第5章：解析函数的幂级数表示

第5章：解析函数的幂级数表示 教学目标或要求： 掌握 复级数的基本性质 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：复级数的基本性质 解析函数项级数 重点：解析函数项级数的性质 难点: 解析函数项级数的性质 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习：1 对于复数项的无穷级数 , a,a，a，？，a，？, (4.1)nn,12n,1 令（部分和），若 部分和复数列 有有限复数极限， 即,则称收敛于,称为级数的和。记 ； 若 无有限极限，则称 发散。 设 ，则 证 记 由 即得。 ，存在正整数复级数(4.1) 收敛于的充要条件是：对任给的,,0N,N(,)，当且为任何正整数时n,Np |a(z)，？a(z)|,,。 n，1n，p 改变 的有限项并不改变 的敛散性。 判定级数的敛散性。 解: 由 发散，收敛知原级数发散。 , |a|复级数(4.1) 收敛的一个充分条件是级数收敛。,n,1n ,, |a|a级数收敛，则称级数为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级n,,n,1n,1n 数称为条件收敛。 (1) 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不改变其绝 对收敛性，亦不致改变其和，(2) 设有两绝对收敛的复数项级数 , 把它们各项相乘所得的级数 也绝对收敛，且它的和就等于两个级数的和之积 。 , f(z)设复变函数项级数的各项均在点集上有定义，且在上存DD,n,1n 在一个函数，对于上的每一点，级数均收敛于，则称为级数的和函f(z)f(z)D 数，记为 , f(z),f(z). ,n,n1 用 方式描述：对于给定的，任意， 使当n>N时，有，其中，。如果N与Z无关，则 称级数在D上一致收敛于。 , f(z) 对于级数在点集上一致收敛于函数的充要条件是：对任给D,n,1n 的，存在正整数N,N(,)，使当时，对一切，均有 ,,0n,Nz,D|f(z)，？f(z)|,,。 n，1n，p 如果对于某区域D上所有各点z，复数项级数各项的模，而正的常数 项级数收敛，则复变函数项级数在D上绝对且一致收敛。级数称 为的强级数，即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛. 以上称为外尔斯特拉斯M一判定法。 , f(z)f(z)级数在点集上连续，并且一致收敛于函数，则和函数D,n,1n , f(z),f(z) 也在上连续。 D,n,n1 如果级数在D上一致收敛于如果 ， 在C上连续，则沿C可逐项积分，且 。 在圆内闭一致收敛 在闭圆上一致收敛。 证 显然。 证明级数 在 时一致收敛。 当时，，由收敛,根据优级数判别法即得。 证明在内内闭一致收敛，但在上不一致收敛。 一 , 又 在 时收敛，则由优级数 判别法即得 在 上一致收敛。从而 在内闭一致收敛。 取，取 , 则 , 故柯西一致收敛判别法即知在上不一致收敛。 反证法。若 在 上一致收敛，则 。 特别地对 有 在 内取 则 ，于是 但 ，矛盾。 故 在 上不一致收敛。 , f(z)(n,1,2,？)f(z)在区域内解析，(2)在内内闭一致设(1)DD,nn,1n , f(z),f(z)收敛于函数f(z)：, 则: ,n,n1 (1)f(z)在区域内解析 D ,(p)(p)f(z),f(z)(2) (z,D,p,1,2,？). n,,n1 证 (1)全含于内,由在内解析知在 连续，又 在内内闭一致收敛于，故在上一致收敛于，从而由和的连续性定理知，在 连续。另一方面，取为 内任一围线，由于在 内解析，故，且 在 上连续，又由在内闭一致收敛于 知 在 上一致收敛于，由逐项可积定理知 ， 因此由摩勒拉定理在 内解析，从而在 解析，由的任意性即知在 内解析。 (2) 全含于内,记的边界为,则由、 在 内解析 ，知 、 在 上解析。从 而 又 在内闭一致收敛于，从而在上一致收敛于， ，由于一致收敛级数乘以有界函数后仍是一致收敛 的,故在上一致收敛于,另一方面,由于在内解析，故在上连续，从而在上连续，因此由逐项积分定理 ， 从而 。