地球卫星轨道的椭圆函数解

地球卫星轨道的椭圆函数解 　收稿日期 :2003 - 07 - 28 ;修回日期 :2004 - 03 - 04 　作者简介 :谢元栋 (1965 —) ,男 ,湖南宜章人 ,华南师范大学物理与电信工程学院助教 ,硕士 ,主要从事理论物理的研究. 谢元栋 ,陈 　浩 ,周海英 (华南师范大学 物理与电信工程学院 ,广东 广州　510631) 　　摘要 :分析了引力势作用下地球卫星的轨道. 结果明 ,在考虑地球扁平率后 ,地球卫星的轨道可用椭圆余弦函数表示 , 其平衡位置近似在一椭圆上. 关键词 :引力势 ;椭圆函数 中图分类号 :O 314 　　　文献标识码 :A 　　　文章编号 :100020712 (2004) 0720016202 　　文献[1 ]中推导了考虑地球扁平率后引力势的 一般表示式 ,分析了在此引力势作用下地球卫星椭 圆轨道的旋进现象. 本文应用其势能表达式 ,通过精 确求解非线性方程 ,得出地球卫星轨道的椭圆函数 表示式. 1 　考虑地球扁平率后的引力势与地球卫星 轨道运动微分方程 　　引力势为[ 1 ] V = - Gm e m r + Gm 2 r3 ( Izz - I xx ) (3γ2 - 1) (1) 其中 G 为引力常量 , m e 为地球质量 , m 为卫星质 量 , Izz与 I xx分别是地球对 z 轴和 x 轴的转动惯量 , γ是卫星与地心连线对 z 轴的方向余弦. 在平面极 坐标中 ,卫星能量积分可表示为 1 2 m ( Ûr2 + r2 θ·2 ) + V = E (2) 把式 (1)代入式 (2)得 1 r 4 d r dθ 2 = 2 E m h2 + 2 Gm e h2 r - 1 r 2 - G h2 r3 ( Izz - I xx ) (3γ2 - 1) (3) 其中 h = r2 θ · 是个常数 ,令 : A = 2 E m h2 , B = 2 Gm e h2 λ= G h2 ( Izz - I xx ) (3γ2 - 1) , r = 1 u 则式 (3)化为 d u dθ 2 = A + B u - u2 - λu3 (4) 2 　轨道微分方程的近似解 λ= 0 时 ,式 (4)变为 d u dθ 2 = A + B u - u2 其解为 u = B 2 + A + B 2 2 cos(θ+θ0 ) 即 r = 2ΠB 1 + A + B 2 B cos (θ+θ0 ) 或 r = p1 + ecos(θ+θ0 ) 这便 是 我 们 所 熟 悉 的 圆 锥 曲 线 , 其 中 e = 1 + Eh 2 2 G2 m e 2 m ,由 E 的正负即可判断轨道的性 质. 3 　轨道微分方程的精确解 λ≠0 时 ,式 (4)化为 d u dθ 2 = - λ u3 + 1λu 2 - B λu - A λ (5) 式 (5)的解为[ 2 ] u = u3 + ( u1 - u2 ) cn2 λ( u1 - u2 ) 4 θ (6) 式中 cn 为椭圆余弦函数 , u1 , u2 , u3 是三项式 A + B u - u2 - λu3 = 0 的三个实根 ,且 u1 > u3 > u2 . 由 三次方程理论可求得 : u1 = 2 3λB + 1cosα- 1 3λ u2 = 2 3λB + 1cos α+ 2π3 - 1 3λ 第 23 卷第 7 期 大 　学 　物 　理 Vol. 23 No. 7 2004 年 7 月 COLL EGE　PHYSICS J uly. 2004 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. u3 = 2 3λB + 1cos α+ 4π3 - 1 3λ 其中 cosα= A2λ- B 6λ2 - 1 9 (3λB + 1) 3 3λB + 1 为简化计算 ,可先估算一下 A , B ,λ的数量级. 以我国发射的第一颗人造地球卫星为例 ,把其轨道 近似看作椭圆 ,有 : a = 7 811. 5 km , b = 7 423. 23 km , e = 0. 124 6 m e = 6 ×1024 kg , m = 173 kg , R = 6 400 km 根据以上数据可得 : A = - 1. 815 ×10 - 3 , B = 2. 835 ×104 λ= 1. 000 4 ×104 ,α= 30. 090 171 84° 可见 ,与λ, B 相比较 , A 是个小量 ,可忽略 ,故有 : u1≈2 B3λcosα= 0. 865 237 433 4 B 3λ u2 ≈2 B3λcos(α+ 120°) = - 0. 866 811 228 4 B 3λ u3 ≈2 B3λcos (α+ 240°) = 0. 001 573 794 4 B 3λ cos 3α≈ - B6λ2 < 0 从而 u1 > u3 > u2 ,故式 (6)可化为 r = 1 2 B3λ- 2 B λsin(α+ 120°)cn 2 λB 4 sinα 1 2 θ (7) cn 的周期为 T = 2 K ( k) λB 4 sin (α+ 60°) 其中 : k2 = u1 - u3 u1 - u2 = sin (α+ 120°) sin (α+ 60°) K ( k) =∫ π 2 0 1 1 - k2 sin2φ dφ K ( k)叫做第一类完全椭圆积分 ,它的级数展开式 为 K ( k) =π2 1 + 1 2 2 k2 + 1·32·4 2 k4 + ⋯+ (2 n - 1) ! ! 2 n n ! 2 k2 n + ⋯ 对 于 我 国 第 一 颗 人 造 卫 星 有 : k = 0. 706 142 373 ,由此可得 T = 0. 022 707 102π. 卫星 运 动 一 周 变 化 次 数 为 : n = 2πT = 88. 078 169 09. 结论 :考虑地球扁平率后 ,地球卫星的轨道可用 椭圆函数表示 ,亦即卫星不在一严格椭圆轨道上运 动 ,而是以椭圆余弦函数作周期性摆动 ,其平衡位置 近似在椭圆上. 参考文献 : [1 ] 　刘汉俊 . 地球扁平率对卫星运动的影响[J ] . 大学物理 , 2000 ,19 (3) :5～7. [2 ] 　刘式适 ,刘式达 ,谭本馗. 非线性大气动力学 [ M ] . 北 京 :国防工业出版社 ,1996. 290～299. Cnoidal solution of the orbit of the satell ite XIE Yuan2dong ,CHEN Hao ,ZHOU Hai2ying (Department of Physics , South China Normal University , Guangzhou 510631 , China) 　　Abstract :Cnoidal solution of the orbit of the satellite of the earth is derived , by taking the potential energy of the gravitation field of the flat earth into account . Key words :gravitation potential energy ;cnoidal solution 第 7 期 　　　　谢元栋等 :地球卫星轨道的椭圆函数解 17　　　 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.