二次型复折射率介质中的光导现象

第 � 卷 第 � 期 �� � � 年 � � �� 强 激 光 与 粒 子 束 � �� � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � , � � � � �� � � 二次型复折射率介质中的光导现象 施 义 晋 �中国原 户能科学研究院 , 北京市 � � � 信箱 �� � � , �� ! 一� � 摘 要 本文讨论了 。 �� , � � 一 � 。 �� 十 � � �� �� ’� � � 型复折射率介质中的激光传输问题 , 给出 了激光传输参数 �光束半径和波阵面曲率 �的演化公式 。 指出只要存在一定大小的 。 � , , 在传输过一段特征距离共 之后 , 将出现完全光导�即自相似模的传播 �, 而且 自相似模是激 光体系的特征模式 。 其传输参数只与 � � 有关 , 而与激光初始参数无关 。 自相似模必定是高 斯球面波 , 而不是高斯平面波 。 关键词 光导 自相似模 引 言 短波长激光传输的光导现象一直是一个很有兴趣 的物理现象 。 它不仅反映了激光束 与传 输介质的相互作用 , 而且具有巨大的实用价值 , 光导现象 的研究就 自由电子激光 �� � �领 域来说已 有近百篇文章 � ’一 � , , 除 了数值模 拟外 , 一般仅 对小讯 号情 况作 了 比较 透彻 的研 究 � ’� , 得到了很漂亮 的结果 , 给出了 自相似模的本征方程 �文献 � �� �� 式 � , 并再 次肯定 了 � � � � ‘�’与 � �� � � �� � � � � ��’的结论 , 完全光导 �� � ��� �� � � �� �� � �或更严格地说 , 小讯号 自相 似模的传播只在指数增益区才可能 。 但对一般光场情况尚没有一个很好的解析结论 , 而大光 场的传输恰恰是人们很关心的一个问题 。 我们在文献 � � 中导得 了 二次型复折射率介质 中的光场本征模 , 并以 此 为基础 , 得到 了一般介质 中激光传播的模系数演化方程 , 将复杂的高维问题化 为相对简 单的一维 问题及 微扰展开 。 我们在该文 中得到的另一个重要结果是 二次型复折射率介质 中光场本征 模 的传 播规律仍然满足 � �� � 定理 。 这为研究光导现象提供了一条新途径 。 由于 � � 的工作介质 是电子束 , 其横截面尺度远小于相互作用 区的长度 , 因此不仅通常的旁轴近似得到满足 , 而 且将它看作为二次型介质也是与实际相去不远的 。 因此我们希望通过本文的讨论 , 能对 � � � 的光导现象有所理解 , 也希望能对激光束在大气中的传输现象提供有用的参考 。 本文第二 节重列了有关的结果 , 作为本文讨 论的出发点 , 对此作 了些进一步 的解释 , 并 � 给出了激光光束半径及波阵面曲率的演化达式 , 第三节我们从演化表达式出发 , 讨论 了光 导现象 , 重点讨论了完全光导一 自相似模传播的条件及 自相似模的特性 。 � 二次型源的光场本征解 对于源项可表达为二次型的复折射率 �� � � 年 � 月 � 日收到原稿 , � � � � 年 � 月 � � 日收到修改稿 。 强 激 光 与 粒 子 束 第 � 卷 了‘‘厂� �� , 艺 � � � 。�� � � � � � � � �� � � �� � �� � 、�产、声 一 � � � �� � � �� � , �二 � , ��� 为横向参数 � 、�产、�乎��几 的介质或等效的激光系统 , 在文献 【�� 中 , 我们从 旁轴 近似下的 � �� � ��� 方程 求得 了基本 模式的解析形式 , 在圆柱坐标下为 � , 、 。 �� , 口, � � 一 � 厂�杏�� � � � �仁� , , 用 �� � � � �� �� � ’� � �� 夕� �� � 其中 � 尹�乙�是以复宗量 �二 丫万�� 城�� �表达的推广的拉盖尔多项式 , 哄 �� �由 卜式通过高斯 参数 ��� �三 � � 礁 �� � � 城�约 �� � ��—仲丫�� � �� �来定义 。 其中 � � 一 � 、� � �� � , � 、为激光真空波数 。 而由复高斯参数的定义 ��� �三 � � �� � � �� � � �� , 犷二一丁一二, 一碎 ‘ �� � �� � 及它所满足的方程 , 可得到光场基本模式的横截面半径 � � ! 及波阵面曲率 � �� 一 ’ 所满足 的方程 、�尹、�少�口‘、�了��、百了‘ � �附� � � �� � � � � � � , � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 山 ‘ � � � 、 一 叹刀 , , 十 刀 , �— ,“ ‘ 八 ,� 。】、 � 、砰 , � � � � � � � ’‘一 � , 一 �母, �卜 � 轰 � � � � , 鱿� �� � � � � , 。‘ � 一 � � 三竺 � 鱿丝二� �二 � � � � 、 � � �� �一 �— � 刀 , , — �— � �体 一 ,� ’ ‘ ’ � � ’ � 嵘 � � �而复增益系数 尸�、 � � � � 中 �� � � � 一 �叹。 � � �满足下列方程 � 中 ,。 � � � 滋 � � 丁一一二二丁了 � — �� � 附 二 � � � 用� � � — �� �� � � � � � � � � � ,阴 � � � �� � 一 � 一生 �� � , � �’ � � � � � � �城 尸 刀 �� � �� 一二, �� � � �城 卜 � � � �子� � � � 很显然 , 电。 为相 移 , 叹。 为增益 系数 。 在通常场合下 , � � 一 � , �� , �, �� � � �, �� � , ��� � 。 因此 � � � 、 � � � 、 � � � 、 � � �式 中 , � , , � � � , � � , 的二次项相比一次项都可略去 。 因此 可清楚地看 出 , � � �� , �� � � 基本上与 叭R , 飞:有关 , 而 q 。 基本上只与 n「有关 。 因为(9) 式右边第 一项是衍 射(折射 )贡献 , 第二项才是激光系统或介质贡献的光场真实增益 。 因而我们可以得到一个概 念 , 在二次型复折射率情况下 , 光导现象的存在与否和系统处于什 么样 的增益工作 区 (小讯 号增益 , 指数增益 , 饱和增益 , 甚至 G * < 0 的吸收衰减 ·一 )基本没有关系 。 因为传输 特性是 由 砰(: ) , R ( : ) 描写的 , 而增益特性基本上 由 G 、描写 。 由于 (7 )式是一个极其复杂的表达式 , 因而方 程 (5) 是一个高度非线性方程 , 一般 无法 第 4 期 施义晋 : 几次型复折射率介质中的光导现象 求得解析解 , 但在文献 【7] 中 , 我们指出了 W (z) , R ( z) 的另一种表达式 , 即通过该文献证明 了的 A B C D 定理 q(: ) = A ( z , : 。 ) 叮( z。 ) + B ( z , : 。 ) C ( z , z 。 ) 叮(z 。 ) + D ( z , z 。 ) ( 1 0 ) 其中 以:)= 气/Q (:) , A ( : , z 。 ) , B ( : , : 。 ) 为 卜列方程 dZX dz 2 的一组特解 , 满足初始条件 +( 边 一选刀 n 汀 , ‘从尹— 十 (dz Z n o n Z n孟;: )X ( z) = 0 (11) A (z , z 。 ) 二 d A ( : , z 。 ) 由 d刀( z , 2 0 ) dz ( 1 2 ) B ( z , z 《, ) = 0 dA ( z , : 。 ) dz = C ( z , z 。 ) d B ( z , z 。 ) dz 一 D ( z , z 。 ) ( 1 3 ) 由线性微分方程理论知道 ‘8’, 这样一组特解是一定存在的 (一般微分方程理论中讨论的是 实系数情况 , 但推广到复系数亦是容易的 ) , 即如果存在 A (: , : 。 ) 满足初始条件 , 则有 ”‘一 ’一‘0 , ·(一 ,工。 3 d zln 。 ( z 、) A ’( z , , z 。 ) ( 1 4 ) 应该注意 , 由于方程 (11) 中系数 2n0 n 2/嵘嘴为复 的 , 那么 A ’ ( : , 2 0 ) 不是方程 的解 (* 为取 复共扼 )。 因此与通常的实系数微分方程不同 , 我们不能通过调整相位将 A (: , : 。 ) , B (z , z 。 ) 同时变成实函数 。 一般来讲 , 」 , B 为一组复函数 , 且互不为复共扼 。 因此我们令 X (z , z 。 ) = X R ( z ) + i X , ( z ) , x 二 A , B , C , D ( 1 5 ) 将它们代入(10 )式 , 不作任何近似 , 通过代数运算 , 我们 得到表征激光光束传输特征的二 个参数 :横截面半径 W (z) 和波阵面曲率 R 一 ’( 约 的表达式 、R研(·卜 2二(一 :)) { (会+谕 , ‘B ·登 一 B 】鲁 , + ( A ·登 一A 】鲁 , +贵(B·登 一 B l争 +“·登 一 A l鲁 , +谕 ‘人鲁 、 禹登 一 人鲁 一尽鲁 , , 一 ’ R ( ·卜 E(一)‘(奇+俞 , ( B ·登+B·鲁 , + ( ‘·鲁+“!令 , 十命人鲁 +鱿争 +AR鲁 +杏鲁 , +谕(式鲁 一“R登 +氏鲁 一 药鲁 , , 一 ‘ 强 激 光 与 粒 户 束 第 5 卷 其中 叽= W (z。 ) : R 。 = R ( z 。 ) E (一。卜 。(责十 蔽器了)(B、+ “:卜 (“ : + “: )U 月、 U ( 1 8 ) + 青(A·B 一 A 1B l , 一俞 ‘A ·B l 一 “IB · , , ( 19 ) 应该指出的是 , 如果注意到 }n.}, In Z } 《 1 这一事实 , 那么由于 乙n o n Z n 轰嵘 一一二 一- : 厂 l 气刀 n 刀 , 。~ 一 乙 乙 ‘ 、 】、 ‘ .、 n n r _ 】、 f 一 。 .。 2 , ) 、 , ( 。 R n Z , + 。 , 。 ZR ) ] 、共(。ZR 、 , n Z】 ) ( 2 。) 亦即是说 , A , B 基本上与 。 , 无关 , 仅取决于 n Z 。 因而我们重新得 到了传输特性 (光导现象 存在与否 )和体系的增益基本无关的结论 。 这一个结论 与文献 l’ , ’ , “〕以及一般的认识是有所 不同的 。 关于这一点我们后面还将再讨论 。 3 自相似模的传播 一般来讲 , 折射率系数 n 。( : ) 与 。 2 ( : ) 是 : 的复 杂函数 , 很多情况 一 F 它还与光场强度有 关 , 但在接近饱和区或指数增益区以及介质吸收情况 下 , 它们或为常数或为随 z 缓慢变化 的 函数 。 因此我们先考虑 n。( : ) , 。 2 ( : ) 为常数 的情况 , 随后再将结果推广到随 : 缓慢变化情 况 。 由于常数情况下 , A , B 有解析表达式 , 因而具有特殊意义 。 我们取 z。 = 0 为原点 , 则 A (“ , z 。 ) 三 A (z ) = co s(K , 艺 ) c h ( r “ ) 一 1s in ( K , z ) s h ( r z ) B ‘一 , 一 B ‘· ,葱今万 {!r一(K洲r· , + K / S‘· ‘K 刀 · , ·h ‘r · , , ( 2 1 ) 一 i[ r s in ( K 介z ) e h ( r : ) 一 K o e o s ( K , z ) s h ( r z 川 (22) 其中 K 。= 士 生 {上 [一。2 。一+ (。 : R + n ; , ) 1 2 ] } ’‘’ ( 2 3 ) r. n R ( 2 4 ) l一犷n一‘L一一r 将 A , B 的表达式代人 (16 ) , ( 1 7) 式 , 我们得到在此情况下的 W (z) 与 R (: )的表达式 k 。砰 , ( z ) = 2 [ C , e h ( Z r z ) + C Z s h ( Z r z ) 一 C 3c o s ( Z K , z ) + 几sin (ZK 。: ) ] R ( : ) = K 。[ C : s h ( Z r z ) + C Z c h ( Z r z ) ] 一 r [ C 3 s in ( Z K , z ) + C 4 c o s ( Z K o Z ) ] 2 [ C 」e h ( Z r z ) + C Z s h ( Z r z ) 一 C 3e o s ( Z K o z ) + q s in ( Z K , “ ) ] ( 2 5 ) r [ C ; s h ( Z r : ) + C Ze h ( Z r z ) ] + K 。[ C 。s i n ( Z K o z ) + q c o s ( Z K o z ) ] ( 2 6 ) 第 4 期 施义晋 : 二次刑复折射率介质中的光导现象 其中 _ 一 r 4 C ’ , 一 《---二二 + —‘ 弋 k夜附 ) + (K 异+ r, ) _ Z K 产r一风C 2 _ 1C’ , 一 ( -二二二 十 R 言 k 。 W ; 4 ( 2 7 ) k 轰体 ) 一 ( K 芬+ r Z) _ K , Z r C , = 一 卫- + —尺。, k R叫(25 ), ( 2 6 ) , ( 2 7 ) 中 K , 的符号 已取出 , 取为绝对值 ;(26 ) , ( 2 7 ) 右端符号由(5 ), ( 6 ) 式定 。 对于 F E L 振荡器 , n R 、 1 , } n , } , { n Z } 、 10 一 6 一 , , ( 凡取为电子束半径 , r 。、 0 .lo m ) , 而 对于 F E L 放大器 , I n , l , I n Z j 将更大 , 因此按 (24 ) , ( 2 5 ) , 有 k 刀 , { r ! ) l ( ) 一 , / 几之 10 一 , / e m 一 ’ ( 2 8 ) 因此在特征距离 l/ }川 三 氛 之外 , 我们有 eh (Zr z ) 岛 1s h ( Z r : ) l>> 1sin ( Z K , z ) l , I c o s ( Z K , “ ) j ( 2 9 ) 因此对于传输距离 :> 氛 , 我们从 (26 ) , ( 27 ) 得到 砰, ( z ) 、 2 ; 厂万一— 啄 一 l—kRK, 一 k * V n R n Z R ( 3 0 ) l _ 。 , 厂不丁一下丁一丁 岛 一 1 簇 一一 _/二二一八 ‘Z ) f _ V 乙 n , n厂 U ‘ 】、 ( 3 1 ) 它们 ’J 礼一 条件 R 。砰;无关 , 仅与体系 的复折射率横 向分布的二次系数 。 2 有关 。 它们是 · 对完全确定的有限值 , 表明了光导现象或更严格地说 , 完全光导一自相似模 的传播 出现 了 。 由(3 1 ) , ( 3 2 ) 看出 , 自相似模是激光休系的一种特征模 , 与初始条件无关 。 关于这一点 , 我 们还可从 R (z) , 平(z) 的更一般方程 (5 ) , ( 6 ) , ( 7) 看出 :在 自相似模存在的条件 下 , d w/ 能 、 0 , 因而由(6 ) , ( 7 ) 立即可得 (同 K 口 , r 同样 的近似条件 , 略去 n , , n Z 的二次项 ) 厂百一-月矛 ( z ) 之 一 l—k*VnRnZRl可i了 七 , ‘ 2 1r 、 / , 。 二犷 、 ‘ , ‘ R , ‘Z R 它们 与(3 1 )、 ( 3 2 ) 量值上一致 。 因此我们得到一个重要结果 , 对 Jl具有二次型复折射率的介质或等价的激光体系 , 不 论 处 f 何种工作状态 (增益或衰减 ) , 只要具有一定的折射率虚部横 向梯度 (由仇 , / 嵘表征 ) , 那 么在传输过一段特征距离 气、 l/ }rI 之后 , 都将会发生完全光导一 自相似模的传播 。 自相 似模为体系的特征模 , 与激光初始条件无关 。 而 且必 为高斯球面波 , 即 R 一 ’( 约 笋 0 。 这个结论不仅仅适用于 n 。( : ) , n Z ( : ) 为常数的特定范围 , 只要它们 随 公 变化足够缓慢 , 强 激 光 与 粒 子 束 第 5 卷 亦即条件 } d In w (z ) } } k _n 。 , 砰2(z ) { ._ , l— 】《 】一l一 }川} dz } } Zr言 } ( 33 )成立 , 上述结论也是适用的 。 一般来讲 , 对于近饱和的激光体系 , 或指数增益体系 , 或通常的吸收介质 , ( 3 3 ) 式是成立的 。而对于 。2「= 0 的情况 , 即激光体系不存在增益(吸收 )或者增益 (吸收 )在横向是 均匀的 , 那么由(2 6 )与 (2 7 )立即得到 甲(z) = 2k;K , l ‘一会一 ‘ZK /· , + 普s‘· ( 2 ‘/· , ,景 (34)R(z)= [C, 一 C 。e o s ( Z K o z ) + C 4 s i n ( Z K o z ) ] K , [ C , 5 i n ( Z K , z ) + C 4 c o s ( Z K , z ) ] ( 3 5 ) 这时 , 光束半径与波阵面曲率半径均发生以 ZK 。为波数的周 期脉动 , 脉动振幅与初始条件 W 若, R 。有关 , 当然也与体系特性 飞。 有关 。 4 结 论 在文献 【7] 的基础上 , 本文讨论 了具有二次型复折射率的介质 中激光光束的传播问题 , 给出了表征传输特性 的参量 拍七束横截 面半径和波阵面 曲率 的演化 表 达式 。 它 们 基 本上 只与复折射率横向分布情况有关 , 而与复折射率的本身大小关系甚小 。 因此 , 光导 现象 的 存在与否 , 至少在二次型介质中 , 与介质的增益特性基本无关 , 或者等效地说 , 对激光系统 而言 , 与其所处的增益工作区 (小 讯号增益 , 指数增益 , 饱和增益甚或吸收 )无关 。 这一点 与文献 【1 , 5 , 6] 的结论是有所不同的 。 对于 飞 , 笋 0 的二次型激光系统或介质 , 可以得到以下三点重要结论 : ( l) 在传输过一般特征距离 z。二 l/ }r }之后 , 自相似模将 自动出现 ; (2 ) 自相似模 是体系 的特征模 , 它的传输特性参量 W (: ) , R (z ) 只与 nZ有关 , 而与激光的初 始参数无 关 ; ( 3) 自相似模一定是高斯球面波 , 而不是高斯平面波 。 参 考 文 献 X ie M ing and D eaeon D avid A G .N uel Instr 浅 M eth , 1 9 8 6 , A 2 5 0 : 4 2 6 . F r e u n d H P a n d A n t o n s e r J r T M , N u e l I n s t r 设 M erh , 1 9 9 2 , A 3 1 8 : 5 1 0 . S P r a n g l e P , T i n g A , T a n g C M . N u e l In s r r 浅 M e th , 1 9 8 7 , A 2 5 9 : 1 3 6 . L u e h i n i P . N u c l In s z r & M e z h , 1 9 8 7 , A 2 5 9 : 1 5 0 . M o o r e G T . OP t C o m 阴 , 1 9 8 4 , 5 2 : 4 6 . 1 9 8 5 , 5 4 : 1 2 1 . S c h a r l e m u n n E T , S e s s l e r A M , a n d W u r t e l e J S . p h 夕5 R e v L e r t , 1 9 8 5 , 5 4 : 1 9 2 5 . 施义晋. 强激光与粒子束 . 1992 , 4 ( 2 ) : 3 0 5 . K a m k e E . 常微分方程手册. 北京 :科学出版社 , 1 9 7 7 年 . 1卫.1J..J1..JI‘., .., ,..J, ..,1 ..j l 勺乙,、4尸、znt zQCr ..l f r...Lr.sef.resrL..L一se 第 4 期 施义晋 :二次型复折射率介质中的光导现象 539 O P T I C A L G U I D 侧N G 一N T H E C O M P L E X Q U A D R A T IC M E D IA Sh i Y ijin Instirure of A rom ic E ne恻 , p . O . B o x 2 7 5 ( 1 8 ) 、 B e ij in g l o 2 4 1 3 A B S T R A C T L a s e r b e a m P r o P a g a t i o n i n t h e m e d i a w i t h c o m P l e x q u a d r a t i e i n d e x o f r e fr a e t i o n n = n 。+ n Z r Z / r : w a s i n v e s t i g a t e d . T h e e x p r e s s i o n s o f b e a m r a d i u s , 才(z ) and eu rvatu re o f its w ave fr on t, 尺 (z ) ’ w e r e o b t a in e d . T h e s e l f 一 sim ila r ( 5 . 5 . ) m o d e ( p e r fe c t g u id in g ) w ill o c c u re a ft e r P ro P a g a tio n d i st a n e e la r g e r th a n a e h a r a c te r is t ie le n g t h 艺。 , o n l y i f n Z ,笋 0 . T h e s .s . m o d e is a eig en m o d e o f m ed ia , i t s p r o p a g a t i o n p a r a m e t e r s W, R 一 1 a r e d e p e n d e n t o n n Z , b u t i n d e p e n d e n t o f t h e i n i t i a l v a l u e WO , R J ’. A t t h e e n d , 5 . 5 . m o d e 1 5 a G a u s s i a n s P h e r i e a l w a v e , n o t t h e p l a n e 、V a V C 。 K E Y W O R D S o P t i e a l g u i d i n g , s e l f 一 s im ila r m o d e ,