用整体补形法解几何题

用整体补形法解几何题 225300 （本文发表在《数理天地》初中版2009年第12期上） 1 如图，四边形ABCD中，?DAB＝60?，?ABC＝?ADC＝90?，BC＝2， CD＝11，求AC的长． 延长AB交DC的延长线于点E． 在Rt?CBE中，??E＝30?，BC＝2，?CE＝4． 在Rt?ADE中，??E＝30?，DE＝11＋4＝15，?AD＝53． 22在Rt?ADC中，根据勾股定理，得 AC＝＝14． (53)，11 2 如图，AD为?ABC的角平分线，且AD＝AB，过点C作直线AD的垂 1线，垂足为E，求证：AE＝(AB＋AC)． 2 A BCDME F 延长CE交AB的延长线于F，取BF的中点，连接EM． ?AE平分?FAC，AE?FC ?AF＝AC，FE＝CE ?ME?BC． 11(AB＋AF)＝(AB＋AC)． 22 ?AD＝AB，?AE＝AM＝ 3 如图，六边形ABCDEF的每个内角都是120?，且AB＝1，BC＝3，CD＝4，DE＝2，求六边形ABCDEF的周长． 双向延长AB、CD、EF两两相交于点P、Q、R． ?六边形ABCDEF的每个内角都是120?， ??PAF、?QBC、?RED、?PQR均为等边三角形． 设EF＝x， AF＝y，则y＋1＋3＝3＋4＋2＝2＋x＋y． 解得 x＝2， y＝5． ?六边形ABCDEF的周长为1＋3＋4＋2＋2＋5＝17． 本题也可以补形为平行四边形． 4 如图，四边形ABCD中，AB＝2，BC＝ 3,1，CD＝1，?ABC＝120?，?BCD＝90?，求四边形ABCD的面积． 过点A作直线CB的垂线，垂足为E，由已知条件，易得四边形AECD为直角梯形，??BAE＝30?，BE＝13AB＝1，AE＝． 2 11?Ｓ(3,1，3)，3,，3，1四边形ABCD＝Ｓ梯形AECD―Ｓ?AEB＝22 ＝3． 5 如图，在五边形ABCDE中，?A＝30?，?B＝?E＝150?，?BCD＝90?，AB＝AE＝8，CD＝3，求五边形ABCDE的周长． 延长BC交于ED的延长于点F，由已知条件，易得四边形ABFE为菱形， ??F＝30?，EF＝BE＝8． 在Rt?DCF中，DF＝2CD＝6，CF＝33CD＝3， ?ED＝2，BC＝8―33． ?五边形ABCDE的周长＝29―33． 6 已知?ABC中，AB＝51710，BC＝，AC＝，求?ABC的面积． 直接用海伦——秦九韶公式求面积，由于S,s(s,a)(s,b)(s,c), 22有多重根式，计算相当繁复．考虑格点?ABC，根据勾股定理得 AB＝1，2＝ 22224，151710，BC＝＝，AC＝＝． 3，1 1111?Ｓ,4，2,，1，2,，4，1,，3，1?ABC＝． 32222 7 如图，AD是?ABC的高，?BAC＝45?，BD＝3，DC＝2，求?ABC的面积． 将?ABD翻折到?ABE的位置，将?ACD翻折到?ACF的位置，分别延长EB、FC，交点为G，由已知条件，易得四边形AEGF是正方形． 设AD＝x，则正方形AEGF的边长也等于x． 在Rt?BGC中，BG＝EG―BE＝x―3，CG＝FG―CF＝x―2，BC＝3＋2＝5， 2 22根据勾股定理，得 ＋( x―2)＝5，解得x＝6（x＝―1舍去），即AD＝6． (x―3)1?Ｓ,，5，6?ABC＝15． 2 8 如图，M、N是半圆O上的两个定点，P是半圆O直径AB上的一个动点．已知AB＝2，?AOM＝125?，?BON＝35?，求PM＋PN的最小值． 作点M关于AB的对称点M’，显然点M’在?O上，连接NM’，则M’N就是PM＋PN的最小值．连接OM’，由已知条件，易得?M’ON＝90?，于是?OM’N是等腰直角三角形，可得M’N＝ 22，即PM＋PN的最小值为．