超越函数积分的五种解法

超越函数积分的五种解法 第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品 超越函数积分的五种解法 On the five solutions to integral transcendental function 袁玉军，陈婷婷，韩仁江 指导老师:李声锋 蚌埠学院 数学与物理系 摘要: 大学数学课程系统介绍了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文基于这些理论，给出了求解超越函数积分问题的五种. 关键词:超越函数;积分;大学数学 Abstract:In this paper ,by using the Laplace transform ,the residue theorem,the binary function,etc.to solve the problem of the transcendental function's integral Keywords:transcendental function ,integral 1.引言 牛顿——莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法，但在某些情况下会遇到函 21sinx,x数的原函数不能用初等函数表示，如，，e等函数. 在阻尼振动、热传导与正态xlnx 分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿——莱布尼茨公式求解.在大学数学课程的学习中，我们已经较全面掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法. 2.五种解法 (1)基于幂级数展开法求积分 [1]ab,ux引理1 若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则 ,,，，,n bbuxdxuxdx,. ，，，，,,nn,,aa 1lnx 例1 求定积分 dx.,01,x lnxlnlnxx,,,,0,1lim,lim1.分析 注意到在内连续，且 ，，，,xx,,011,x,,11xx 若定义函数 1 第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品 ,,,,0,x, ,lnx, fxx,,,,01,，，,1,x, 1,1,x,,, 显然，在点xx,,0,1为可去间断点，故在上可积. 因此这是一道普通的fx0,1fx()，，,,定积分问题，然而被积函数的原函数不易找到，下面用幂级数展开求解. 解 因为 n,1,x，， ln,11,xx,,,,，，,nn,1 所以 n,1n,,,,1111,x1,x，，，，ln1x. dxdx,,,,dx,,,,,,,000,,11,,xxnnn,1n,1,, 又因为级数 n,1,1,x，， ,nn,1 n,11,x，，0,1在区间上一致收敛，且通项连续，所以得到 ,,n n,12,,111,x，，ln1x,dxdx,,,,,,.? ,,2,,0016,xnnnn,,11 (2)基于柯西积分公式求积分 [2] Cfz引理2(柯西积分公式)设区域的边界是周线(或复周线)，函数在内解DD，， DC，析，在上连续，则有 f,，， ,,2,.fzidzD,,，，，，,c,z, ,cos,例2 求定积分edcossin.,, ，，,0 分析 若此题利用牛顿——莱布尼茨公式，则寻找被积函数的原函数比较困难. 考虑到 构造复变函数，利用该复变函数的积分来间接求出原积分. zzee,||1fz,dzC,解 考察复变积分，其中，利用柯西积分公式得 ，，，，,Czz 0Iiei,,22,,. (1) 2 第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品 ze 令，代入得 zi,，cossin,,z zicossin,,，2,ee ,，cossin,,dzdi，，,,C0cossin,,，zi 2,，icossin,, ,,，cossincossin,,,,iedi，，，，,0 2,icossin,,,,eeid,，，,0 2,cos,cossinsinsin,，eiid，，，，，，,,,，，,0 2,coscos,,，， (2) ,,，eiedsinsincossin,,,,，，，，,，，0 cos,又因为ecossin,在上为偶函数, 所以由可得 0,,(1)和(2)，，,, ,cos, edcossin,,,,.? ，，,0 注:这题虽然不难，但给了我们启示——任意给定函数，构造复变函数且该函数在某区域上的积分容易求出，使给定函数等于复变函数的实部或虚部，这样就可以求出实变函数的积分. (3)基于留数理论求积分 [2]Cfz 引理3(柯西留数定理) 若在周线或复周线所围的区域内除,,,,,....,D，，12n DC，外解析，在闭域上除,,,,,....,外连续，则 12n n fzdzisfz,2Re.,，，，，,,C,,zk1,k [2]i,gz 引理4(若当尔引理) 设函数沿半圆周充分大)上Cz:Re(0,,,,,,R，，R lim0gz,，，C连续，且在上一致成立，则 RR,，, imz lim00.gzedzm,,，，，，,,，,CRR i,[2] fzSzarer:,,,,,,,,充分小S 引理5设沿圆弧上连续，且在上一，，，，12rr 致成立极限 limzafz,,,，，，，， r,0 3 第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品 则有极限 lim.fzdzi,,,,,，，，，21,S,r0r +,sinx 例3 计算积分 dx.,0x +,sinx解 因为积分存在，且 dx,0x +,，,sinx1sinx= dxPVdx...,,0,,x2x izeC考虑函数沿图1所示闭曲线路径的积分 fz,，，z C图1 闭曲线路径 根据柯西积分定理得 fzdz,0,，，,c或改写成 ixizixiz,Rreeee (3) ，，,,0,dxdzdxdz,,,,,rCRCRrxzxz ii,,zzrerR,,,,,Re0,及,,CC,其中分别表示半圆周. ，，Rr 由引理4知 izelim0., ,,，,CRRz由引理5知 izelim,,dzi. ,,0Crrz ix，,erR,,，,0,在式(3)中，令，得的主值为 dx,,,x ix，,e. ..,,PVdxi,,,x所以 4 第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品 +,，,,sinx1sinx==.? dxPVdx..,,,,,,2x2x (4)基于拉普拉斯变换法求积分 从例3的解题过程看出，利用留数方法计算积分比较繁琐，以下利用拉普拉斯变换求解 上题，相对比较简单. ，,st[3],引理6 由积分所定义的确定于复平面上的复变数Res,,Fseftdt,，，，，，，,0 的函数，称为函数的拉普拉斯变换，其中于有定义，且满足不等式 Fsftftt,0s，，，，，， ,tM,,，这里为某两个正数，称ft为原函数，而Fs称为像函数. ftMe,，，，，，， ，,sinkx，，解 令， ,fkdx，，,0x fk对进行拉普拉斯变换，有 ，， ，,，,sinkx，，st,， ,，，Lfkedxdt，，，，,,00x交换积分顺序得 ，,，,1st,， Lfkekxdtdx,，，sin，，，，，，,,00x ，,st,sinkx则为的拉普拉斯变换. ekxdtsin，，，，,0 由欧拉公式得 ikxikx,ee,sin kx,， ，，2i 1ikx，，Le,， ，，six, 1,ikx，，Le,， ，，six， k其中把看为变量. 从而 11,,，,,xsixsix，,Lkxsin,,，，，，. ,,22，，2isx，,,,, 所以 5 第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品 ，,，,，,11,st,=， Lfkekxdtdx,,dx，，sin，，，，22,，，,,000，xsxs2 ，,sinkx,，，即的像函数为， ,fkdx，，,02sx 所以 ，,sinkx,，，=.? ,fkdx，，,02x (5)含参变量积分法 ，,[1]ab,abc,,，，,引理7 设在连续，若在上一致fxy,Ixfxydy,,,,,,,,，，，，，，,0 ab,收敛，则Ix在上可积，且 ,,，， bb，,，,. dxfxydydyfxydx,,,，，，，,,,,acca ，,[1]abc,,，，,fxy,fxy,引理8 设与在区域上连续，若,,,,，，，，Ixfxydy,,x，，，，,c ，,ab,ab,ab,Ix在上收敛，在上一致收敛，则在上可微，且 fxydy,,,,,,,，，，，x,c ，,, Ixfxydy,,.，，，，x,c 通常，含参变量积分法主要有两种方法. 方法一:把超越函数的积分化为二元函数的积分问题，再利用引理7的积分交换顺序， 从而求出超越函数的积分. ，,sinsinbxax,px,例4 计算 I,edxpba,0,.,,，，,0x 解 因为 bsinsinbxax, ， ,cosxydy,ax 所以 ，,sinsinbxax,px, I, edx,0x ，,b,px ,exydydxcos，，,,0a ，,b,px,dxexydycos, ,,0a ，,px,,pxpx,exyecos,edx由于及反常积分收敛，根据威尔斯特拉斯判别式(M判别式)，,0 ，,,pxpx,ab,0,,，,，abexydxcos含参变量反常积分,,,,,,在上一致收敛，由于exycos在,0 上连续，根据引理7，于是 6 第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品 bb，,p,px ,,cosIdyexydxdy22,,,0aa，py ba ? ,arctanarctan.,pp 方法二:把超越函数积分看成某个变量的函数，利用引理8，先微分，后积分，求出超越函数的积分. [6]例5 Define ，,2x,ftetxdx,cos()(1)，，,,, and ，,2x,，，gtxextdx,,sin()(2),,,, for .Both integrals exist (they converge absolutely) since the ,,,,，,t 22,x,xxeabsolutely values of the integrands are at most and , respectively e Note that is obtained from by differentiating the integrand with respect gf to . We claim that is differentiabale and that ft ' (3) ftgtt()()(),,,,,，, To prove this ,let us first examine the difference quotients of the cosine:if ,then ,,0 ,,，cos()cos1,,,，, (4) ，,,sinsinsintdt,,，，,,,, ,sinsin,,,,,ttSince ,the right side of (4) is at most in absolute value ;the 2case Is handled similarly. Thus ,,0 cos()cos,,,，, (5) ，,sin,,, for all (if the left side is interpreted to be 0 when ) ,,0 h,0 Now fix t,and fix .Apply(5)with ,,,,xtxh,;it follows from(1)and (2)that ，,2fthft()()，,2x, ,,gthxedx().,,,h 7 第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品 h,0 When ,we thus obtain (3). Let us go a step further:An integration by parts, applied to (1),shows that ，,2sin()xtx, (6) ,ftxedx()2,,,t Thus and (3) implies now that f satisfies the differential equation tftgt()2(),,, ' (7) 2()0fttft，,，， If we solve this diffrential equation and use the fact that ,we find that f0,,，， 2t,4 (8) fte().,, The integral (1) is thus explicitly determined.? 3.小结 本文通过大量的数值实例，给出了关于超越函数积分问题的五种方法——幂级数展开法求积分、基于柯西积分公式求积分、基于留数理论求积分、基于拉普拉斯变换法求积分以及 【4】含参变量积分法，只是起到抛砖引玉的作用.还有其它的求解方法，如傅氏积分法、最陡下 【5】降法等，还需广大读者共同讨论。 【参考文献】 [1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版，下册)[M].高等教育出版社，2008:40,184,187 [2] 钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].高等教育出版社，2003:120,226,243,246 [3] 王高雄，王寿松，周之铭.常微分方程(第三版)[M].高等教育出版社，2006:150 [4] 刘锋，孙福树，杨巧林.复变函数与积分变换(第一版)[M].机械工业出版社，2002:166。 [5] 郭敦仁，王竹溪.特殊函数概论[M].北京大学出版社，2000:371 [6] [美]Walter Rudin数学分析原理(英文版，第三版)[M].机械工业出版社，2004:237， 8