高数极限练习题

高数极限练习题 精品文档 高数极限练习题 x?x0 ? 存在，? ???1???1 x?x0 ?lim x?x0 ?(? 若当x?0时，?? 2 ?1与??cosx?1是等价无穷小，则a? 1313A B C(? D(?( 2222 答 阶的是 2 当x?0时，下述无穷小中最高A x B1 ?cosx C?x n?? 2 ?1 D x?sinx 1 / 43 精品文档 n 答 n??? 求limn?ln?ln?之值( 求极限limnsin( 2 e?1?x11 求极限limln( lim3x?0n??2nxsinx x 2 2 的值?_____________ 设有数列a1?a，a2?b ，an?2?求证:limyn?lim及 liman( n?? n?? n?? an?1?an 2 设x1?a，x2?b( xn?2?记:yn? 1xn?1 ? sinx 2 / 43 精品文档 2xnxn?1xn?xn?1 ， 1 ，求limyn及limxn( n??n??xn 求极限lim x?0 ?cosx x 2 之值( 设limu?A，A?0;且limv?B x?x0 x?x0 试证明:limu x?x0 v ?A( B lim?ln?2? x?1 1 3 / 43 精品文档 A(? B(1 C(0 D(ln2 答 lim x?0 sinxx ? A(1 B(e C(e D(2 2 答 设u?1?xsin求:lim 2 12 . f?ux 及limu之值，并讨论 x?0 f?1u?1 u?1 lim f?u??1u?1 的结果( x?0 lim 4 / 43 精品文档 x?9x?x?6 x x?3 2 的值等于_____________ lim e?4e x ?x?x x?? 3e?2e ? 1 A B(2 C(1 D(不存在 3 答: lim 8 35 x?? 5 / 43 精品文档 ? A.?1 B.1 C. 12?3 20 53 D.不存在 答: lim 32 15 10 x?? ?__________ __ lim xe?e1?2x x ?x x?0 的值等于____________ 求极限lim 6 / 43 精品文档 x?3x?2x?x?x?1 3 2 求lim( ?6x? x?1 x?0 x 之值( 已知:limu??，limuv?A?0 x?x0 x?x0 问limv?,为什么, x?x0 关于极限lim 53 5 1 结论是: 54 x?0 3?ex 7 / 43 精品文档 A B 0 C D 不存在 答 设limx?xf?A，limg??，则极限式成立的是 x?x0 A.limfx?xg?00 B.lim gx?xf ?? C.limx?xfg?? D.limf x?x) ?? 答f?ex cosx，问当x???时，f是不是无穷大量( limtanx?1 x?0 arctan x ?A.0 B.不存在. C.?2 D.??2 8 / 43 精品文档 答 lim arctan x?? x ? A.0 B.? C.1 D.?2 答 lim 2x?1? x?? x2 ?3 A.2 B.?2 C.?2 D.不存在 答 设f? 31，则f?___________ 2?e x limarccot 9 / 43 精品文档 1x?0 x ?A.0 B.? C.不存在. D. ?2 答lima?cosx?0，则其 中x?0ln?x a?A. 0 B. 1 C. 2 D. ? 3 答 lim e 2x x?0 ?e?3x 的值等于__________ 1?cosx2 x ?x __ lim x?0 10 / 43 精品文档 ? A. 2 B. ?2 C.不存在. D. 0 答: 设f? px?qx?5 x?5 2 ，其中p、q为常数( 问:p、q各取何值时，limf?1; x?? p、q各取何值时，limf?0; x?? p、q各取何值时，limf?1( x?5 求极限lim x?? ? 2 2 ? 4 ( 求极限lim 11 / 43 精品文档 3 232 x?? ( 已知lim x?3?A?B?c 2 ? 2 ? x?1 ?0 试确定A、B、C之值( 已知f?试确定常数 ax 3 ?bx 2 2 ?cx?d 12 / 43 精品文档 x?x?2a，b，c，d之值( ，满足limf?1，limf?0( x?? x?1 已知lim x?b3x?1? x?3 x?x0 x?1 ?4，试确定a，b之值( 1 ??:上述说法是否正确,? 为什么, :若lim??0，则lim x?x0 当x?x0时，f是无穷大，且limg?A， x?x0 证明:当x?x0时，f?g也为无穷大( 用无穷大定义证明:用无穷大定义证明: lim x?1 2x?1 13 / 43 精品文档 ???( 用无穷大定义证明: x?1 tanx??? 用无穷大定义证明: 3 x?0 lim?lnx???( lim x? ? ?02 x?1?0 lim 1x?1 ???( 用无穷大定义证明: 用无穷大定义证明: x??? lim???( limlog x??? a x??? ( 14 / 43 精品文档 若当x?x0时，?、?都是无穷小， 则当x?x0时，下列示式哪一个不一定是无穷小. ?? ??? ln?1????? 2 2 ?? 2 答 :当x?x0，?是无穷小量:是:当x?x0时，是无穷小量:的充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件 既非充分条件，亦非必要条件 答 :当x?x0时，f?A是无穷小:是:limf?A:的: x?x0 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件 既非充分条件，亦非必要条件 答 若limf?0，limg?0，但g?0( x?x0 x?x0 证明:lim lim 15 / 43 精品文档 fg x?x0 ?b的充分必要条件是 ?0( n f?b?g g x?x0 用数列极限的定义证明 用数列极限的定义证明 :lima n?? ?0，( ?1 ( :lima n?? 1 n 用数列极限的定义证明lim 1?cos2ln 2 :lim n2n?5 16 / 43 精品文档 2 n?? ? 1 ( x?0 的值等于__________ _ 求极限lim ? x sinx3 ?1 ?之值( x?0 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 x?x0 若A?0，则有??0，使得当0?|x?x0|??时，f?0; 若 有??0,使得当0?|x?x0|??时，f?0,则A?0。 2. 限是否存在在: 17 / 43 精品文档 lim f?A， a的 数列?xn? fx?? lim x?x0 lim f? 单调有界准则 柯西收必要条件是: ???0,?1.2.洛必达、g,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: 0? ”“”时候直接用 0? “0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 “ ?项之后，就能变成中的形式了。即fg?f或fg?g;gf f?g?11gffg 1 1 18 / 43 精品文档 “0”“1”“?”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0??”型未定式。 0?0 fg?e glnf ， 3.泰勒公式! x x3x5x2m?1cos?x2m?3m sinx?x??????m?1x 3!5!!! 2mx2x4cos?x2m?2mx cos=1? ?????m?1x2!4!!!n x2x3xn?1n?1xn 4.5.6.1)设a?b?c?0， xn?n?? n?? xn?a n?? ?? 求lim?12?12???12? ?n???n 19 / 43 精品文档 解:由0?1?2 n111111 ????2?2???2?，以及22 nnnn lim0?lim n?? n?? 1 ?0可知，原式=0 n ?1 求lim???2 n???n?1 解 : 由 1n2?2 ??? ? ? ?2 n?n?1 , 以 20 / 43 精品文档 及 111111111n????1??????????nnnn?2n2?1n2?nn2?nn2?nn2?n n2?n 1n 7.数列极限中等比等差数列公式应用。例如: n?? n?? lim1?lim nn?n 2 ?lim n?? 1? ?1得，原式=1 求 lim?1?2x?3x n?? 2 ???nxn?1 。提示:先利用错位相减得方法对括号内 的式子求和。 ? 21 / 43 精品文档 8.数列极限中各项的拆分相加。例如: =lim??1?2?2?3???n??lim?1?2?2?3???? ??? n?? ?111??111 n?? ???lim?1??1 ??n?1)?n???n?1)?? 9.利用xx与xn?1极限相同求极限。例如: 已知 a1?2,an?1?2?1，且已知an存在，求该极限值。 limA=1+2?m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上 就是暗示一定要用导数定义) 例:设 f?0,f存在，求lim n?? ‘ ??1?? fa????n?? ??? fa????n 解:原式= lim 22 / 43 精品文档 n?? = limn?? 第二章 导数与微分 典型例题分析 客观题 例 1 设f在点x0可导,a,b为常数,则lim f?f ?x ab ?x?0 ? f? Aabf? Bf?Cf?D 答案 C解 f?flim??x?0?x [f?f]?[f?f] ?lim? ?x?0?x f?ff?f ?blim?alim ?x?0?x?0b?xa?x ?f? 23 / 43 精品文档 例2设f在x?a的某个邻域内有定义,则f在x?a处 可导的一个充分条件是 1????f?f limh?f?a???f?存在 lim存在 h?0h???hh???? lim f?f 2h h?0 存在 lim f?f h 存在 h?0 答案 D 解题思路 对于答案，不妨设 1h ??x，当h???时，?x?0，则有 ? 1?f?f??? limh?f?a???f??lim存在，这只表明f在x?a处 24 / 43 精品文档 h????x?0h??x??? 右导数存在,它并不是可导的充分条件,故不对. ? 对于答案与,因所给极限式子中不含点a处的函数值f，因此与导数概念不相符和.例如，若取 ?1,x?a f?? 0,x?a? 则与两个极限均存在，其值为零，但limf?0?f?1，从而f在 x?a x?a处不连续，因而不可导，这就说明与成立并不能保证f?存在，从而 与也不对. 记?x??h,则?x?0与h?0是等价的,于是 lim f?f h h?0 ??lim f?f h 25 / 43 精品文档 h?0 ?lim f?f ?h h?0 ?x 所以条件D是f?存在的一个充分必要条件. 例3设f?0,则f在点x?0可导的充要条件为 ?x?0 ?lim f?f ?f? lim 1h1h 2 h?0 f存在lim 1h1h h?0 f存在 h lim 26 / 43 精品文档 h?0 2 f存在lim h?0 ?f?f?存在 答案 B解题思路 当h?0时, 1?coshh h?0 2 lim f h 2 h?0 ?lim 2 f?f h 2 ? 1 .所以如果f?存在,则必有 27 / 43 精品文档 ?lim f?f 1?cosh h?0 ?lim 1?coshh 2 h?0 若记u?1?cosh,当h?0时,u?0,所以 f?ff?flim?lim?f? h?0h?01?coshu于是 ? lim f h 2 h?0 ? 12 f? 1h 2 这就是说由f?存在能推出lim 28 / 43 精品文档 h?0 f存在. ? h0,而不是u?0,因此 但是由于当h?0时,恒有 u?1?cos? 1f?f f???limlim2f存在只能推出存在,而不能推出f? h?0hx?0x存在. ? 当h?0时, 1?e??h?o,于是 h lim f h h h?0 ?lim f)?f h h?0 ??lim f)?f 29 / 43 精品文档 ?h?o h?0 由于当h?0时, ?h?o既能取正值,又能取负值,所以极 限 lim f)?f ?h?o h?0 存在与lim f?f h h?0 ?f?存在是互相等价的.因而 极限lim 1h h?0 h f存在与f?存在互相等价. 当h?0时, 用洛比塔法则可以证明lim lim f h 30 / 43 精品文档 2 h?0 ,所以h f?fh?sinh ?lim?lim?hh?0h?0h?sinhh h?0 3 h?sinh ? 1 由于h?0,于是由极限lim f?f h?sinh h?0 ?lim h?sinhh 3 h?0 ?h存在未必推出 h?sinh f在点x?0可导一定有存在,但存在不一定f在点x?0 可导. 31 / 43 精品文档 h?0 lim f?f 也存在,因而f?未必存在. 例 函数f?|x?x|有个不可导点 01 3 答案 C 解题思路当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点x0?0,x1?1,x2??1考察导数的存在性. 解 将f写成分段函数: 23 ???2 ?x,?x?2)x,?x?2)x,?x?2)x, 2 22 2 x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x. 在x0?0附近,f写成分段函数: 22 ?x,x?0?23 f?|x?x|?? 32 / 43 精品文档 22 ??x,x?0 容易得到 f?f22 ?f??lim?lim?2 ?? x?0x?0x f?f22 f???lim?lim??2 ?? x?0x?0x 由于f???f??,所以f?不存在. 在x1?1附近,f写成分段函数: 2 ?x,x?1?23 f?|x?x|?? 2 ??x,x?1 f?f2 ?f??lim?limx??4 ?? x?1x?1x?1 33 / 43 精品文档 f?f2 f???lim?limx??4 ?? x?1x?1x?1 由于f???f??,所以f?不存在. 在x2??1附近,f写成分段函数: 2 ?x,x??1?23 f?|x?x|?? 2 ??x,x??1 f???lim f?f ? x??1 x?0x?1 由于f???f???0,所以f?存在. x??1 ? ? f???lim x?1 34 / 43 精品文档 f?f ??lim x??1 ? x?0 ?limx?0 综合上述分析,f有两个不可导的点. 例 设f具有一阶连续导数,F?f?,则f?0是 F在x?0处可导的 必要但非充分条件充分但非必要条件 充分且必要条件 既非充分也非必要条件 答案 C 分析 从F在x?0的导数定义着手.将 F?f??f?f?|sinx| 解 F?Ff?ff|sinx|?f|sin0| ?lim?limF???lim x?0x?0x?0x?0x?0x?0 ?f??f f?ff|sinx|?f|sin0|F?F ?lim?limF???lim ??? x?0x?0x?0x?0x?0x?0 ?f??f 35 / 43 精品文档 于是推知F???F??的充分必要条件是f?0. ? ? ? 例 设函数f?3x?x|x|,则使f 32 存在的最高阶数 n?. 0 1 3 答案 C 解题思路 应先去掉f中的绝对值,将f改写为分段函 数 ?2x3 f?3x?x|x|??3 ?4x 3 2 x?0x?0x?0x?0 ?2x3 解 由f?3x?x|x|??3 ?4x 3 36 / 43 精品文档 2 ?6x2 得f???2 ?12x x?0x?0 ?12x 且f???? ?24x 又 f???lim x?0 ? ?12 f?????x?0?24 x?0x?0x?0 f?f x?0 ?lim x?0 2x?0 ? 3 37 / 43 精品文档 x?0 ?0, f???lim f?f ? x?0 x?0 ?lim x?0 4x?0 ? 3 x?0 2 ?0 所以f?存在. f????lim f??f? ? x?0 x?0 ? 38 / 43 精品文档 ?lim x?0 6x?0 ? x?012x ? ?0 ?0 ?0 f????lim f??f? x?0 2 ?lim x?0 x?0 x?0 所以f??存在. f?????lim f???f?? ? x?0 x?0 39 / 43 精品文档 ? ?lim x?0 12x?0 ? x?0 ? ?12 x?0 即f?????f????.因而使f x?0 f?????lim f???f?? ?24 x?0 存在的最高阶数是2. x?0 ?lim 24x?0 例f?cos|x|?x2|x|存在的最高阶导数的阶数等于 A 0B 1C D 答案 C 40 / 43 精品文档 2 解题思路 注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在点 x?0的情况. 例8设??0,f在区间内有定义，若当x?时，恒有 f?x，则x?0必是f的 间断点， 连续而不可导的点，， 可导的点，且 2 f’?0 可导的点，且f’?0 答案 C 解 由题目条件易知f?0,因为 | 所以由夹逼定理 f?f x |?| fxfx |?| x 2 x | 2 41 / 43 精品文档 lim| x?0 f?f x |?lim| x?0 |?lim| x?0 x x |?0 于是f??0. ?1?e?x?,x?0,则f?为 例设f??x?0,x?0.?1 0 1 ?1 2 答案 解题思路 因f为分段函数,故它在分段点处的导数 应按导数的定义， 又由于是未定式,可用洛必达法则求极限. 2 00 型 42 / 43 精品文档 43 / 43