半角公式

半角公式 倍角和半角公式 田云江 [基本要求] 掌握倍、半角公式，并能熟练地正用、逆用和变用。 [知识要点] 1、二倍角公式 在S，C，T中含α=β得到: α+βα+βα+β S: sin2α=2sinαcosα 2α 2222 C: cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα 2α T: tg2α= 2α 说明:?在运用二倍角公式时，要注意不仅限于2α是α的二倍的形式，还有如4α是2α的二倍，3α是的二倍，α+β是的二倍等。 ?由二倍角公式可以推出如下变形公式:(1)降幂公式: 22sinαcosα=,sinα=,cosα=,如需讨论函数性质如求函数的值域、最值、单调区间，周期、画图等，一般利用降幂公式化函数为y=Asin(ωx+φ)+B或Acos(ωx+φ)+B形式， 2,2(2)升幂化积公式:1+cosα=2cos1-cosα=2sin如遇开方，用此公式较方便，(3)cosα=,如求coscos的值，求cos20?cos40?cos60?的值等用此公式就非常简便。 33 2、三倍角公式: sin3α=3sinα-3sinα, cos3α=4cosα-3cosα 3、半角公式: : sin=? : cos=? : tg=? , :tg== 对于半角公式，必须明确，“半角”是相对而言，不能认为才是半角如2α是4α的半角，α是3α的半角，反之，5α分别是，的倍角，因此二倍角公式与半角公式是互逆的。 对于半角公式中根号前的双重符号，它取决于所在的象限，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负号;若α属于某一给定区间，则先求出的所在范围，然后根据所在范围选用符号。 因无“土”号和根式 ?在化简中更常用 4、万能公式 sinα= cosα= tgα= 说明:?从左到右，α范围变小 ?右端周期均为2π 5、合一变形 ?asinx+bcosx=(sinx+cosx) =(sinxcosφ+cosxsinφ) =sin(x+φ) sinφ= 其中 φ由 确定或由tgφ=及点(a,b)所在象限(即角φ所在象限)确定 cosφ= ?asinx+bcosx=(sinx+cosx) =(sinxsinφ+cosxcosφ) =cos(x-φ) sinφ= 其中φ{ 由 确定或由tgφ=及点(b,a)所在象限(即角φ所在象限)确定 cosφ= [例题选讲] 44 1、已知α是第三象限的角，sinα+cosα=,求sni2α,cos2α,tg2α的值 解:?(2k+1)π,α,2kπ+ (k?z) ?4kπ+2π,2α,4kπ+3π (k?z) 4422222 又?sinα+cosα=(sinα+cosα)-2sinαcosα 22 ?1-sin2α= ?sin2α= ?sin2α= ?cos2α= ?tg2α= 2、求sin10?sin50?sin70?的值 解:sin10?sin50?sin70?=cos20?cos40?cos80?=cos40?cos80?= cos80?== 44 3、求函数y=cosx-sinx的最小正周期 442222 解:y=cosx-sinx=(cosx+sinx)(cosx-sinx)=cos2x ?周期T=π 4、求值 ?已知sin-cos=-,450?,θ,540? 求tg的值 ?已知7cos2α+5sin2α=5 求tgα的值 ?已知= 求cosθ的值 ?已知=-5 求3cos2θ+4sin2θ的值 解?:?sin-cos=- 两边平方 ?1-2sincos= ?sinθ= ?450?,θ,540? ?cosθ=- =- ?tg== 又112.5?,,135? ?tg== 又tg,0 ?tg= ?由万能公式及已知有 7×+5×=5 22 即7-7tgα+10tgα=5+5tgα 2 即6tgα-5tgα-1=0 ?tgα=-或1 ?ctg===== (等比定理) ?tg=2 ?cosθ==- ?解由万能公式: 3cos2θ+4sin2θ=+ 又==-5 ?tgθ=2 ?3cos2θ+sin2θ== 222 5、若tgα=2tgβ+1 求证 cos2α+sinβ=0 22 证明:?tgα=2tgβ+1 22 ?1+tgα=2(1+tgβ) 22 ?secα=2secβ ?= 22 ?cosβ=2cosα 22 ?1-cosβ=1-2cosα 2 ?sinβ=-cos2α 2 ?cos2α+sinβ=0 [自我检测] 1、如果函数y=sinωxcosωx的最小正周期是4π,那么正实数ω的值等于( ) A、4 B、2 C、 D、 2、的值是( ) A、sin2 B、-cos2 C、cos2 D、-cos2 3、已知sin= cos=-则角α在第( )象限 A、一 B、二 C、三 D、四 4、若,α,2π则等于( ) A、cos B、-sin C、-cos D、sin 5、化简得( ) A、tg2α B、ctg2α C、tgα D、ctgα 6、如果|cosθ|=,,θ,3π ，则sin的值( ) A、- B、 C、- D、 7、X?[，π]且sinxcosx=-，则tg等于( ) A、1+ B、-1 C、1? D、-1 8、化简得( ) A、ctg B、ctg(-) C、tg D、tg(-) 9、已知2sinθ=1+cosθ则ctg的值为( ) A、2 B、 C、或0 D、2或0 10、已知sin(θ-)= 则等于( ) A、 B、? C、 D、? [参考答案] 1、D 2、D 3、C 4、C 5、B 6、C 7、A 8、B 9、D 10、B 来自: 中基网>>教学参考 www.cbe21.com