充要条件

第一章　集合及其运算 数学基础模块　 1.2.1 充要条件 【教学目标】 1. 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念． 2. 能在判断、论证中灵活运用上述三个概念． 3. 培养学生思维的严密性． 【教学重点】 正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念． 【教学难点】 正确区分充分条件、必要条件． 【教学方法】 本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生归纳，形成概念． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 问题：判断命题“如果 x＝y，则x2＝y2”是否正确． 师生一起感受命题推理． 联系实际； 激发兴趣． 新 课 新 课 新 课 1．命题与推出． 在数学中，我们经常遇到“如果 p，则 q”形式的命题，这种命题的真假要通过推理来判断．如果p真，证明q也为真，那么“如果p，则q”就是真命题．这时我们就说，由p可推出q． 符号记作：p ( q， 读作：“p推出q”． 2．推出与充分、必要条件． p推出q，通常还可述为 p是q的充分条件； q是p的必要条件． 这就是说， 如果p，则q；(真) p ( q； p是q的充分条件； q是p的必要条件． 这四句话表达的都是同一意义． 例1 (1)“如果 x＝y，则 x2＝y2”(真)这个命题还可表述为哪几种形式？ (2)“在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C”(真)这个命题还可表述为哪几种形式？ 解 (1)“如果 x＝y，则 x2＝y2”(真)这个命题还可表述为 x＝y ( x2＝y2； 或 x＝y 是 x2＝y2 的充分条件； 或 x2＝y2 是 x＝y 的必要条件． (2)“在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C”(真)这个命题还可表述为 在△ABC中，AB＝AC(∠B＝∠C； 或 在△ABC中，AB＝AC是∠B＝∠C 的充分条件； 或 在△ABC中，∠B＝∠C是AB＝AC 的必要条件． 1 教材P22 练习A组第1题． 练习2 教师写出四种等价说法中的一种，学生说出其他三种． 3．充要条件． 观察例1(2)“在△ABC中，如果 AB＝AC，则∠B＝∠C”． 反过来，“在△ABC 中，如果 ∠B＝∠C，则 AB＝AC”这个命题是否正确？若正确，用刚学过的“推出符号”和充分、必要条件怎么叙述? 引出充要条件的概念． 如果p是q的充分条件(p ( q )，p又是q的必要条件(q ( p )，则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件． 记作 p ( q． 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．又常说成q当且仅当p，或p与q等价． 例如：两个三角形对应角相等是两个三角形相似的充要条件． 4.综合练习． 例2 用充分条件、必要条件或充要条件填空： (1) x 是整数是 x 是有理数的 ； (2) x＝3 是 x2＝9的 ； (3) 同位角相等是两直线平行的 ； (4) (x－2)(x－3)＝0是 x－2＝0的 ； 练习3 教材 P22，A组第2题． 例3 已知 p 是 q 充分条件，s是 r 必要条件，p 是 s 充要条件．求q与r的关系． 解 根据已知可得 p ( q，r ( s，p ( s． 所以 r ( s ( p ( q． 所以 r ( q． 即，r 是 q 的充分条件，q 是 r 的必要条件． 练习4 用充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件填空： (1) a＝b 是 a c＝b c 的 ； (2) 两个三角形全等是两个三角形相似的 ； (3) 四边形的对角线相等是四边形是矩形的 ； (4) a＋5是无理数是 a 是无理数的 ． 生：结合引例，阅读教材P21第1行到第15行，每四人为一组讨论：p推出q还有几种表达方式？ 根据学生的回答，教师引导学生弄清几个关键词：推出，充分条件，必要条件；同时强调这四句话表达的都是同一意义． 师：板书例题，引导学生用四种不同的表述方法表述同一命题． 让各个学生参与到练习中来． 教师分析例1中的(2)，引导学生得出充要条件的定义． 生：比较例1中(1)和(2)的不同，得出充分条件、必要条件、充要条件的判断方法：仅看“前推后”是不够的，还要看“后推前”． 师：你能举出几个充要条件的例子吗？ 师：引导学生总结解题思路，可简记为： 1. 前推后充分； 2. 后推前必要； 3. 互推充要． 练习3学生模仿练习． 师：出示例题． 生：讨论，理清各命题之间的关系． 师：总结学生发言，梳理解题思路，板书解题过程． 生：思考、讨论，说出练习4各题的结果． 师：引导学生订正答案，并说明原因，加深对各种条件的理解． 从实例直观感知概念． 培养学生自学能力和逻辑思维能力． 几种表达方式的理解是难点，通过观察、自学、类比、思考突破学生这一思维障碍． 通过例题1，熟练使用四种不同表达方式，加深对充分条件，必要条件的理解. 练习2使学生熟悉四种等价说法的相互转换，为例3做准备． 在分析例(2)，的基础上得出“充要条件”的概念，使学生明确充分条件，必要条件，充要条件的关系． 培养学生思维的严密性． 引导学生用刚学过的数学语言描述初中的等价命题，培养数学语言的应用意识． 在板书例2的过程中，突出解题思路与步骤． 通过例3，将不同表达方式的转化运用到判定中，加深充分条件，必要条件，充要条件的理解． 加深对充分条件，必要条件，充要条件的理解，形成技能． 小 结 1. 前推后充分． 2. 后推前必要． 3. 互推充要． 4. 不能推，既不充分又不必要． 学生阅读教材 P21～22，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的． 梳理总结，针对学生薄弱或易错处强调总结. 作 业 教材P25，习题第1、2题． 学生课后完成． 巩固拓展． 22 21