102 高数 数列的极限

null第二节 数列的极限第二节 数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质上页下页铃结束返回首页 第一章 一、数列极限的定义一、数列极限的定义引例 如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.下页A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,     ,       . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势. null数列 如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3,    , xn ,    , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项. 下页数列举例: 2, 4, 8,    , 2n ,    ; 1, -1, 1,    , (-1)n+1,    . null 数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴 上的点x1, x2, x3,    , xn ,   . 数列的几何意义数列 如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3,    , xn ,    , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项. 下页null 数列{xn}可以看作自变量取正整数n的函数: xn=f(n), nN . 数列与函数数列 如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3,    , xn ,    , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项. 下页例如:数列即函数null例如: 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛 于a, 记为下页数列极限的通俗定义null当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任 意小的正数.分析 因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先 给定的任意小的正数, 则说明当n无限增大时, xn无限接近于常数a. 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则数列{xn}收敛于a.下页null数列极限的精确定义(定量定义) 设{xn}为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正 数e  总存在正整数N 使得当n>N 时 不等式 |xna |N时 点xn全都落在邻域(a-e, a+e)内: 任意给定a的e邻域(a-e, a+e),当 n > N 时,总有null分析: 证明 下页null 证明 下页取则当时, 就有null 例3 设|q|<1, 证明等比数列 1, q , q2,    , qn-1,    的极限是0. 证明: 下页要使只要即所以因此 , 取, 则当 n > N 时,就有故null 对于某一正数e 0 如果存在正整数N 使得当nN时 有|xna|e 0 是否有xna (n) 讨论首页二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一 这是不可能的. 所以只能有a=b. 证明 下页取因故存在 N1 , 从而,得使当 n > N1 时, 同理, 因故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有从而,得则当 n > N 时, 同时有 即数列{xn}的极限唯一 null注: 如果M0, 使对nN 有|xn| M, 则称数列{xn}是 有界的; 如果这样的正数M不存在, 就说数列{xn}是无界的 下页二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 null下页二、收敛数列的性质定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 证: 设取则当时, 从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.有null1 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛? 例如 数列1, 1, 1, 1,   , (1)N1,   是有界的，但是不收敛。讨论 下页二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 答:发散的数列不一定无界；有界的数列不一定收敛。null下页二、收敛数列的性质定理3(收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整 数N 当nN时 有xn0(或xn0)推论 如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0) 且数列{xn}收 敛于a 那么a0(或a0)证:对 a > 0 ,取(注:用反证法证明)因null注: 在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原 数列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列. 定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a下页 例如 数列{xn} 1 1 1 1    (1)n1  的一个子 数列为{x2n} 1 1 1    (1)2n1   null 1 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散? 4 如何判断数列1 1 1 1    (1)n1   是发散的？结束定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a讨论：3 发散的数列的子数列都发散吗？2 数列的两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列 的收敛性如何?答：原数列一定发散。答：原数列一定发散。答：子数列不一定发散。答：奇数项构成的子数列的极限为1，偶数项构成 的子数列的极限为1，极限不同，故该数列发散。内容小结内容小结结束1. 数列极限的 “  – N ” 定义及应用.2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限.思考与练习思考与练习结束1.如何用子数列判断数列的极限不存在?方法1. 找一个趋于∞的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知, 求时,下述作法是否正确? 说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处