含30度的直角三角形检测题

含30度的直角三角形检测题 参考答案与试题解析 一(选择题(共11小题，每小题3分，共33分) ((2004•绍兴)已知?AOB=30?，点P在?AOB内部，P与P关于OB对称，P与P关于OA对称，则112 P，O，P三点所构成的三角形是( ) 12 A(直角三角形 B(钝角三角形 C( 等腰三角形 D( 等边三角形 2((2006•曲靖)如图，CD是Rt?ABC斜边AB上的高，将?BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则?A等于( ) A(25? B( 30? C( 45? D( 60? 第3题图 第5题图 第2题图 3((2010•泰安)如图，l?l，l?l，?1=42?，那么?2的度数为( ) 1234 A(48? B( 42? C( 38? D( 21? 4((2005•安徽)用两个含有30?角的完全相同的直角三角板，不能拼成下列图形的是( ) A(平行四边形 B( 矩形 C( 等腰三角形 D( 梯形 5((2004•南山区)如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30?角，如图所示，这棵树在折断前的高度是( ) A(10m B( 15m C( 5m D( 20m 6((2002•乌鲁木齐)如图，在?ABC中，?ACB=90?，CD是AB边上的高线，图中与?A互余的角有( ) A(0个 B( 1个 C( 2个 D( 3个 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 7((2011•黄石)将一个有45?角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上(另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30?角，如图，则三角板的直角边的长为( ) A(3cm B( 6cm C( cm D( cm 8((2011•贵阳)如图，?ABC中，?C=90?，AC=3，?B=30?，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( ) A(3.5 B( 4.2 C( 5.8 D( 7 9((2012•河池)如图，在?ABC中，?B=30?，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D(若ED=5，则CE的长为( ) A(10 B( 8 C( 5 D( 2.5 10((2012•贵阳)如图，在Rt?ABC中，?ACB=90?，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若?F=30?，DE=1，则EF的长是( ) A(3 B( 2 C( D( 1 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图 11((2011•丹东)如图，在Rt?ACB中，?C=90?，BE平分?ABC，ED垂直平分AB于D(若AC=9，则AE的值是( ) A(6 B( 4 C( 6 D( 4 二(填空题(共10小题，每小题4分，共40分) 12((2006•天津)如图，P、Q是?ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则?ABC的大小等于 度( 13((2006•嘉峪关)?ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则?DEF为 三角形( 14((2012•河北)如图，AB、CD相交于点O，AC?CD于点C，若?BOD=38?，则?A= ( 第14题图 第15题图 第16题图 第17题图 15((2010•烟台)将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则?1+?2= 度( 16((2010•宁夏)如图，BC?AE，垂足为C，过C作CD?AB，若?ECD=48?(则?B= 度( 17((2010•河源)Rt?ABC中，?C=90?，?A=60?，AC=2(按以下步骤作图: ?以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC、AB于点E、D ?分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧相交于点P ?连接AP交BC于点F( 那么:(1)AB的长等于 ;(直接填写答案) (2)?CAF= 度((直接填写答案)( 2 18((2007•天津)如图，?ABC中，?C=90?，?ABC=60?，BD平分?ABC，若AD=6，则CD= ( 第18题图 第19题图 第20题图 第21题图 19((2012•梅州)如图，?AOE=?BOE=15?，EF?OB，EC?OB，若EC=1，则EF= ( 20((2011•莱芜)如图，在?ABC中，AB=BC，?B=120?，AB的垂直平分线交AC于点D(若AC=6cm，则AD= cm( 21((2011•济宁)如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG?CD于点G，则= ( 三(解答题(共7小题，共47分) 22((6分)(2006•湖州)如图，在梯形ABCD中，AD?BC，AB=DC，?B=60?，DE?AB( 求证:(1)DE=DC;(2)?DEC是等边三角形( 23((6分)如图，AD?BC，BD平分?ABC，?A=120?，?C=60?，CD=4cm。 (1)求证:AB=AD; (2)求BC的长( 24((6分)(2005•临沂)如图，已知AD和BC交于点O，且?OAB和?OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F( 求证:?ACE为等边三角形( 25((6分)如图，AD为?ABC的角平分线，DE?AB于点E，DF?AC于点F，连接EF交AD于点G( (1)求证:AD垂直平分EF; (2)若?BAC=60?，猜测DG与AG间有何数量关系,请说明理由( 3 26((6分)(2009•南平)在菱形ABCD中，?B=60?，AC是对角线( (1)如图1，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF( ?求证:?ABE??ACF; ?求证:?AEF是等边三角形( (2)若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使?AEF是等边三角形,请证明你的结论(图 2备用)( 27((8分)(2007•宁德)如图，点O是等边?ABC内一点(将?BOC绕点C按逆时针方向旋转60?得?ADC， 连接OD(已知?AOB=110?( (1)求证:?COD是等边三角形; (2)当α=150?时，试判断?AOD的形状，并说明理由; (3)探究:当α为多少度时，?AOD是等腰三角形( 28((9分)(2012•遵义)如图，?ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动 (与A、C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不 与B重合)，过P作PE?AB于E，连接PQ交AB于D( (1)当?BQD=30?时，求AP的长; (2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化, 如果不变，求出线段ED的长;如果变化请说明理由( 参考答案与试题解析 一(选择题(共11小题，每小题3分，共33分) 1(D 解:根据轴对称的性质可知 OP=OP=OP，?POP=60? 1212 ??POP是等边三角形(故选D( 12 2(B 解:?ABC沿CD折叠B与E重合， 则BC=CE， ?E为AB中点，?ABC是直角三角形， ?CE=BE=AE， ??BEC是等边三角形( ??B=60?， 4 ??A=30?，故选B( 3( A( 4(D 5(B 6(C 7(B 8(D 9(A 解:?DE是线段BC的垂直平分线， ?BE=CE，?BDE=90?， ??B=30?， ?BE=2DE=2×5=10， ?CE=BE=10( 故选A( 10(B 解:连接AF， ?DF是AB的垂直平分线， ?AF=BF， ?FD?AB， ??AFD=?BFD=30?，?B=?FAB=90?,30?=60?， ??ACB=90?， ??BAC=30?，?FAC=60?,30?=30?， ?DE=1， ?AE=2DE=2， ??FAE=?AFD=30?， ?EF=AE=2， 故选B( 11(C 解:?BE平分?ABC， ??CBE=?ABE， ?ED垂直平分AB于D， ?EA=EB， ??A=?ABE， ??CBE=30?， ?BE=2EC，即AE=2EC， 而AE+EC=AC=9， ?AE=6(故选C( 二(填空题(共10小题，每小题4分，共40分) 12(30? 解:?PQ=AP=AQ，??APQ是等边三角形， ??APQ=60?， 又?AP=BP，??ABC=?BAP， ??APQ=?ABC+?BAP， ??ABC=30?(故?ABC的大小等于30?( 5 13(等边 解:??ABC为等边三角形， ??A=?B=?C=60?， 又AE=CD=BF， ?AF=BD=CE， ??EAF??FBD??DCE(ASA)， ?EF=FD=DE， 即?DEF为等边三角形( 14(52? 15(90? 16(42? 17(4;30? 解:(1)??C=90?，?A=60?，AC=2， ?AB=2AC=4( (2)根据作图，得 AD=AE，PD=PE，AP=AP， 则?AEP??ADP( ??CAF=30?( 18(3 解:??C=90?，?ABC=60?， ??A=30?， ?BD平分?ABC， ??CBD=?ABD=?A=30?， ?BD=AD=6， ?CD=BD=6×=3( 19(2 解:作EG?OA于F， ?EF?OB，??OEF=?COE=15?， ??AOE=15?， ??EFG=15?+15?=30?， ?EG=CE=1， ?EF=2×1=2( 故答案为2( 20(2 解:连接BD( ?AB=BC，?ABC=120?， ??A=?C=(180?,?ABC)=30?， ?DC=2BD， ?AB的垂直平分线是DE，?AD=BD， ?DC=2AD， ?AC=6， ?AD=×6=2， 故答案为:2( 6 21( 解:?AD=BE，?CE=BD， ?等边三角形ABC，??CAE??DCB， ??DCB=?CAE， ??AFG=?CAF+?ACF=?ACF+?DCB=60?， ?AG?CD，??FAG=30?，?FG:AF=( 三(解答题(共7小题，) 22(证明:(1)?AD?BC，DE?AB， ?四边形ABED是平行四边形，?DE=AB， ?AB=DC，?DE=DC( (2)?AD?BC，AB=DC，?B=60?， ??C=?B=60?( 又?DE=DC，??DEC是等边三角形( 23((1)证明:?AD?BC， ??ADB=?DBC((1分) ?BD平分?ABC，??ABD=?DBC( ??ABD=?ADB(?AB=AD((4分) (2)解:?AD?BC，?A=120?， ??A+?ABC=180?( 即?ABC=180?,?A=180?,120?=60?， ??ABD=?DBC=30?((6分) 又??C=60?， ??BDC是直角三角形(?BDC=90?)((7分) 又?CD=4cm，?BC=2CD=2×4=8cm((8分) 24(证明:??OAB和?OCD为等边三角形， ?CD=OD，OB=AB，?ADC=?ABO=60?( ?四边形ODEB是平行四边形， ?OD=BE，OB=DE，?CBE=?EDO( ?CD=BE，AB=DE，?ABE=?CDE( ??ABE??EDC( ?AE=CE，?AEB=?ECD( ?BE?AD， ??AEB=?EAD( ??EAD=?ECD( 在?AFE和?CFD中 又??AFE=?CFD， ??AEC=?ADC=60?( ??ACE为等边三角形( 25((1)证明:?AD为?ABC的角平分线，DE?AB，DF?AC， ?DE=DF，?AED=?AFD=90?， ??DEF=?DFE， ??AEF=?AFE， ?AE=AF ?点A、D都在EF的垂直平分线上， 7 ?AD垂直平分EF( (2)答:AG=3DG( 理由:??BAC=60?，AD平分?BAC， ??EAD=30?， ?AD=2DE，?EDA=60?， ?AD?EF，??EGD=90?， ??DEG=30? ?DE=2DG， ?AD=4DG， ?AG=3DG( 26((1)证明: ??四边形ABCD是菱形 ?AB=BC，?ACB=?ACF(2分) 又??B=60? ??ABC是等边三角形(1分) ?AB=AC，?ACB=60? ??B=?ACF(1分) ?BE=CF ??ABE??ACF;(1分) ?由?ABE??ACF ?AE=AF，?BAE=?CAF(2分) ??BAE+?CAE=60? ??CAF+?CAE=60?，即?EAF=60? ??AEF是等边三角形((2分) (2)答:存在(1分) 证明:在CD延长线上取点F，使CF=BE 与(1)?同理可证?ABE??ACF(2分) ?AE=AF，?BAE=?CAF(1分) ??CAF,?CAE=?BAE,?CAE ??EAF=?BAC=60? ??AEF是等边三角形((1分) 注:若在CD延长线上取点F，使CE=DF亦可( 27((1)证明:?CO=CD，?OCD=60?， ??COD是等边三角形;(3分) (2)解:当α=150?，即?BOC=150?时，?AOD是直角三角形((5分) ??BOC??ADC， ??ADC=?BOC=150?， 8 又??COD是等边三角形， ??ODC=60?， ??ADO=90?， 即?AOD是直角三角形;(7分) (3)解:?要使AO=AD，需?AOD=?ADO( ??AOD=360?,?AOB,?COD,α=360?,110?,60?,α=190?,α，?ADO=α,60?， ?190?,α=α,60? ?α=125?; ?要使OA=OD，需?OAD=?ADO( ??AOD=190?,α，?ADO=α,60?， ??OAD=180?,(?AOD+?ADO)=50?， ?α,60?=50? ?α=110?; ?要使OD=AD，需?OAD=?AOD( ?190?,α=50? ?α=140?( 综上所述:当α的度数为125?，或110?，或140?时，?AOD是等腰三角形((12分) 说明:第(3)小题考生答对1种得(2分)，答对2种得(4分)( 28(解:(1)??ABC是边长为6的等边三角形， ??ACB=60?， ??BQD=30?， ??QPC=90?， 设AP=x，则PC=6,x，QB=x， ?QC=QB+BC=6+x， ?在Rt?QCP中，?BQD=30?， ?PC=QC，即6,x=(6+x)，解得x=2; (2)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变(理由如下: 作QF?AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF， 又?PE?AB于E， ??DFQ=?AEP=90?， ?点P、Q速度相同， ?AP=BQ， ??ABC是等边三角形， ??A=?ABC=?FBQ=60?， ?在?APE和?BQF中， ??AEP=?BFQ=90?， ??APE=?BQF， ? ??APE??BQF， ?AE=BF，PE=QF且PE?QF， ?四边形PEQF是平行四边形， 9 ?DE=EF， ?EB+AE=BE+BF=AB， ?DE=AB， 又?等边?ABC的边长为6， ?DE=3， ?当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变( 10