最新证明的求解勾股弦数公式

最新证明的求解勾股弦数 (2005年9月—12月) 王 德 忱 黑龙江省农科院黑河分院 黑河市 22 2摘要:最新证明的求解勾股弦数公式:对x + y= z这一不定方程，以x为求解对象，以y、 222z为相对即定条件，有正整数x +(y+ a) =(x + a)成立，分析确定x的代数解，由此得出y、i z的代数值，所得x、y、z组的代数解值，即为最新证明的求解勾股弦数公式。 关键词:最新证明 求解 勾股弦数公式 本人在研究“费马猜想”过程中，遂发现最新求解勾股弦数的方法，不同于古人构造流传下来的求解勾股弦数公式，证明如下: 22 2证明不定方程x + y= z正整数最新求解公式。 对于正整数 22 2 x + y= z……………………………………………………………(1) 现在x、y、z中即定x为求解对象(未知数)，y、z为相对即定条件(已知数)，其中z , x 、z , y，于是必存在一个正整数a，使z = x + a，下面证明a , y，由(1)式得: 222x + y =( x + a ) 2 22 2 x+ y = x+ 2ax + a 22y = 2ax + a 2222若a ? y，有a ? y，a+2ax , y，可见等式(1)式不成立，则a , y;所以存在正整数y，使iy = y+ a。将z = x + a 、y = y+ a代入(1)式得: i i 222x +(y+ a) = (x + a) ……………………………………………(2) i 22222x + y + 2ay + a = x + 2ax +a ii 2y + 2ay - 2ax = 0 ………………………………………………………(3) ii 在(1)式中容易证明并切必须约定(x，y，z)= 1，而对于(3)式中x、a、y相互关系较为复i1 杂，则有?:(a，x)= 1、?:(a，y)? 1、?:(y，x)? 1，分别给予证明: ii ?、确定(a，x)= 1;如果(a，x), 1，设正整数k , 1，a = tk，x = vk，代入(2)式得: 222(vk) +(y+ tk) = (vk + tk) i 22这时k必该整除(y+ tk)，否则等式不能成立;但其与(x，y，z)= 1矛盾，所以(a，x)?1，i 即必有(a，x)= 1。 ?、可有(a，y)= 1，但亦可有(a，y), 1;所以设正整数k?1，a = tk，y = vk，代入(2)iii式得: 222x +(vk+ tk) = (x + tk) 22这时只有(vk+ tk)含k因子，如果k = 1，所约定的(x，y，z)= 1成立;如果k,1，因为(x ， tk)= 1，约定的(x，y，z)= 1也成立，所以可有(a，y)? 1。 i ?、可有(y，x)= 1，但也可存在(y，x), 1;所以设正整数k?1， y = tk，x = vk，代iii入(2)式得 222(vk) +(tk +a) = (vk+a) 这时如果k = 1，约定的(x，y，z)= 1成立;如果k,1，因必有(vk，a)= 1，则(tk ，a)?k， 22只有(vk)含k因子，约定的(x，y，z)= 1成立，所以存在(y，x)? 1。 i 因已设定为求解x，所以(3)式中将等式除以2a得 2yi - x = 0 + yi 2a 222yyy1ii2上式中“，即存在(a，y)?1;因为(y，x)? 1则”项可知2a必整除y ? 1，即 的iii2a 2a 2a剩余因子是x的因子;因为2是质数，所以y含2因子;设y= 2y得: ii ii 224y2yiiii = ?1 2aa 这时存在a含2因子和不含2因子两种可能。当a含2因子时，因(a，x)= 1、a除2后的因子 222与y含a除2的因子必互相约尽;所以使y含c因子，并且y含c必被a除2后的因子约尽，iiiiii 2即设a = 2c;又因(y，x)? 1，所以x、 y还可均含有正整数因子设为d，则y = cd;即y =2cd、iiiiii 2a = 2c代入(2)式得: 2 (2cd) + 2cd - x = 0 2 2*2c 2 d +2cd - x = 0 即求出x、y = y + a 、z = x + a的第一组解值式: i 2 x = 2cd + d 2 2 y = 2cd + 2c 22 z = 2cd + d +2c 等式验证: 22 22222 (2cd + d) +(2cd +2c)=(2cd +d +2c) 22342234224433224cd + 4cd + d + 4cd + 8cd + 4c = 4cd + d + 4c + 4cd + 8cd + 4cd 22222(1) 2c 4y 2y 2yiiiiii 等式成立。当d = 1 时 = 1。当a不含2因 = ? 1等号成立，即 = 2 2a a a 2c 2子时，因为(a，x)= 1，a的因子与y含a的因子必互相约尽，所以存在一个正整数c是 y的iiii 222因子，并且y含c必被a因子约尽，设定a = c;又因(y，x)? 1，所以x、y还可均含有正ii iii 2整数因子设为d，则 y = cd;即y = 2cd、，a = c代入(3)得: iii 2(2cd )+ 2cd - x = 0 2 2c 22d + 2cd – x = 0 即求出x、y = y + a 、z = x + a的另一组解值式: i 2 x = 2cd + 2d 2 y =2cd + c 22 z = 2cd + 2d +c 等式验证: 2222222 (2cd + 2d) +(2cd + c) =(2cd + 2d +c) 2234223422443322 4cd + 8cd + 4d + 4cd + 4cd + c = 4cd + 4d + c + 8cd + 4cd + 4cd 等式成立。 如此就得到了两组勾股弦数求解的类似公式，但实质上这两组求解勾股弦数公式是等价的，只不过是形式上的不同。将其中一组x、y得值对换，又因为c、d取值为任意正整数，包括c = d，c、d含公因数时x、y、z也含公因数，所以c、d可以互相代换: 222 x = 2cd + d x(y) = 2cd + d(c ) 222 y = 2cd + 2c y(x) = 2cd + 2 c(d ) 222222z = 2cd + d +2c z = 2cd + c(d)+ 2d(c) 在证明这个公式过程时必须得出两种形式，但最后归结为一个公式，有利于实际应用。所以结论: 222设c、d是任意正整数，方程x + y = z的正整数解(勾股弦数)公式为: 2222x = 2cd + d y = 2cd + 2c z = 2cd + d +2c 3