二面角问题

二面角问题 1.（2012）18.(本小题满分13分) 如图所示，在四棱锥中，底面为矩形， 平面，点在线段上，平面。 （1） 证明：平面； （2） 若，求二面角的正切值； 2.（2007）19．（本小题满分14分） 如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB= ，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）示四棱锥P-ACEF的体积。 （1）求V(x)的表达式； （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？ （3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。 3.（2008）20．（本小题满分14分） 如图5所示，四棱锥 的底面 是半径为 的圆的内接四边形，其中 是圆的直径， ， ， 垂直底面 ， ， 分别是 上的点，且 ，过点 作 的平行线交 于 ． （1）求 与平面 所成角 的正弦值； （2）证明： 是直角三角形； （3）当 时，求 的面积． ； 4.（2009）18．（本小题满分１４分） 如图６，已知正方体 的棱长为２，点Ｅ是正方形 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 的中点．设点 分别是点Ｅ，Ｇ在平面 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形 在平面 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线 ； （３）求异面直线 所成角的正弦值 5.（2010）如图5， 是半径为 的半圆， 为直径，点 为 的中点，点 和点 为线段 的三等分点，平面 外一点 满足 ==，FE= （1）证明： ； [来源:学_科_网] （2已知点 为线段 上的点， ， ，求平面 与平面 所成的两面角的正弦值. ． 6.（2011）18.(本小题满分13分) 如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形， 且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值. 答案 1.（2012）【解析】（1）平面，面 平面，面 又面 （2）由（1）得：，， 平面是二面角的平面角 在中， 在中， 得：二面角的正切值为 2.（2007）（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC， ， V(x)= （ ） （2） ，所以 时， ，V(x)单调递增； 时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值 ； （3）过F作MF//AC交AD与M,则 ，PM= ， ， 在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为 3.（2008）20．解：（1）在 中， ， 而PD垂直底面ABCD， , 在 中， ,即 为以 为直角的直角三角形。 设点 到面 的距离为 , 由 有 , 即 ， ; (2) ,而 , 即 , ， , 是直角三角形； （3） 时 , , 即 , 的面积 ； 4.（2009）18. 解：（1）依题作点 、 在平面 内的正投影 、 ，则 、 分别为 、 的中点，连结 、 、 、 ，则所求为四棱锥 的体积，其底面 面积为 ， 又 面 ， ，∴ . （2）以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别作 轴， 轴， 轴，得 、 ，又 ， ， ，则 ， ， ， ∴ ， ，即 ， ， 又 ，∴ 平面 . （3） ， ，则 ，设异面直线 所成角为 ，则 如图5，圆AEC是半径为 的半圆， 为直径，点 为AC的中点，点 和点 为线段 的三等分点，平面 外一点 满足 ==，FE= 2）设平面 与平面RQD的交线为 . 由BQ= FE,FR= FB知, . 而 平面 ，∴ 平面 ， 而平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 = ， ∴ . 由（1）知， EMBED Equation.DSMT4 平面 ，∴ EMBED Equation.DSMT4 平面 ， 而 平面 ， 平面 ， ∴ ， ∴ 是平面 与平面 所成二面角的平面角． 在 中， ， ， ． 故平面 与平面 所成二面角的正弦值是 ． 6.（2011）18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD， ， 由题意知ΔABC是等边三角形， ， 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线， ， ， ， (2) 由（1）知 为二面角 的平面角， 在 中， ；在 中， ； 在 中， F C P G E A B 图5 D � E F DＳ CＳ BＳ AＳ P G F DＳ CＳ BＳ AＳ P F C P G E A B 图5 D _1234568195.unknown _1243064790.unknown _1337446411.unknown _1337582045.unknown _1337582250.unknown _1337582607.unknown _1337582639.unknown _1337583454.unknown _1337583560.unknown _1337583056.unknown _1337582619.unknown _1337582384.unknown _1337582284.unknown _1337582346.unknown _1337582133.unknown _1337582219.unknown _1337582155.unknown _1337582062.unknown _1337581952.unknown _1337582007.unknown _1337582027.unknown _1337581970.unknown _1337530457.unknown _1337581823.unknown _1337581877.unknown _1337530418.unknown _1337446426.unknown _1337530406.unknown _1243064798.unknown _1337446324.unknown _1337446361.unknown _1337446382.unknown _1337446345.unknown _1243064802.unknown _1243064804.unknown _1337444473.unknown _1337444486.unknown _1337437266.unknown _1243064803.unknown _1243064800.unknown _1243064801.unknown _1243064799.unknown _1243064794.unknown _1243064796.unknown _1243064797.unknown _1243064795.unknown _1243064792.unknown _1243064793.unknown _1243064791.unknown _1234568203.unknown _1234568211.unknown _1234568215.unknown _1234568217.unknown _1234568219.unknown _1234568221.unknown _1243064789.unknown _1234568220.unknown _1234568218.unknown _1234568216.unknown _1234568213.unknown _1234568214.unknown _1234568212.unknown _1234568207.unknown _1234568209.unknown _1234568210.unknown _1234568208.unknown _1234568205.unknown _1234568206.unknown _1234568204.unknown _1234568199.unknown _1234568201.unknown _1234568202.unknown _1234568200.unknown _1234568197.unknown _1234568198.unknown _1234568196.unknown _1234568022.unknown _1234568030.unknown _1234568034.unknown _1234568036.unknown _1234568194.unknown _1234568035.unknown _1234568032.unknown _1234568033.unknown _1234568031.unknown _1234568026.unknown _1234568028.unknown _1234568029.unknown _1234568027.unknown _1234568024.unknown _1234568025.unknown _1234568023.unknown _1234567923.unknown _1234567930.unknown _1234568018.unknown _1234568020.unknown _1234568021.unknown _1234568019.unknown _1234568016.unknown _1234568017.unknown _1234568015.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567929.unknown _1234567926.unknown _1234567924.unknown _441810464.unknown _468489252.unknown _1234567920.unknown _1234567921.unknown _1234567922.unknown _468489892.unknown _1234567919.unknown _468489572.unknown _468488612.unknown _468488932.unknown _468488292.unknown _441809184.unknown _441809824.unknown _441810144.unknown _441809504.unknown _441808544.unknown _441808864.unknown _441808224.unknown