(0,0)，圆O半径为 4， 2. 点A在x轴上: A(5,0) 3. 点B在圆周上， 4. CD为AB中垂线，CD长为 4 求: D点的轨迹方程 作图 1. 用，作圆O，以(0, 0)为心，4为半径； 2. 用，在x轴上作一点 A (5, 0)； 3. 用，作线段AB，B在圆O上； 4. 用，作AB中点C； 5. 用，作CK⊥AB， 6. 用「自由线段」，利用网格作一线段a = 4； 7. 用「x 1」，沿CK截取CD = a； 8. 选择颜色，用跟踪D的轨迹； 操作 : 拖动B点在圆周上滑动一周，画出点D的轨迹。 解: (1) 写出A、B、C各点座标: A = (5, 0) B =( 4cosθ, 4sinθ) (2) 写出向量 由CD⊥CB，|CD| = 4得: (3) 写出D点座标 -- D点轨迹的参数方程: 由得: 验证 1. 在函数输入栏输入 tf=> x=(5+4*cos(t))/2+16*sin(t)/sqrt((5-4*cos(t))^2+(4*sin(t))^2), y=2*sin(t)+4*(5-4*cos(t))/sqrt((5-4*cos(t))^2+(4*sin(t))^2) ，按[Enter] 拓展： 本题，如果B点不在圆周上，而在函数 y = sin x 曲线上， 求D点轨迹的参数方程。 求轨迹的方程这一类问题，首先用DM_Lab作出相关的几何结构，作出几何轨迹，这有助于建立方程的思考，中间的推导过程，主要是符号运算，最好还是用纸笔进行，这对学生还是必要的。最后，可以用DM_Lab对所得方程进行检验 – 输入方程，看看方程曲线与几何轨迹是否重合，如果不重合，则所得方程就可能有错。 在没有工具以前，轨迹属数学中难教难学之列。但是，在信息技术融入数学教学之后，数学新课标中有一段话：“高中数学课程应提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的内容，…鼓励学生利用计算机、计算器等进行探索和发现”。这一段话对轨迹的探究学习，最是合适不过了。 - 1 - _1377920030.unknown _1377920056.unknown