34 导数在实际生活中的应用

34 导数在实际生活中的应用 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学 3.4 导数在实际生活中的应用 江苏省泰兴中学 吴卫东 邵艳 郭红梅 潘翠萍 教学目标: 1. 通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进 学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值; 2. 通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力 的提高( 教学重点: 如何建立实际问题的目标函数( 教学难点: 如何建立实际问题的目标函数( 教学过程: 一、问题情境 问题1 把长为60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时面积最大? 问题2 把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小, 问题3 做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省, 二、新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题( 1(几何方面的应用(面积和体积等的最值)( 2(物理方面的应用(功和功率等最值)( 3(经济学方面的应用(利润方面最值)( 三、知识应用 例1 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大,最大容积是多少, 1 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计 60 60 说明1 解应用题一般有四个要点步骤:设,列,解,答( 说明2 用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极 值及端点值比较即可( 例2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才 能使所用的材料最省, 变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省, 说明1 这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数 ( 说明2 用导数法求单峰函数最值，可以对一般的求法加以简化，其步骤为: S1 列:列出函数关系式; S2 求:求函数的导数; S3 述:说明函数在定义域内仅有一个极大(小)值，从而断定为函数的最 大(小)值，必要时作答( R例3 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为(外电阻为 ,多大时，才能使电功率最大,最大电功率是多少, 2 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计 说明 求最值要注意验证等号成立的条件，也就是说取得这样的值时对应的自变量必须有解( 强度分别为的两个光源，它们间的距离为，试问:在连接 例4ab,AB,d AB上，何处照度最小,试就时回答上述问这两个光源的线段abd,,,8,1,3 题((照度与光的强度成正比，与光源的距离的平方成反比) 例5 在经济学中，生产单位产品的成本称为成本函数，记为;出售Cx()x 单位产品的收益称为收益函数，记为;称为利润函数，记为Rx()RxCx()(),x ( Px() ,632Cxxxx()100.00351000,,，，(1)设，生产多少单位产品时，边际成本 最低, Cx'() (2)设，产品的单价，怎样的定价可使利Cxx()5010000,，px,,1000.1 润最大, 变式 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C,100，4q，价格p 1与产量q的函数关系式为(求产量q为何值时，利润L最大, p,25,q8 分析:利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格(由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润( 四、课堂练习 1(将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___( 2(在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时，它的面积最大( 3(有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少, 4(一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l,AB，BC，CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b( 3 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计 五、回顾反思 (1)解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义( 2)根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个( 极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较( (3)相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 ( 六、课外作业 1(课本第96页第1，2，3，4题( 2(补充练习: 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层(某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元(该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度(单x k位:cm)满足关系:，若不建隔热层，每年能源消耗费Cxx,,,010，，，，35x， 用为8万元(设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和((?)求fxk，， 的值及的表达式;(?)隔热层修建多厚对，总费用达到最小，并求fxfx，，，，最小值( 4