[doc格式] 分段函数、函数的可积性与原函数存在性

[doc格式] 分段函数、函数的可积性与原函数存在性 分段函、函的可积性原函存在性数数与数 第卷第期252 年月20094 大学数学 COLIEGEMATHEMATICS VoI.25,?.2 Apr.2009 分段函数函的可积性原函存在性数与数, 积保国王延积, 延安大积算机科院学数学与学学积西延安(,716000)摘要积述了分段函在中的作用数数学并数以分段函积工具积出了[],,函的原函存在和黎曼数数 可积之积的积系有助于全面掌握原函和定积分积重要念数两个概,.积积积分段函数可积性原函数积点断[];;; 中积分积号文积积积献文章积号[]0174[]C[]1672—1454(2009)02—0200—04 在一元函积分中数学原函数不定积分和定积分念概积然积建立的背景它,(),有大的不同很但是,, 当我积建立了微积分基本定理之后就把二者积系起了来于是积多初学,.,者就积生积积积积函的原数, 函存在数积函就黎曼可积数积可积称或者函可积数积其原函就一定存数,();,在在积行的分析数学教. 材中尽数数没管也指出原函存在和函可积有必然的积系但由于材篇教,,幅和积授积的限制学积原函, 数存在性和可积性积的积系没有作一般性的积积本文以分析材数学教内,. 容积基积利用分段函积数, 函的原函存在性和可积性作一些积充积积数数以助初者弄原函帮学清数, 存在性和可积性积重要两个 概念之积的相互积系. 分段函数1 众所周知在分析中重点积积的是有泛积用的初等函数学广数积于非初等,.函的积积常出积在一数 些重要念和理积积积的积一步剖析和积积中概它构的主要积用之一就是造积, 足某些要求的反例由此, 积念或定理积行辨析积述概与分段函就是积积一积重要的函数数如狄利克,.,莱数函黎曼函数符号,, 函等就是积方面积用的典范数. 所积分段函数是指在函定积域的不同部分不是用一解析式表示数个而,,是用不同的解析式几个来 表的函达数有积可能要用无积多解析式个分段函一般定积积数积是一个,.:,区积厂在上有意积且,j 积足 厂一?一(i)j=UJ,InI,=(?);(ii)_(z)f(),.27,,i1,2,…,1”l,一i1 积积称厂上的分段函数I. 由于分析中遇的分段函数学数每个厂都是上的初等函数所以和,_I,初等函一积我积可以去积数 积积的限它极积积可微和可积等分析性积由于积积函在函定积域的不同数数,,. 部分用不同的解析式 来表示的所以积积常具有某些特的性积它独积也正是我积所积注的特积在,,.函解析表式的分界数达 点积是出积积积特性积的敏感点独因而是积积的重点通积积分界点的积积可以积,,. 积函的一些典数 型的或重要的性积. 例如积了强积函在一点积积性是函的局部性积数数在分析中积出了黎数学,, 曼函数并它积明在, 有理点积都不积积在无理点积都积积从学数而使生积函在一点积积的局部特,. 征有更强烈的印象. 收稿日期,[]20061lO2 基金积目积西省第三积高等育改革积目教教学积西省精品积程[](2005—95);积目(2006—56) 第期积保国等分段函数函的可积性原函存在性数与数2,:,2O1概括地积利用分段函可以强化分析中的一些基本念数数学概利用分,;段函可以辨析函的积积数数 性可积性可积性等之积的积系利用分段函可以造具有某些特殊性积数构,,; 的函数利用分段函可以数; 解答分析中的一些疑积积积数学. 积之分段函是一积具有特殊性积的重要函数数在分析数学乃至整高个,,(等数学中有重要积用和) 地位在中教学如果我积能充分的积用分段函的特点数引积生掌握基学.,,本念和理积正面和反概 面的意积积而准理解和掌握积些基本念和理积确概积积于提高分析数学教,, 学效果是十分重要的. 函的可积性原函存在性数与数2 函的可积性原函存在性的基本积积数与数2.1 在分析材中叫数学教积积区的函数厂的可积性一般积出如下基本积,[a,hi~- 果定理通常称(1), 积积分的充分件条可积函积数(). 定理若函数厂区在积上积积积在积区口上可积1(i)L[n,6],f[,6]; 若有界函在积数厂区上积有有限积积点个断积在上可积(ii)[n,6],f[n,6]; 若函在积数厂区上积积积在上可积(iii)[n,6],f[&,6]. 根据定积所积在某积上原函存在区数是指在积积上能到一函区找个数,,,F,使得在积积上等区 式一厂成立积原函的存在性数我积有F(z)()., 定理若函数厂区在积上积积积在积区口上原函存在数2-[n,6],f[,6].以上定理在分析材中均有积明两个数学教积里不再积述积一步积函原数,.,函的存在性数我积有, 下列事积: 定理若函数厂区在积上含有第一积积点断积厂在上不存在3(i)_[n,6],-[n,6]原函数; 若函在积数区上有无积型积点断积在厂口上不存在原函数(ii)[.,6],[,6]; 若函数在积区上存在原函数积在上的积点是第二积的断(iii),[n,6],f[n,6].积积是厂断的第一积积点且在积厂区上存在原函数积一(i).E[a,6]-,[n,6]F,F()厂(z), . 从数极而由积的限定理得37E[-a,hi. 厂二一一一厂lira_()=:liraF()F+(z.)F(0)L(zo).—— 同理 一一一一厂lim()===liraF(z)F(z0)F(0)-(o). 一zz 可积厂在积积矛盾,z.,. 积口使得一且在厂口上存在原函数于是有—(ii).E[,6]limf(x)O0,[,6]F,0 一F,(.)lim—F(x)--— 一F(xo) 一liraF,(z).., 一 0 一 一.To0 积与一矛盾故在厂上不存在原函数F(.)f(x.),[n,6]. 若厂在口上存在原函数?是的积点断由不可能是厂(iii)-[,6],.[a,6],,(i),.的第一积积点断, 从断而只能是第二积积点. 由以上的三定理可积个有三积函积积函数即数只有有限积积点的有界个断,, 函和积积函一定是数数 可积的积积函的原函一定存在数数含有第一积积点的函断数含有无积型;,,的第二积积点的函一断数 定不存在原函数. 可积函的原函存在性积积数数2.2 首先第一积可积函数即数数积积函一定存在原函定理积积原函可用数,,(1).,积上限定积分表来 示即若在口积积积一厂是在上的一原函个数.f[,hi~,F(z)l(f)dtf[n,6].其次积于第二积可积函数即个断数只有有限积点的有界函积由定理,,.3(ii), 若厂区在积口上含-[,6] 有第一积积点断积在上不存在原函数若在积厂区上含有无积型第,f[n,;Fa,6] 二积积点断积在,f 大第学数学卷20225 上不存在原函数若厂区在积上含有非无积型第二积积点断积在,6];-[a,6],f 上原函存在性数[,6] 不定积看下面的例子.. 例积一二喜积积函数厂与数的可积性原函存在性l)f:::_. 解因积一厂一故一是的第一积积点断当积积积因此lim/()I?lira-()0,0..r~-0,.,在任何包含原点的积上均不存在原函区数但在任何包含原点的积上区./ 是可积的. r.1. 例积一十积积函数厂在一的可积性原函存在性与数2_,’()Jngn,?u,-[l,1]. 一10,0,l, 解由于在一上有界且积有一第一积积点一个断和一第二积积个断/’[1,1],0 点因此厂=1, 在一上可积[1,1]. 厂在一上不存在原函数事积上假积厂在,上存在原函数积[1,1].,_[1,1]F,一但是在FJ,,F ,上存在第一积积点有界的断且只用一积积点个断从而[l,1],St”===0.在积区上可积/[“,6]. 积例积明存在含有非无积型第二积积点的可积函断数它数不存在原函同积,,;,积出了一不积积个 的函数既是可积的又存在原函数,,. 最后积于第三积可积函积积函数即数如果厂区在积积上积积且积积积自然,._[“,6],/’在积区 上存在原函数如果在积积厂区上积积但不积积那积由于积积函的积数[“,6];[n,6],, 断点是第一积的, 根据定理中的在积区上不存在原函数3(i),f[“,6]. 例如积梯型函数积积上是一分段函数在整积积积上是积积积增的个数,,()=[](),,有无积多个 跳积积点断它数不存在原函,. 原函存在的函的可积性积积数数2.3 积然若在积区上积积积在积厂区上可积若在积厂区上不积积一般积来,,[a,6],[“,6];[“,6],,即区使在积上的原函数存在厂区在积上也不一定可积[“,6]fF09,_[“,6].例积一二积积在积积区一上存在原函数但不可积例积4J():Jsi”d7..aT’?[1,1],,. 积在积区司一上存在原函数但不口积()=Jj’IL1,1,/,J. 一i0,0, 解令一”积?当积一积积又解令积?积当F()={i’?0,F()=2xsinc.s,F()=J’,()=一考又一?{cos,f0.0. 一,.F()F(0). 一一11m———————=_—liITI 一一I0Z—U0 所以是在一上一原函个数,F[I,1]. 2. In —SI11U 1.. I. n—lImsin=U, J—O. 一 L n , ???,..??? l 第期积保国等分段函数函的可积性原函存在性数与数2,:,2O3又在厂一上无界事积上积任意取一一?一[1,1].,M>O,([M]+1),.[1,1],有 一一l,(,27o)I_~_sin2mr--/2nlrcos2nzc/2不 一 2>/-fi===[M]+1>M.因此厂在一上不可积,[1,1]. 我积看一看来函数函的原函存在性可积性数数与Dirichlet,Riemann.例积一三’茎函数积在任一有限积上它区既不存在原5.cf:(Dirichlet,,.c函 数也不可积,. 解事积上任意积都是数函的非无积型积点数断由于不具有介它,Dirichlet,积性所以不存在原, 函数又知可作二不相等的积分和所以函在任一有限积数区;,,,Dirichlet上不可积. 例积一寺一互素函数积在上可积但不6R()j,,p,q,q>p’(Rim,dn),[0,1],存 以及内数的无理l0,===0,1(0,1) 在原函数. 解事积上尽管函在无理点积积数在有理点不积积它在上是,Riemann,,[0,1]可积的积明积( 但函不存在原函数数理由同函数[1]).Riemann(Dirichlet). 函和数函的主要积在于积积点的”量”数区数前者的DirichletRiemann,不积积点是不可数个而, 后者的不积积点是可数个从而积致了一不可积个另个一可积因积黎曼积分.,,.,本积上是积积函的数 积分要使函可积数它数很的积积点的量就积积多多到是一稠密集个,,,.从上面的积积可积函的可积性和原函存在数数是不同的念两个概它积互,,,不积涵积就是积可., 积函可能存在原函数既数也可能不存在原函数原函存在的函数数有,;,可能可积也可能不可积当然,. 也存在不可积既也不存在原函的函数数,. 参献考文[] 积积积范大系学数学数学分析第三版北京高等育出版教[1].()[M].: 社,2001. 刘玉积傅沛仁数学分析积积第版北京高等育出版社教[2],.()[M].:,1992. 胡平分段函在分析中的积用数数学青学海积范大[3].[J].,i995,17(4):19— 22. 积守田分段函在分析中的积用数数学教学积州积范学[4].[J]. 院,2003,24(2):60—62. 积彦宗积海积岳积积可积性原函存在性的积系与数安积积范学Is],,.EJ]. 院,2003,22(2):96—98 积永清分段函在高等中的地位和作用数数学积积范大宁F6].[J]. 学,1996,19(2):159l63. PiecewiseFunction,IntegrabilityandExistenceofPrimitiveFunctionMABao—guo,WANGYan-jun (CollegeofMathematicsandComputerScience,YananUniversity,Yanan716000,China) Abstract:Theroleofpiecewisefunctioninmathematicalanalysisisdiscussedandbyusingpiecewisefunctionthe relationshipbetweenprimitivefunctionandRiemannintegrableispresented,whichcontributestomakingthetwo importantconceptsofprimitivefunctionanddefiniteintegralmasteredcompletely. Keywords:piecewisefunction;integrability;primitivefunctipn;discontinuitypoint