一类组合圆锥曲线的定值问题探究

10 福建中学数学 2009年第 10期 Y=±】围成的正方形内任取一点，而 X +Y <1即点 ( ，Y)落在单位圆内，这是一个简单的几何概型．点 落在单位圆内的概率为 ；由题意知，在正方形内 4 共取了l000个点，有图知落在单位圆内的点共 有 788个，其频率为0．788．故 的近似等于0．788， 4 据此估计 的近似值． 点评 这是一个简化版的“布丰实验”，用概率估 计圆周率是布丰天才的设计，学生从中能充分领略 到数学的神奇．该流程图使得“布丰实验”可以进行机 器运行，实验次数 N能取的更大，从而使 万的近似 值更趋精确． 8．算法用于解决实际问题 例 8阅读右边流程图，这个算法的处理功能 是— — ?并判断2000年和 2008年是否闰年． 解析 该算法是指出从 2000年到 2500年这 500 年间哪些年是“闰年”。哪些年不是闰年；由流程图可 知：年份不能被 4整除的一定不是闰年；能被 4整 除但不能被 100整除的一定是闰年，如 2008是闰年， 能被100整除但不能被400整除的不是闰年．如 l900 不是闰年；能被 400整除的是闰年，如 2000年是闰 年． 点评 大量的实际问题都是按机械、统一的 处理，唯此才能体现出公平．如成绩等第的评定、 多项成绩的加权综合、为节约用水用电而采取的水 费电费的优惠政策、出租车收费等等。都可以设计 成相应的算法解决． 一 类组合圆锥曲线的定值问题探究 苏立标 浙江省杭州师范大学附属中学 (310030) 自从2007年上海市高考试题中的“果圆”亮相以 来，有关组合圆锥曲线的问题正以其独特的魅力与 活力不断活跃在全国各地高考模拟试题中，组合圆 锥 曲线的试题不仅给我们带来全新的美的视觉冲 突，而且往往把解析几何的思想考查得淋漓尽 致，可以说是把数学的美与数学知识、能力的考查 融为一体，这也是倍受命题者亲睐的原因之所在， 本文结合一道高考模拟试题谈谈一类共焦点组合圆 锥曲线的定值问题探求． 引例 (2009年温州市高三第二次模拟试题改 编)如图，曲线G是以原点O为中心、 ， 为焦 点的椭圆的一部分，曲线 C是以O为顶点、 为焦 点的抛物线的一部分，A是曲线cl和 c，的交点且 为钝角．我们把由曲 线 G和曲线 合成的曲线 C 称 为 “月 蚀 圆 ”． 若 1 C IAMI= ／，I I=詈，(I) 二 求曲线c『和G所在的椭圆 和抛物线方程；(II)过 作 J， - C B ＼＼＼ ＼ ～ 一 条与X轴不垂直的直线，分别与“月蚀圆”依次交于 B、C、D、E四点，若G为CD中点、 为BE 中点，问 是否为定值?若是，求出此定 值；若不是，请说明理由 2009年第 10期 福建中学数学 解 (I)设椭圆方程为 X2+ y2 = l， 则2a：l l+I l= +要：6，得a=3， 设 A(x，Y)，F,(-c，0)， (c，0)， 则( +c) + ：( ) ，(X--C)2+y2=(寻) ． 两式相 减得 = 。由抛物线定义 可知 I I= +c= ，贝0 c= ， = 或x=l，c=三(舍 去)．所以椭圆方程为 X2+yA8=l，抛物线方程为 Y =4x． (II)设B(xl，Y )。 ( ，Y2)，C(x3，Y3)。 D( ， )·直线 ：后 _1)，代入等+yA8_l得： 8( +I) + 一72=0．即(8+9k。) 。+16ky一64k ：0。 。 一 丽16k ． ： 一 ， 同理 。将 以0为顶点、 为焦点的抛物线Y =2px(p>0)的 一 部分， 是曲线cI和 的交点且 为钝角。 我们把由曲线C．1和曲线c，围成的曲线c称为“月蚀 圆”．过 作一条与 轴不垂直的直线，分别与“月 蚀圆”依次交于 、c、D、 四点，若G为CD中 点、 为髓 慌 则 其中e为 椭圆的离心率 设B(xl，Y1)，E(x2， )．C(x3，乃)。 D(x4，Y4)．设过右焦点的直线方程为 =my+c． (其中c= )，把直线方程代入椭圆方程得： (6 ， + ) +2b cmy—b =0， 一 2b cm —b · ‘ · Y Yz ’ YlYz ’ 把直线方程 =my+C代入抛物线 =2px方 程 得 ： Y 一2pmy一2pc=0， 因为 c： ，所 以 Y 一2pmy—P =0， Y3+Y4=2pm ， 乃 =一P ， ． 1 !：!堡l一 二 圭 ： + ： _ 4 ， ： _4，所以 。。f砸 1．I I ]Yl-Y2 l·t y,+ CDI．1 BE1．j ： 。 二 ： ．一 f． 』 + ： ／! ± !：二兰 ． ± !： ： 为 1『 ( 3+ ) (Yl+Y2) 一4y1Y2 3 定值． 点评 这是一道颇具特色、背景新颖的试题，从 图形形式上看，优美的对称图形让人遐想，一轮明 月当空照；从数学本质上看，揭示了共焦点的圆锥 曲线的焦点弦、中点弦的性质；从考查方式上看， 要求学生探究圆锥曲线的定值问题．是一道开放性 题 目。真可谓是探究与考查两不误． 1．椭圆与抛物线的组合 如果把上面试题一般化。即把“月蚀圆”中曲线 v 2 ， ．2 cI为椭圆 +鲁=l(a>b>o)，曲线c2为抛物线 “ 口 Y =2px(p>0)，就可以得到下面的性质： 性质 1曲线cl是以原点0为中心、 ， 为焦 v 2 一 ． 2 点的椭圆 +Y-"5-=l(a>b>0)的一部分，曲线C，是 ： 三：e ． 2．双曲线与抛物线的组合 如果 把“月 蚀 圆”中曲线 cI变 为双 曲线 一 = l(a>0，b>o)，曲线 C2还是Y。：2px(p>0)， 就可以得到下面的性质： 性质 2曲线 G是以原点0为中心、 ， 为焦 点的双曲线 一． =l(a>0，6>0)的一部分，曲线 c’是 以 0 为 顶 点 、 为 焦 点 的 抛 物 线 = 2px(p>0)的一部分，A是曲线cI和 的交点 且 为钝角，把由蓝线cI和曲线 围成的曲 线c称为“月蚀圆”．过 作一条与 轴不垂直的直 线。分别与“月蚀圆”依次交于 曰、c、D 、E四点， 若 G为cD 为肥 则 (其中e为双曲线的离心率l l2 福建中学数学 2009年第 1O期 证明 设B(xl，Y1)，E(x2，Y2)，C(x3，Y3)， D(x4，Y )，设过右焦点的直线方程 为X=my+c。 (其中c： P)．把直线方程代入双曲线方程得： 二 (b2m 一a2) +2b cmy+b =0， 一 2b cm b · ‘ · y、 Y ’ YlY： ’ 把直线方程 =my+c代入抛物线 Y =2px方 程得：Y 一2pmy一2pc=0． 因为 ： ， 2 所以Y 一2pray—P =0， Y3+Y4=2pm ， Y1Y4：一P ． 所 以 ： 三 ：e ． 3．椭圆与双曲线的组合 如 果 把 “月 蚀 圆 ”中 曲线 cl变 为 椭 圆 + (aI>b~>0)' 曲线 变 为 双 曲 线 一 苦=l( >0，62>0)，就可以得到下面的性质： 性质3曲线Ct是以原点O为中心、 ， 为焦 y 一 11， 点的椭Ill + = ，> >o)的一部分 ，曲线 L2 l(a bl 口 cJ， 是 以 0 为 顶 点 、 ， 为 焦 点 的 双 曲 线 言一吾=1(a2>0,62>0)的右支部分， 是曲线CTl 和G的交点且 为钝角，把由曲线c『和曲线 C围成的曲线c称为“月蚀圆”．过 作一条与X轴 不垂直的直线，分别与“月蚀圆”依次交于 、c、D、 E四点 ，若 G 为 CD 中点 、 H 为 BE 中点 ，则 翌— ：一eI(其中eI、c2分别为椭圆与双曲线 { BE{．I GF,} 的离心率l 证明 设 ( ，Y )，E(x：，Y2)。C(x3，Y3)， D(x ，Y4)，设过右焦点的直线方程为 X=my+c， 把直线方程代入椭圆方程 + =1得： d b (b~2m。+口 ) +2b(cmy—b4=0。 ． ‘ = - 2b( cmY Y2 2 ，YlY = ⋯(1) ·‘一 ’ 南 ⋯¨’ 把直线方程代入双 曲线方程 一Y--'i-=1整理 口； 呸 得：( 一口；) +2b~cmy+b4=0。 ． ‘ = ， = 2 2 2Y Y Y3Y ⋯ (2) ·‘ + ’ ⋯ 把上面 (1)(2)式代入得到： ∞ l_l l — I Y3--Y4 I· 1 + 雎 。。 IY l-- [(Y3+Y4)2--4Y3Y4 ．．．．．．．．．——．(Y,+Y~)I v^ ( 3+ )‘ ( l+Y2)‘-4yiY2 一 a2 一 P1 一 — 一 一 口l P2 参考文献 [1]苏立标．悄然升温的组合曲线．数学教学通讯， 2009(2) 关于圆锥曲线的一类轨迹再探 林再生 福建省大田第一中学 (366100) 文[1】给出了关于圆锥曲线与等差数列的一个性 质，文[2】给出了关于圆锥曲线与等比数列的一个性 质，文[3】对前二个性质进行了补充和再探．笔者阅 读后，深受启发．在本文给出关于圆锥曲线的又一 舞 =