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三角函数半角
复习重点:半角角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
复习难点:半角公式的应用
复习内容:
倍角和半角相对而言,两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式,即, 进一步得到半角公式:
降次公式在三角变换中应用得十分广泛,“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取,而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示,即:.这个公式可由二倍角公式得出,这个公式不存在符号问题,因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα,即:
,,这组公式叫做“万能”公式.
教材中只
记忆两倍角公式,其它公式并没有给出,需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.
例3.化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°
解:(1) csc10°-sec10°
(2) tan20°+cot20°-2sec50°
例4.求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°
解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°
例5.已知:.求: cos4θ+sin4θ的值.
解:∵,
∴ , 即,
即 ,∴ cos4θ+sin4θ
例6.求cos36°·cos72°的值.
解:cos36°·cos72°
例7.求:的值.
解:
上述两题求解
一致,都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的,要满足(1)余弦相乘,(2)后一个角是前一个角的两倍,(3)最大角的两倍与最小值的和(或差)是π.满足这三个条件即可采用这种方法.
例8.已知:2cosθ=1+sinθ,求.
方法一: ∵2cosθ=1+sinθ,∴
∴ 或,∴ ,
∴ ,∴ 或 =2.
方法二:∵ 2cosθ=1+sinθ, ∴ ,
∴ ,
∴ 或 ,∴ 或 =2.
例9.已知:,求:tanα的值.
解:∵,∴ ,
∵ 0≤α≤π, ∴ ,∴
(1)当时, ,
则有,∴, ∴ , ∴ ,
∴ .
(2)当,则有 ,
∴ , ∴,∴.
注意:1与sinα在一起时,1往往被看作,而1与cosα在一起时,往往应用二倍角余弦公式把1去掉.
例10.已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.
证明:∵ , ∴
∴ 4sin2α=1+2sin2β ∴ 2-4sin2α=2-1-2sin2β ∴ 2cos2α=cos2β.
课后练习:
1.若,则( ).
A、PQ B、PQ C、P=Q D、P∩Q=
2.若A为ΔABC的内角,,则cos2A=( ).
A、 B、 C、 D、
3.若,则sin2θ=( ).
A、 B、 C、 D、
4.若,则sinθ=( ).
A、 B、 C、 D、-
5.若,则=( ).
A、 B、 C、1 D、-1
6.若,则cosα=________.
7. 若θ为第二象限角,且,则=_____.
8.已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos2.
参考答案:
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6. 7. 6
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