自然数分拆成若干个连续奇数之和的充要条件

自然数分拆成若干个连续奇数之和的充要条件 自然数分拆成若干个连续奇数之和的充要 条件 《教学与管理》2001年5月l5日 自然数分拆成若干个连续奇数 之和的充要条件 ?河南省郑州第二师范学校王明建范中广 非2幂的自然数分拆成若干个连续自然数之和 的问已被文c1]解决,本文经过类比研究.得到了 自然数分拆成若干个连续奇数之和的充要条件及与 此分拆问题相关的一些主要结果. 一 ,充要条件 定理1如果用k表示自然数,且k?n一2, 那么任意一个自然数N分拆成若干个连续奇数之 和的充要条件是N=2一k. 证明先证必要性 如果N可分拆成若干个连续奇数之和,那么可 设N=(2k+1)+(2k+3)+…+(2n一1) N且k?n一2). (n,k? 由等差数列的知识易知 1+3+5+…+(2n一1)=n0? 1+3+5+…+(2忌一1)=k? ?一?得n2一k=(2k+1)+(2忌+3)+… +(2n一1)=N. 再证充分性 如果N=n2一k2. 由等差数列的知识易知 1+3+5+…+(2n一1)=,z 1+3+5+…+(2k一1)=k 所以N=一k0=(2k十1)+(2k+3)+… +(2n一1),即N可以表示为若干个连续奇数之和. 综上所述可得;任一自然数N分拆成若干个连 续奇数之和的充要条件是N=n2一k2. 行各种索质训练和培养,避免传统教育中单纯学科 知识传授的做法,转换到多角度,全方位实施素质教 育的教学轨道. 3,从讲述讲解型转变为启迪思维型.改变传统 的课堂教学模式.无疑是实施素质教育的重要一环. 过去.思想政治课教学中推行的读义讲练法,五段式 教学法,讨论引导法等.自然各有优点,但实践证明 都不能放之四海而皆准.由于地区之间,学校之问, 学生之间的差别.不能用同一教学模式加以统一,尤 其在提倡教育现代化,全面推进索质教育的当今时 代,有些教学模式已显得陈旧过时,更不能机械划一 硬性要求.必须根据新时期的新情况不断探索,尝试 教学新模式.新的具体模式虽然不能立即确定.甚至 可能多种多样,但基本要求是可以框定的,就是通过 教育教学活动,激发学生的学习热情,教给学生学习 方法,注重思维启迪,提高全体学生的基本素质.这 就要求教师在思想政治课教学中.必须改变”包讲” 的做法,把精力放在巧于引导.善于启发.长于思维 上来. 4,由单纯课堂型转变为课内外结合型.中师思 想政治课是一门综合性很强的学科,从历史到现实, 从国内到国外.从社会科学到自然科学,域限广泛. 丰富,如果不把政治课教学从课堂延伸到课外, 从教材拓展到现实,政治课就失去了生命力,就不能 充分发挥实施素质教育的功能.这就要求教师必须 通晓各学科基础知识.了解历史,掌握时事,特别是 充分利用政治活动课,社会调查,知识讲座等方式实 现转型.把课内和课外有机结合起来,扩大时空,丰 富内容,扣紧实际,才能更好更快地达到素质教育的 目标. 5,从单纯教学型转变为教育教学科研型.跨世 纪的历史发展,教育改革的深化.素质教育的推行, 迫切需要教师科研能力的提高.教研活动作为一种 特殊意义的教学.它可以提高教师的知识水平和教 学能力.新时期的思想政治课教师,除了要出色地完 成教书育人的基本任务外,还应积极地从事教学研 究,钻研教材教法,总结教学经验与教训.探究教学 新途径,从而更有效地推动教育教学改革.每一位思 想政治课教师都应该根据自己的实际情况.拟定教 育教学科研题目或注意总结自己的教育教学经验. 不断提高科研能力.尽快把自己锻炼成教育教学科 研型人才.为全面推进素质教育,发展有中国特色社 会主义教育事业,在教育教学的理论和实践两方面 都做出自己应有的贡献.(责任编辑孙晓雯) ? 55? 王明建范中广:自然数分拆成若干个连续奇数之和的充要条件 二,主要结果 对于自然数分拆成若干个连续奇数之和,用以 下两个定理来表示分拆的主要结果. 定理2用N表示自然数,表示此类分拆中 某种形式的项数,则2?n?[_N]([]表示取整 数). 证明如果N能被分拆成若干个连续奇数之 和.则这若干个连续奇数必是公差为2的等差数列. 设这个数列的首项为n,项数为,则 N=口十r/(—1), 即+(口一1)—N=0? 此方程的正数解为 .,——. (1-a)+ff(a-1)2+4N “2’ 因为是正整数且至少为两项, 所以2??[=垒2?(垒二)!?垒1,,J, ([]表示取整数). 又因为口?1,所以(?一1),/-N?0,两边加上 (口一1)+4N得 (a一1)+4N?(a一1)十4(a一1)?+4N (口一1)十4N?[(?一1)+2~/], 也就是~/(?一1)+4N?(口一1)+2,/N 即(1一)+丽?2, 所以2??[-R]. 对于所有分拆的种数j5(N),有下面的定理. 定理3设自然数N分拆成若干个连续奇数之 和的分拆种数为j5(N),则j5(N)的值等于k取值的 个数. 证明因为N=一k,(n,后表示自然数, 且k?一2) = [1+3+5+…+(2n一1)]一 [1+3+5+…+(2七一1)] = (2k+1)+(2是+3)十…+(2n—1)? 由?知k每取一个值,就对应着N的一种表达 方式,也就是对应着1l(N)的一个值.即N的分拆种 数和k的取值构成一一对应关系.所以j5(N)的值 等于k取值的个数. 三,结果的应用 用以下几例来定理2及定理3的具体应用 例1求675分拆成连续奇数的项数与分拆种 数.并把它们全部表示出来. 解因为675=3X52,由定理2得 2??26. 又675=33×52=262—12=302—15 ? 56? =422—33=7o2—651142—111 k的取值为l;15;33;65;111, 由定理3知~(675)=5. 所以675=223+225+227 =131+133十…+139 =67+69+…+83 = 31+33+…十59 =3+5+…+51. 例2求5929分拆成连续奇数的项数与分拆种 数,并把它们全部表示出来. 解因为5929=7×11,由定理2得 2??77. 又5929=72×112=772—02=852—362 :2752——2642427z.4202 k的取值为0;36;264;420; 由定理3知j5(5929)=4. 所以5929=841+843十…+853 =529+531+…十549 73+75+…+169 =1+3+…+153. 例3求1680分拆成连续奇数的项数与分拆种 数,并把它们全部表示出来. 解因为168024×3×5×7,由定理2得 2??41. 又1680-.243×5×7=412—1=432—13 162:472—232=522—32z=672—53 =442— =762—642=89—792=1092—101=1432—1372 =2122—2082=4212—4192 k的取值为l;13;16;23;32;53;64:79;101; 137;208;419. 由定理3知~(1680)=12. 所以 1680839+841417+419+…+423 =275+277+…+285=203十205+…+217 = 159+161+…+17129+131十…+151 =107+109+…+133=65+67+…+1o3 =47+49+…+93=33+35+…+87 =27+29+…+85=3+5+…+81. 参考文献; [1]王明建.非2幂自然数的分拆种数【j].河 南教育学院,1999(6).4. [2]王明建.非2幂的自然数分拆成若干个连 续自然数之和的分拆种数及对项数n的估值[J].河 南教育学院.2001(2). (责任编辑刘永庆)