高中数学向量知识

高中数学向量知识 1.向量的概念：(1)向量的基本要素： 新疆王新敞大小和方向奎屯(2)向量的示：几何 ,表示法 ，；坐标表示法ABa ,新疆王新敞奎屯(3)向量的长a,xi，yj,(x,y) ,,,,新疆度：即向量的大小，记作｜王新敞奎屯0｜(4)特殊的向量：零向量＝｜｜＝0.单位向量aaa,,,新疆王新敞奎屯a为单位向量｜a｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同,00 x,x,12(x,y),(x,y)(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平,,1122yy,12, ,,行向量.记作b?.由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同a 新疆王新敞一直线上，故平行向量也称为共线向量奎屯 2.向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表 新疆示和性质王新敞奎屯 ,,3.重要定理、公式(1)平面向量基本定理：e,e是同一平面内两个不共线的向量，那么，12 ,,,新疆对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数王新敞奎屯,,,a,,e，,e，使 121122 ,,,,新疆(2)两个向量平行的充要条件王新敞奎屯bbxy,xy,0?＝λ aa,,1221 ,,,,新疆(3)两个向量垂直的充要条件王新敞奎屯bbxx，yy,0a?a?＝O ,,1212(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ， PPPPPP1212 ,xx，,12x,,,,11,1，则OP＝＋ (向量公式) (坐标公式) OPOP12,,yy1，,1，,，12,y,.,1，,, xx，,12x,,,1,2新疆当λ＝1时，得中点公式：王新敞奎屯OP＝（＋）或 OPOP,12yy2，12,y,.,2, ,,(5)平移公式 设点,,,,OPOPP(x,y)a,(h,k)P(x,y)a按向量平移后得到点，则＝+或 ,x,x，h,,,，曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析式为：y,f(x)a,(h,k),,y,y，k., abc新疆王新敞奎屯 (6) 正弦定理： ,,,2Ry,k,f(x,h)sinAsinBsinC 222b，c,a222余弦定理：cosA,a,b，c,2bccosA, ,2bc 222c，a,b222cosB,b,c，a,2cacosB, ,2ca 222a，b,c222新疆 王新敞奎屯cosC,c,a，b,2abcosC， ,2ab （高考试题） 广东卷1．已知平面向量a,(3,1)bx,,(,3)ab,，，且，则x=（ ）A. –3 B. –1 C. 1 D . 3 全国卷三理（10）文(11) 在ABBCAC,,,3,13,4中，，则边上的高为（ ） ,ABCAC333新疆A. 王新敞奎屯3332 B. C. D. 222 全国卷四理11文12．?ABC中，a，b，c分别为?A、?B、?C的对边.如果a，b，c成 1，32，33等差数列，?B=30?，?ABC的面积为1，3，那么b=（ ）A． B． C． 222 新疆D．王新敞奎屯2，3 ,,,,,,,,,,全国卷四文15．向量bbbbb,满足(-)?(2+)=-4,且||=2,||=4,则与夹角的余弦值等aaaaa 1于 (,) 2 ,,,,天津卷理3文4. 若平面向量bbb,35,(1,,2)180:与向量a的夹角是，且，则＝ 新疆A. 王新敞奎屯(3,,6)(6,,3)(,6,3)(,3,6) B. C. D. ,,,,,天津卷文14. 已知向量b,(2,,3)ka,2ba,(1,1)ak，，若与垂直，则实数等于 （－新疆王新敞1）奎屯 浙江卷文理14.已知平面上三点A,B,C满足ABBCCA,,,3,4,5则 新疆王新敞奎屯ABBCBCCACAAB,，,，,的值等于 -25 ,,,,,,,,,,bbbbb福建卷文理8．已知、是非零向量且满足(－2) ?，(－2) ?，则与的aaaaa夹角是 ,,,,52新疆 A．王新敞奎屯 B． C．D．6336 湖南卷文8．已知向量,向量则的最大值，最小值分a,(cos,,sin,)b,(3,,1)|2a,b| 新疆别是（ ）A．王新敞奎屯42,04,42 B． C．16，0 D．4，0 江苏卷16.平面向量a,bab中，已知=(4，-3)，=1，且=5，则向量=______ba,b 43新疆（王新敞奎屯b,,(,)） 55 上海卷文理6已知点A(1, －2),若向量a13与={2,3}同向, =2,则点B的坐标为 ABAB 新疆(5,4)王新敞奎屯 ,,,,全国卷一文理3．已知bb,均为单位向量,它们的夹角为60?,那么|+3|= aa A71013 B C D4 ,43全国卷二理（9）已知平面上直线e,(,,)的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射ll55 ,1111影分别是O和A，则＝,，其中,＝（ ）（A） （B）－ （C）2 eOA111155 新疆（D）－2王新敞奎屯 ,,,,,,,,全国卷二文（9）已知向量bbbb、满足：||＝1，||＝2，|－|2，则|＋|（ ） aaaa 新疆（A）1 （B）王新敞奎屯256 （C） （D） 重庆卷文理6．若向量||4,(2).(3)72babab,，,,,a与ba60的夹角为，,则向量的模为： 新疆王新敞（ ）A 2 B 4 C 6 D 12奎屯 湖北卷理4文7．已知为非零的平面向量. 甲：（ ） a,b,ca,b,a,c,乙:b,c,则 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 新疆 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件王新敞奎屯 湖北卷文理19． 如图，在Rt?ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点， 新疆问王新敞奎屯,的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值 PQ与BCBP,CQ 解:？AB,AC,？AB,AC,0.？AP,,AQ,BP,AP,AB,CQ,AQ,AC ？BP,CQ,(AP,AB),(AQ,AC)CQ 2,,a,AP,AC，AB,AP ,AP,AQ,AP,AC,AB,AQ，AB,ACa BA P 12222新疆王新敞奎屯,,a，acos,. ,,a，PQ,BC,,a,AP,(AB,AC)2 新疆王新敞奎屯 故当,cos,,1,即,0(PQ与BC方向相同)时,BP,CQ最大.其最大值为0. () 1：向量，向量的加法与减法，实数与向量的积，平面向量 的坐标表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的距离， 平移． 2： （1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法． （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． （4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平 面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积 可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． （6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公 式，并且能熟练运用，掌握平移公式． 3： （2000—文(2)，理(4)） , 设a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ?(a•b)•c(c?a)?b=0； ?|a||b||ab|； ?(b?c)?a(c?a)?b不与c垂直； ?(3a＋2b)?(3a2b)=9|a|224|b|. 中，是真命题的有（ ）． （Ａ）?? （Ｂ）?? （Ｃ）?? （Ｄ）?? （2000—文(22)，理(22)） , ,,中，，点满足AE,,EC，双曲线过ABCDAB,2CDE 三点，且以为 C,D,EA,B 23焦点，当如图，已知梯形e时，求双曲线离心率的取值范围． ,,,34 8：文史类，题目中的e给出具体的值，求离心率的值） ,,,11 （2001—文(5)） , D C 若向量a=(3,2)，b=(0,-1)，则向量2ba的坐标是（ ）． （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） (3,,4)(,3,4)(3,4)(,3,,4)E (2001—理(5)) A B 若向量a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，则c=（ ）． 1313（Ａ）,,a+b （Ｂ）ab 2222 3131（Ｃ）,,ab （Ｄ）a+b 2222 (2001—文(10)，理(10)) , 2设坐标原点为y,2xO，抛物线与过焦点的直线交于两点，则A,B（ ）． 33（Ａ） （Ｂ） （Ｃ）3 （Ｄ）,3 ,44 （2002—文(12)，理(10)） , 平面直角坐标系中，OC为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(,1,3)，若点满 ,,,足,OA，,OBOCC,，其中,,,,R，且,，,,1，则点的轨迹方程为（ ）． 22 （Ａ）(x,1)，(y,2),5 （Ｂ）3x，2y,11,0 （Ｃ）2x,y,0x，2y,5,0 （Ｄ） （2002—文(22)，理(21)） ,,,,,,已知两点MP,MNPM,PNNM,NPM(,1,0)N(1,0)，且点使，，P 0成公差小于的等差数列． （?）点的轨迹是什么曲线？ P ,,（?）若点(x,y)PN,tan,坐标为，记为与的夹角，求． PMP00 （2003—文(8)，理(4)） , 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满OABC,,P ABAC足，则点的轨迹一定通过ABCOPOA,，，,，,,,(),0,P，,||||ABAC 的( )． (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 （2003—文(22)，理(21)） , 已知常数，向量c = i = (1，0)，经过原点以c+i 为a,0O,(0,)a 方向向量的直线与经过定点以i -2c为方向向量的直线相交于点Aa(0,), ，其中R试问：是否存在两个定点，使得为定值， ,,||||PEPF，EF,P 若存在，求出的坐标， 若不存在，理由． EF, 4 2000年-- 考查向量基本概念，定比分点公式; 2001年-- 考查向量坐标运算， 向量的数量积; 2002年-- 考查向量坐标运算，基本定理， 向量与数列的综合; 2003年-- 考查向量与平面几何的综合; 向量与解析几何的综合; 四年的命题体现了平面向量考查的三个层次(见《考试说明解析》?中国考试? 2003?NO3) 第一层次：主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能， 数乘要求考生掌握平面向量的和，差，数乘和内积的运算法则，理解其直 观的几何意义，并能正确地进行运算．(2000年的考题) 第二层次：主要考查平面向量的坐标表示，向量的线性运算．(2001年的考题) 第三层次：和其他数学内容结合在一起，如可以和曲线，数列等基础 知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能 力．应用数形结合的思想方法，将几何知识和代数知识有机地结合在一起， 能为多角度的展开解题思路提供广阔的空间。 题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满 完成解答，则需要严密的逻辑推理和准确的计算。 5 （1）充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是数形 结合的重要体现，因此，平面向量容易成为中学数学知识的一个交汇点。 （2）在基础知识复习时，要注意向量考查的层次，分层次进行复习。 第一层次：复习好向量本身的内容，包括平面向量的主要概念，主要 运算：和、差、数乘、内积的运算法则，定律，几何意义及应用。 第二层次：平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示，线性 运算，基本定理以及内积的应用，以及课本例题的教学价值，例如2002年的选择题 （2002—文(12)，理(10)） , 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，，若点OB(,1,3)A(3,1) ,,,,OA，,OBOCC满足，其中,,,,R，且,，,,1，则点C的轨迹方程, 为（ ）． 22 （Ａ）(x,1)，(y,2),5 （Ｂ）3x，2y,11,0 （Ｃ）2x,y,0x，2y,5,0 （Ｄ） 这道题可以用向量的坐标表示计算。 设C(a,b)(x,y),,(3,1)，,(,1,3),(3,,,,,，3,)，由题意． x,,3,,,于是 ,y,3,,，, B?＋?×2得 PA x，2y,5(,，,),5． O于是点Cx，2y,5,0的轨迹方程为． 但是如果利用平面向量基本定理一节中课本的一道例题P例5，已124 ,,,,,,,知OA,OBOP,(1,t)OA，tOBAP,tABt,R不共线，，，则有 ， ,表示，表示，则有． 1,t,，,,1,t 这里给出了共线的一个条件．而2002年选择题恰恰就是这个例题的变化，因此点在两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即CA,B如果用 有 y,1x,3 ，即 ． ,x，2y,5,03,1,1,3 从这道试题可以启发我们，在教学中一定要落实课本，落实课本的例 题，挖掘课本例题在培养数学能力上的作用． 第三层次：平面向量与其它知识的结合。 A．与平面几何的结合： ?在平行四边形中， ABCD 若AB,AD，则，即菱形模型。 (AB，AD),(AB,AD),0 若AB，AD,AB,AD，则，即矩形模型。 AB,AD ?在中， ,ABC 222，O是,ABC的外心； OA,OB,OC AB，AC一定过BC的中点；通过,ABC的重心； OA，OB，OC,0，O是,ABC的重心； OA,OB,OB,OC,OC,OA，O是,ABC的垂心； ABAC,(，)(,,R)通过,ABC的内心； ABAC a,OA，b,OB，c,OC,0O,ABC则是的内心； 1222S,AB,AC,(AB,AC)． ,ABC2 B．与代数的结合 ? 弄清实数乘积与平面向量数量积的异同点： 实数的乘积 向量的数量积 运算的结果是一个实运算的结果是一个实向量的数量积与实数的积的相同点 数 数 ,,,,交换律a,b,b,a a,b,b,a,,,,,,,，，a，b,c,a,c，b,c分配律 (a，b),c,ac，bc ,,,2222,,,22(a,b),a,2ab，b ，，a,b,a,2a,b，b 22(a，b)(a,b),a,b ,,,,,,22，，，，a，b,a,b,a,b ,,,,,,2222000a，b,0,a,0a，b,,a,且b,且 b,0,,,,,, a,b,a,b,a，ba,b,a,b,a，b| 向量的数量积与实数的积的不同点： 实数的乘积 向量的数量积 ,,,,,,，，，，a,b,c,a,b,c结合律 (ab)c,a(bc),,,,a,b,0,a,0或 或 ab,0,a,0b,0,,,b,0或a,b ,,,, ab,aba,b,a,b ,,2222,,22(ab),ab ，，a,b,a,b,,,,,,ba,b,a,b,(x,y),(x,y)?代数不等式：由, ，可得 a1122 22222 。 (xx，yy),(x，x)(y，y)12121212 C．与解析几何结合 ?定比分点公式 ,OA，OB若AB,，则是的定比分点，为定比，满足OP,P1，, AP,,PB。 ?点向式直线方程 ，，，，(x,y)(x,y)u,vu,v已知点及方向向量，可确定过，以为0000 方向向量的直线方程为 (x,x)v,(y,y)u . 00 . ，b，c=a+b，是否存在实数，使a 与c,,(1,3),(1,1) （3）精选典型例题及练习题扩大学生的解题视野。 的夹角为锐角，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。（考, 例1、已知a=查数量积的应用及严密的推理能力） 例2、在坐标平面上有两个向量a，b，,(cos,,sin,),(cos,,sin,)其中。 0,,,,,, （?）证明（a+b）（a- b）； , （?） ka+b = a-kb ，求的值，其中为非零常数。（考查数,,,k量积与三角函数综合） 例3、已知的面积为，且。 S,OFQOF,FQ,1 1（?）若OF,S,2，求向量与的夹角的取值范围； ,FQ2 3（?）记c,2S,cOF,c，（），，若以为中心，为焦点的OF4 椭圆经过点OQ，当取得最小值时，求此椭圆方程。（考查平面向量的数Q 量积，三角函数的值，解析几何，函数最值的综合） 例4、已知OD,xOA，，，若，OA,(2,1)OB,(1,7)OC,(5,1) ，（）。 x,y,Ry,DB,DC （?）求y,f(x)的解析式； y（?）若点p(x,y)y,f(x)1,x,2在曲线上运动，求在时的最小x值； （?）把Cy,f(x)的图像按向量a,(,2,8)平移得到曲线，过坐标原1点CQ(0,y)OMN作OM,ON交于M,N两点，直线交轴于点，当y10 y，MON为锐角时，求的取值范围。（考查平面向量数量积的坐标表示，0 函数的最值，图像的平移，解不等式，解析几何的有关知识） 例5、是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量的和 与其余两个向量之和垂直。（存在性问题，向量的基本运算与平面几何综合） 例6、一条河的两岸平行，河宽400m，一小船从处出发航行到对A岸，小船速度为v，且 v/秒，水流速度为v， v/秒。 11 22 ,3m,2m ，v夹角为多大时，船才能到达对岸处，此时位移的大,B12 小，方向怎样？时间是多少？ (?) 当，夹角为多大时，小船航行的时间最少？此,(?)当v 时位移的大小方向怎样？时间是多少？