径向力作用下滚子轴承的刚度计算

第 19卷 第 10期 长 春 大 学 学 报 Vo.l 19 No. 10 2009年 10月 JOURNAL OF CHANGCHUN UN IVERSITY Oct. 2009 收稿日期: 2009207220 作者简介:孔令波 ( 19762), 男,吉林白城人, 实验师,硕士, 主要从事轴承理论计算方面研究。 径向力作用下滚子轴承的刚度计算 孔令波1, 温建民 2 ( 11长春大学 教务处, 吉林 长春 130022; 21哈尔滨工业大学 航天学院, 黑龙江 哈尔滨 150001) 摘 要:针对滚动轴承刚度计算方法存在的问题, 对圆柱滚子轴承受径向力时的刚度计算进行分析,利用牛顿 - 拉 夫逊迭代公式推导出了用于计算圆柱滚子轴承径向刚度的数学公式。 关键词:滚子轴承;刚度;径向力 中图分类号: TH 133. 33 文献标志码: A 文章编号: 1009- 3907( 2009) 10- 0024- 03 0 引 言 在一般情况下,滚动轴承承受径向、轴向和力矩 联合负荷的作用,内、外套圈将产生径向、轴向的相对 位移及相对倾角。这种弹性的相对位移量的大小对 主机有重要的影响,反映了滚动轴承的使用性能。滚 动轴承的刚度一般可定义为轴承内外套圈产生单位 的相对弹性位移量所需的外加负荷。按照相对位移 的方向,可以有径向刚度、轴向刚度和角刚度。滚动 轴承的刚度分析一直存在于轴承的拟静力学分析过 程之中,刚度分析主要分析一些因素对刚度的影响, 从而找出其变化规律,以便更好地为动力学分析服 务。不过,由于在计算油膜厚度时, 绝大多数人采用 了只适用于 E2V区的 DOWSON公式,因而有一定的 局限性。滚动轴承的刚度分析已经成为轴承研究的 一个重要分支。尤其是应用于航空发动机主轴上高 速单列短圆柱滚子轴承的刚度计算,目前这方面的资 料国内外公开发表的较少,因而在滚动轴承的刚度分 析这一方面的研究尚有待进一步的发展和完善 [ 1~ 3]。 本文采用以下假设: ( 1)假设轴承内、外套圈均为刚性, 不发生变 形; ( 2)所有的变形均发生在圆柱滚子上。 1 滑动时滚动轴承刚度的分析计算 若考虑轴承从起动开始的整个动力学过程,对 于滚子 (或钢球 )可以建立运动的微分方程组, 在给 定初始条件后,可用数值方法求解此方程组,这就是 滚动轴承的动力学分析方法。动力学设计分析 方法可以求得任一瞬间滚子 (或钢球 )及保持架的 位置。转速和内部滑动能用于分析滚动轴承运动的 历经过程。显然, 考虑的因素愈多, 计算愈加复杂。 从工程实用性考虑,轴承的动力学设计分析方法尚 难以应用。而依据一般的动力学方程和轴承内部几 何关系,考虑稳定运转状态下的力学关系,来求解一 些重要参量的拟静力学设计分析方法则是一种较为 简便实用的工程设计分析方法。我们以 H arris所提 出的方法为依据, 对滚动轴承进行了简化的拟静力 学设计分析。详见文献 [ 1]、[ 3]和 [ 4]。 主要分析过程如下: ( 1)若忽略保持架对滚子的切向摩擦力,则滚子 在内圈接触处油膜接触压力为 P k, 而其在外圈处油 膜接触压力为 P k + P c,且仍有 $实 k = $k + hik + hok。 ( 2)在无负荷区域内, 保持架对滚子的作用力 相同,记为 Fmu。 …Fmu = 912( 1+ 2C)G- 013ŠU017ou = FmuIE cR o。 ( 3)在负荷区域内, 保持架对滚子的作用力也 相同,记为 Fm。且有 Fm = ZuZ - ZuFmu, …Fm = Fm IE cR0 。 如图 1, 考虑轴承处于稳定运转状态, 作用于滚 子的力应分别满足水平方向的力平衡方程和对滚子 中心的力矩平衡方程。 图 1 滚子受力情况图 P ik + T ik - P ok - Tok ? Fmk = 0, ( 1) Tok + T ik ? fmFmk = 0。 ( 2) 只考虑负荷区受载最大的滚子, 由式 ( 1)、( 2), 得 5 1 = …P i1 + …T i1 - R0R i (…P o1 + …To1 + …Fm ) = 0, ( 3) 5 2 = …T i1 + R0R i…To1 = 0。 ( 4) …P i1 = 1814(1- C)G- 013ŠU01 7i1 = P i1IE cR i; …P o1 = 1814(1+ C)G- 013ŠU01 7o1 = P o1IE cRo; …T i1 = - …P i12 + …Vi1I i1 H i1 = T i1 IE cRi = - 912G- 013ŠU017i1 + I i1ŠQ 0113 i1 116G01 7 …Vi1 ŠU01 7o1 ; …To1 = - …P o12 + …Vo1Io1 H o1 = To1 lE cRo = - 912G- 013ŠU017o1 + Io1ŠQ 01 13 o1 116G01 7 …Vo1 ŠU01 7o1 ; I i1 = 2Q bi1/R i 0 e Gq i1[ 1- ( R i€x /bi1) 2] 12 d€x; qi1 = …wi1 2P ; bi1 = 4qi1Ri; Io1 = 2Q bo1 /R 0 0 e Gq01[ 1- ( Ro€x /bo1) 2] 12 d€x; qo1 = …wo1 2P; bo1 = 4qo1Ro; Vik = Dm 2 [ (1- C) (Xi - Xm ) - CXbk ]; Vok = Dm 2 [ (1+ C) Xm - CXbk ]; ŠUi1 = PG060E c( N i - Nm C + Nb 1- C ); …Vi1 = PG030E c( N i - Nm C - N b 1- C); ŠUo1 = PG060E c( Nm C + N b 1+ C ); …Vo1 = PG030E c( Nm C - N b 1+ C )。 在非负荷区,认为外圈与滚子无滑动,则有 …Vou = 0; N bu = 1+ CC Nm; ŠUou = PG0 30E c Nm /C; ŠQi1 = P i1 / ( lE cRi ); ŠQo1 = (P i1 + P c ) / ( lE cR o ); P c= 1 2 M rDm X 2 m = P2 1800 M rDmN 2 m。 将以上各式代入式 ( 3)、( 4)中, 化简后仅含有 Nm 与N b两个未知数,于是利用牛顿拉夫逊迭代法, 由95 9N $N = - 5, 将式 ( 3)、( 4)改写为 95 1 9Nm $Nm + 95 1 9N b $N b = - 5 1 95 2 9Nm $Nm + 95 2 9N b $N b = - 5 2 , ( 5) 令 A= - 5 1 95 2 9N b + 5 2 95 2 9Nm , ( 6) C= - 5 2 95 1 9Nm + 5 1 95 2 9Nm , ( 7) S= 95 1 9Nm 95 2 9N b - 95 2 9Nm 95 1 9N b 。 ( 8) 则可解得 $Nm = A S , ( 9) $N b = C S。 ( 10) 式中: 95 1 9Nm = ( 9…P i1 9ŠUi1 + 9…T i1 9ŠUi1 ) 9ŠUi1 9Nm + 9…T i1 9…Vi1 9…Vi1 9Nm - R o R i [ ( 9…P o1 9ŠUo1 + 9…To1 9ŠUo1 ) 9ŠUo1 9Nm + 9…To1 9…Vo1 9…Vo1 Nm + 9…Fm 9ŠUou 9ŠUou 9Nm <。 ( 11) 95 1 9Nb = ( 9…P i1 9ŠUi1 + 9…T i1 9ŠUi1 ) 9ŠUi1 9Nb + 9…T i1 9…Vi1 9…Vi1 9N b - Ro R i [ ( 9…P o1 9ŠUo1 + 9…To1 9ŠUo1 ) 9ŠUo1 9Nb + 9…To1 9…Vo1 9…Vo1 9N b ], ( 12) 95 2 9Nm = 9…T i1 9ŠUi1 9ŠUi1 9Nm + 9…T i1 9…Vi1 9…Vi1 9Nm + Ro Ri ( 9…To1 9ŠUo1 9ŠUo1 9Nm + 9…To1 9…Vo1 9…Vo1 9Nm ), ( 13) 95 2 9Nb = 9…T i1 9ŠUi1 9ŠUi1 9N b + 9…T i1 9…Vi1 9…Vi1 9N b + Ro R i ( 9…To1 9ŠUo1 9ŠUo1 9N b + 9…To1 9…Vo1 9…Vo1 9N b ), ( 14) 9…P i1 9ŠUi1 = 017 @1814(1- C)G - 01 3ŠU- 01 3I1 , ( 15) 9…P o1 9ŠUo1 = 12188(1+ C)G - 013ŠU- 01 3o1 , ( 16) 9…T i1 9ŠUi1 = I i1ŠQ0113i1 …Vi1 ( - 017) 116G016ŠU117i1 - 6144G - 01 3ŠU- 01 3i1 , ( 17) 9…To1 9ŠUo1 = - 0104375Io1…Vo1ŠQ0113o1 G016ŠU11701 - 6144G - 013ŠU- 013o1 。 ( 18) 25第 10期 孔令波,等:径向力作用下滚子轴承的刚度计算 9…T i1 9…Vi1 = I i1ŠQ0113i1 116G01 6ŠU01 7i1 (19) 9…T i1 9…Vi1 = I i1ŠQ- 0113i1 116G01 6ŠU01 7i1 (20) 9…Fm 9ŠUou = 912(1+ 2C)G - 013 @017ŠU01 3ou ZuZ - Zu。(21) 为了方便计算,令 t= G0P 30E ,则有 9ŠUi1 9Nm = - t 2C ; 9ŠUi1 9N b = t 2(1- C) ; 9ŠUo1 9Nm = t 2C ; 9ŠUo1 9N b = t 2( 1+ C) ; 9…Vi1 9Nm = - t C ; 9…Vi1 9N b = t 1- C ; 9…Vo1 9Nm = t C ; 9…Vo1 9N b = - t 1+ C ; 9ŠUou 9Nm = tC; 9ŠUou 9N b = 0。 由式 ( 9)、(10),保持架和滚子的转速的新值为 N ( n )m =N ( n- 1) m + $Nm, (22) N ( n) b =N ( n- 1) b + $Nb。 (23) 在迭代中,初始值按纯滚动时选取,即 Nm = N i 2 ( 1- C), (24) N b = N i 2 1- C 2 C 。 (25) 根据所取的收敛精度经若干次迭代求得的新的 Nm、Nb,可以求出 Fm 及 Fmu,并可进一步求出保持架 的滑动比 $Nm Nm t = 1- Nm Nm t 。 ( 26) Nm t ) 按简单运动学关系即式 ( 24)计算的保持 架转速。 根据上面求得的新的保持架转速, 可以重新求 出滚子所受的离心力 P c,从而可按照前面求解无滑 动时滚子轴承的刚度的步骤, 求出考虑滑动时的轴 承刚度。 2 结 论 本文建立和分析了滚子轴承只受纯径向力作用 时的拟静力学模型,并详细介绍了计算滚子轴承的 刚度公式的推导过程,重点介绍了考虑滑动时,利用 牛顿拉夫逊迭代法求解轴承刚度的迭代过程。 参考文献: [ 1] JonesA B. BallMot ion and Sltid ing Frict ion in Ball Bearings[ J]. T rans ASME, Journa l of Bas ic Engin eering, 1959, 81: 1 - 2. [ 2] D.道森, G. R.希金森.弹性流体动力润滑 [ M ].北京: 机械工 业出版社, 1982. [ 3] H arris T A. An an alytical Method to Pred ict Skidding in H igh Speed Ro ller Bearing[ J]. T rans ASLE, 1966, 9 ( 3): 229 - 241. [ 4] 胡绚,罗贵火,杨喜关. 圆柱滚子轴承的拟静力学分析 [ J].现 代机械, 2006, 10( 5 ): 46- 49. [ 5] 温建民. 高速单列短圆柱滚子轴承的刚度计算 [ D ].哈尔滨: 哈尔滨工业大学航天学院, 2000. [ 6] 张鹏顺,陆思聪. 弹性流体动力润滑及其应用 [M ].北京:高等 教育出版社, 1985: 102 - 103. [ 7 ] 万长森. 滚动轴承的分析方法 [M ].北京:机械工业出版社, 1985: 1- 120. 责任编辑:钟 声 R igid ity com puta tion of r oller bear ing under rad ia l for ce KONG Ling2bo1, WEN Jian2min2 ( 11Acdam ic A ffa irs O ffice, Changchun University, Changchun 130022, Ch ina 21 School ofAstronautics, H arb in Institute ofTechnology, H arb in 150001, China) Abstr ac t: A im ing a t the prob lems in r igidity computation, this artic le ana lyzes r igidity computation of roller bear ing under rad ia l force and deduces mathematica l formu la used to compute rig idity of roller bearing w ith Raphson recurrence formula. K eywords: roller bear ing; r igidity; rad ia l force 26 长 春 大 学 学 报 第 19卷