每日一题

每日一题 (9.2) 1.用反证法:等腰三角形的底角是锐角( 2.用反证法证明: 22关于x的方程x,5x，m,0与2x，x，6,m,0至少有一个方程有实数根( (9.3)在 ?ABC中，AB,AC,2，?A,90?，取一块等腰直角三角板，将直角顶点放在斜边BC的中点O处，一直角边经过点A，如图(1)，三角板绕O点顺时针方向旋转，使两直角边与Rt?ABC的两边AB、AC分别相交于点E、F，如图2)，设BE,x，CF,y( ( (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围; (2)若将三角板45度角的顶点放在斜边BC的中点O处，一直角边经过点A，如图(3)，三角板绕O点顺时针方向旋转，如图(4)，其他条件不变。试写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围; (3)在三角板绕点O旋转过程中，?OEF能否成为等腰三角形,若能，求出?OEF为等腰三角形时，x的值,若不能，请说明理由, (9.4)如图，在直角梯形ABCD中，AD?BC，?ABC=90?(点E为底AD上一点，将?ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F( (1)点E可以是AD的中点吗,为什么, (2)求证:?ABG??BFE; (3)设AD=a，AB=b，BC=c. ?当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系; ?在?的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求?C的度数( 9.5)如图?，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边( AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP( (1)如图?，若M为AD边的中点， ??AEM的周长=_____cm; ?求证:EP=AE+DP; (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，?PDM的周长是否发生变化?请说明理由( (9.6)如图，过A(8，0)、B(0，)两点的直线与直线y,x交于 点(平行于轴的直线从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向CylOx右平移，到C点时停止(l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边三角形DEF，设?DEF与?BCO重叠部分的面积为S(平方单位)，直线l的运动时间为t(秒)( (1)直接写出C点坐标和t的取值范围( (2)求与的函数关系式( St (3)设直线与轴交于点，是否存在这样的点，使得以、、为顶点lxPPPOF 的坐标;若不存在，请说明的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 理由( 23(9.9)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=,点P是边BC上的动点(点P不与点B、C重合)，过点P作直线PQ?BD,交CD边于Q点，再把?PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点。设CP=x, ?PQR与矩形ABCD重叠部分的 面积为y. (1)求?CPQ的度数. (2)当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上, (3)当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式. Q Q D C C D P A P A E F B A R B R 图(2) 图(1) (9.10)将一副三角尺如图拼接:含30?角的三角尺(?ABC)的长直角边与 23含45?角的三角尺(?ACD)的斜边恰好重合(已知AB,，P是AC上的一个动点( (1)当点P运动到?ABC的 平分线上时，连接DP，求DP 的长; (2)当点在运动过程中出 P 现PD,BC时，求此时?PDA的 度数; (3)当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上,求出此时?DPBQ的面积( D C (9.11)在?ABC中，?C,90?，AC,3，BC,4，CD是斜边AB上的高，点E 在斜边AB上，过点E作 直线与?ABC的直角边相交于点F，设AE,x，?AEF的面积为y( (1)求线段AD的长; 2)若EF?AB，当点E在线段AB上移动时，求y与x的函数关系式(写出自( 变量x的取值范围) (3)若F在直角边AC上(点F与A、C两点均不重合)，点E在斜边AB上移动，试问:是否存在直线EF将?ABC的周长和面积同时平分,若存在直线EF，求出x的值;若不存在直线EF，请说明理由( C A D B (9.12)如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ.设AP=x. (1)当PQ?AD时，求x的值. (2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围. (3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设?EPQ 的面积为S，求S关于x的函数关系式. (9.13)(1)如图1，在正方 形ABCD中，M是BC边(不含 端点B、C)上任意一点，P是 BC延长线上一点，N是?DCP 的平分线上一点( 若?AMN=90?，求证:AM=MN( 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明( 证明:在边AB上截取AE=MC，连ME((下面请你完成余下的证明过程) A N DA NE PBBPCMMC图2 图1 (2)若将(1)中的“正方形”改为“正三角形”(如图2)，N是?ACPABCDABC 的平分线上一点，则当?AMN,60?时，结论AM=MN是否还成立,请说明理由( (3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD„„X”，请你作出猜想:当?AMN, ?时，结论AM,MN仍然成立((直接写出，不需要证明) (9.16)如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G. ?如果M为CD边的中点. 求证:DE?DM?EM,3?4?5; ?如果M为CD边上的任意一 点，设AB,2a，问ΔCMG的周 长是否与点M的位置关系,若 有关，请把ΔCMG的周长用含 DM的长x的代数式示;若无 关，请说明理由. 9.17)如图，在?ABC中，?C=90?，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm(动( 、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移点P 5 动;点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动(过P作PE?CB交AD于点E，设4 动点的运动时间为x秒( (1)用含 x的代数式表示EP; (2)当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形; (3)当Q在线段BD(不包括点B、点D)上运动时，求四边形EPDQ面积S与x的函数关系式( (9.18)已知?ABC=90?，AB=2，BC=3，AD?BC，P为线段BD上的动点，点Q PQAD ,在射线AB上，且满足(如图1所示)( PCAB (1)当AD=2，且点Q与点B重合时(如图2所示)，求线段PC的长; 3 AD,(2)在图1中，连接AP(当，且点Q在线段AB上时，设点B、Q2 S?APQ ,ySS?APQ之间的距离为x，，其中表示?APQ的面积，?PBCS?PBC ?PBC表示的面积，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围. ADAB,(3)当，且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示)，求，QPC的大小( D A A D D A P P P Q B C C B C (Q) B 图1 图2 图3 ) Q (9.22)如图，在矩形ABCD中， AC=10，且AB、BC(AB,BC)的长是关于x的 2方程x+2(1-m)x+6m=0的两个根( (1)求m的值; (2)若E是AB上的一点，CF?DE于F，当BE为何值时，?CEF的面积是?CED 1 的面积的. 3 2329.23)设α、β是方程x+x-3=0的两根，求α-4β+19的值( ( 2(9.24)若关于x的一元二次方程3x+3(a+b)x+4ab=0的两个实数根满足x1 2(x+1)+x(x+1)=(x+1)(x+1)，求证:(a+b)?4. 12212 (9.25)如图,，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60?( ?求AO与BO的长; ?若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. ?如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米; ?如图,，当A点下滑到A'点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点(若?POP’,15?，试求AA’的长( (9.26) 如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC?OA，OA=7，AB=4， ? COA=60?，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合(连接CP，过点P作PD交AB于点D( (1)求点B的坐标; (2)当点P运动什么位置时，?OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标; 5BD (3)当点P运动什么位置时，使得?CPD=?OAB，且=，求这时点P8AB 的坐标. D 22(9.27)m为何值时，关于x的方程x，mx,3,0与下x,4x,(m,1),0有一个公共根,并求出这个公共根. (9.29)如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D(若CD,CF，则 ( (写出求解过程) (9.30—10.7) 2x,x,,1y,4x ,,1. 已知关于x，y的方程组 有两个实数解为和yy,y,2x，a1,, ,xx,112b,，,.且xx?0，x?x，设 1212y,yxx2,12 (1)求a的取值范围; (2)试用关于a的代数式表示出b; (3)是否存在b=3的a的值,若存在，就求出所有这样的a的值;若不存在，请说明理由( 222. 设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x+ax+1=0和x+bx+c=0有一个相 22同的实数根，并且使方程x+x+a=0和x+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值( (10.8)《长江》64页15题.(不抄题，画图做在本上). (10.9)在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连接DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN?DF于H，交AD于N( (1)如图1，当点M与点C重合，求证:DF=MN; (2)如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同 时从 点A 出 发， 以 2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t(t,0); ?判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由( ?连接FM、FN，?MNF能否为等腰三角形,若能，请写出a，t之间的关系;若不能，请说明理由( (10.14)某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下:如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合(三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q( (1)求证:DP=DQ; 2)如图2，小明在图1的基础上作?PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，( 他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明; (3)如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作?PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB:AP=3:4，请帮小明算出?DEP的面积( (10.15)如图1，?ABC为等腰直角三角形，?ACB=90?，F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合)，以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD( (1)?猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论; ?将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 α，得到如图2、图3的情形(图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断?中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断( (2)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，?ACB=90?，正方 4 形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点3 22H，AD于点O，连接BD、AF，求BD+AF的值( (10.16)如图1，在梯形ABCD中，AB?CD，?B=90?，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE?PA交CD所在直线于E(设BP=x，CE=y( (1)求y与x的函数关系式; (2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围; (3)如图2，若m=4，将?PEC沿PE翻折至?PEG位置， ?BAG=90?，求BP长( (10.17)在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF?AC于F，G为线段AE AB 的中点，连接BF、FG、GB(设=k( BC (1)证明:?BGF是等腰三角形; (2)当k为何值时，?BGF是等边三角形, (3)我们知道:在一个三角形中，等边所对的角相等;反过来，等角所对的边也相等(事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大;反之也成立( 利用上述结论，探究:当?BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围( (10.18)如图(1)，在Rt?ABC，?ACB=90?，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连接AD、CF，AD与CF交于点M( (1)求证:?ABD??FBC; (2)如图(2)，已知AD=6，求四边形AFDC的面积; 222(3)在?ABC中，设BC=，AC=，AB=，当?ACB?90?时，c?a+b(在任意abc 222?ABC中，c=a+b+k(就a=3，b=2的情形，探究k的取值范围( (10.21)如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作?APC和?BPD，使PC=PA，PD=PB，?APC=?BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H( (1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由; 2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在?APB的外部作?APC和?BPD，其( 他条件不变，(1)中的结论还成立吗,说明理由; (3)如果(2)中，?APC=?BPD=90?，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由( (10.22)在平行四边形ABCD中，?BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG( (1)如图1，证明平行四边形ECFG为菱形; (2)如图2，若?ABC=90?，M是EF的中点，求?BDM的度数; (3)如图3，若?ABC=120?，请求出?BDG的度数( (10.23)如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(,2，-1)，且P(-1，,2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴， 垂直于轴，垂足分别是、( QByAB (1)写出正比例函数和反比例函数的关系式; (2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得?OBQ与?OAP面积相等,如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由; (3)如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形，求平行四边形周长的最小值( OPCQOPCQ 2yhx = ，，x 2yfx = ，，x Q B QB AO AOx x MMC PP (10.24)如图，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴 上，顶点B的坐标为(4，2)(过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB， BC交于点M，N( (1)求直线DE的解析式和点M的坐标; m y, (2)若反比例函数(x,0)的图象经过点M，求该反比例函数的解析x 式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上; k y, (3)若反比例函数(x,0)的图象与?MNB有公共点，请直接写出k((x 的取值范围( y D M B A N x O C E k2 (10.25)如图，直线y=kx+6与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(1,6)，1x B(a,3)两点. (1)求k、k的值; 12 k2 (2)直接写出kx +6一 >0时的取值范围; 1x (3)如图，等腰梯形OBCD中，BC?OD,OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE?OD于E，CE和反比例函数的图象交于点P.当梯形OBCD的面积为l2时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由. k y,(10.28)已知:如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数的图象交x于点A(3,2). (1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式; (2)根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值, (3)M(m,n)是反比例函数图象上的一动点，其中0,m,3,过点M作直线MN?x轴，交y轴于点B;过点A作直线AC?y轴交x轴于点C，交直线MB于点D(当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由( y M B D (10.29)“三等分角”是数学史上一个 A 著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角” . x Oo C 下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种 “三等分锐角“的方法(如图)，将锐角? AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、 1 y, 的图象交于点P，以P为 边OA与函数x 圆心，以2OP为半径作弧交图象于点R.分 别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直 线相交于点M，连接OM得到得到?MOB， 1 ，,，MOBAOB则.要明白帕普斯的方法，请 3 你研究以下问题: 11Rb(,)Pa(,)(1)设、，求直线OM相对应的 ba 函数解析式(用含a,b的代数式表示). (2)分别过P和R作y轴和x轴的平行线， 两直线相交于点Q，请说明Q点在直线OM 1 ，,，MOBAOB上，据此证明. 3 (3)应用上述方法得到结论，你如何三等分一个钝角(用文字简要说明). (10.30)某小型开关厂今年准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益(通过测算:今年开关的年产量y(万只)与投入的改造经费x(万元)之间满足3-y与x+1成反比例，且当改造经费投入1万元时，今年的年产量是2万只( (1) 求年产量(万只)与改造经费(万元)之间的函数解析式( yx (2) 已知每生产1万只开关所需要的材料费 是8万元(除材料费外，今年在生产中，全年还需支付出2万元的固定费用( ?求平均每只开关所需的生产费用为多少元((用含y的代数式表示)(生产费用=固定费用+材料费) ?如果将每只开关的销售价定位“平均每只开关的生产费用的1.5倍”与“平均每只开关所占改造费用的一半”之和，那么今年生产的开关正好销完(问今年需投入多少改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元,(销售利润=销售收入,生产费用,改造费用) (10.31)如图，一次函数y,kx，b的图象经过第一、三、四象限，且与反比 m y,例函数的图象交于点A、B，与x轴、y轴分别交于点C和点D，且点Ax 2OA,26的纵坐标值与横坐标值之比为1:5，，?AOD的面积为b,6.求: (1)反比例函数的解析式; (2)一次函数的解析式; (3)在x轴正半轴上是否存在点E，使?DCE与?ODB相似,若存在，试求出E 点的坐标;若不存在，请说明理由. (11.1)如图，ON为?AOB中的一条射线，点P在边OA上，PH?OB于H，交ON于点Q，PM?OB交ON于点M，MD?OB于点D，QR?OB交MD于点R，连接PR交QM于点S( (1)求证:四边形PQRM为矩形; 1 (2)若OP= PR，试探究?AOB与?BON的数量关系，并说明理由( 2 (11.6)如图1，已知直 1 y,,x，m线与反比2 k y,例函数的图象在第一象限内交于A、B两点(点A在点B的左侧)，分x 别与x、y轴交于点C、D，AE?x轴于E( (1)若OE?CE=12，求k的值( (2)如图2，作BF?y轴于F，求证:EF?CD( 525(3)在(1)(2)的条件下，EF= ，AB=，P是x轴正半轴上的一点，且?PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标( k y,(11.7)(1)如图1，点M，N在反比例函数(k,0)的图象上，过x 点M作ME?y轴，过点N作NF?x轴，垂足分别为E，F(试证明:MN?EF( (2)若(1)中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图2所示，请判断MN与EF是否平行( k y,(11.8)如图1，点D在反比例函 (k,0)的图象上，?ODC是以CO为x 斜边的等腰直角三角形，且C (4，0)( (1)求k的值; k y,(2)将线段DC平移至线段DC，D在x轴的负半轴上，C在双曲线上，1111x求点D的坐标; 1 k y,(3)如图2，双曲线 的图象上有两个动点A(a，m)，B(3a，b)，x (a,0)，求S的值( ?OAB (11.11)如图，直线y,,x，1与x轴交于点A，与y轴交于点B，P(a，b) 1 y, 为双曲线(x,0)上的一点，PM?x轴于M，交AB于E，PN?y轴于N，2x ( 交AB于F (1)用含a，b的代数式表示E、F两点的坐标及?EOF的面积; (2)?EOF与?BOE是否相似,如果相似，请证明;如果不相似，请说明理由; (3)无论点P在双曲线第一象限部分上怎样移动，证明?EOF是一个定值( k y,(11.12)如图1所示，点A为双曲线 (x,0)上一点，过点A作AD?x y轴于D点，连接AO( (1)若?ADO的面积为3，求反比例函数的解析式; (2)如图2所示，在(1)的条件下，以A为直角顶点作等腰Rt?ABC，其中点 22B在x轴的负半轴，点C在x轴的正半轴，求OC-OB的值; 3)如图3所示，在(1)的条件下，若B点的坐标为B(,1，0)，双曲线上( 是否存在一点P，连接AO、PO，使得?AOP,45?,若存在，求出P点的坐标;若不存在，请说明理由( k y,,11.13,如图1～直线y,,x，4交x轴于点B～交y轴于点C～交双曲线 x(x,0)于点N～连ON～且S,10( ?OBN ,1,求双曲线的解析式, ,2,如图2～平移直线BC交双曲线于点P～交直线y,,2于点Q～?PCB,?QBC～PC,QB求平移后的直线PQ的解析式, ,3,如图3～已知A,2～0,点M为双曲线上一点～CE?OM于M～AF?OM于F～ 2 设梯形CEFA的面积为S～且AF?EF,S～求点M的坐标( 3 C (11.14)1、在?ABC中，AC,3，BC=4，AB=5，tanB= . 2、如图，在Rt?ABC中，?ACB=90?，CD?AB于D，若BD:AD=1:4，求tan?BCD的值. 33、在Rt?ABC中，?ACB=90?，AB=10，tanA=,求Rt?ABC的周长. 4 4、如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D,处，求tan?BAD,. 5、如图，在Rt?ABC中，?ACB=90?，?Acosβ 5、如图,分别求?α,?β的正弦,余弦,和正切. 6、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB, 4 ?ADB=90?,cos?ABD=.求:s:s ?ABD?BCD5 C D AB 07.已知，如图:?ABC是等腰直角三角形，?ABC,90，AB,10，D为?ABC外 一点，边结AD、BD，过D作DH?AB，垂足为H，交AC于E。 (1)若?ABD是等边三角形，求DE的长; 3 tan，HDB,(2)若BD,AB，且，求DE的长。 4 )，已知正方形在直线的上方，在直线上，是上8.如图(1ABCDMNBCMNEBC题图 一点，以为边在直线的上方作正方形( AEMNAEFG (1)连接GD，求证:?ADG??ABE; (2)连接FC，观察并猜测?FCN的度数，并说明理由; (3)如图(2)，将图(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b(a、b为常数)，是线段上一动点(不含端点、)，以为边在直线的上方EBCBCAEMN作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上(判断当点E由B向C运动时，?FCN的大小是否总保持不变，若?FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan?FCN的值;若?FCN的大小发生改变，请举例说明( G G D A D F F M M E N E B C B C N 图(2) 图(1) k1y,y,x,1(习题)如图，直线与x轴，y轴分别相交于B、A，点M为双曲线 x5 (x,0)上的一点，且?AMB是以AB为底的等腰直角三角形( (1)求A、B两点坐标; (2)过M点作MC?x轴，MD?y轴，垂足分别为C、D;求证:?AMD??BMC; (3)求k值; (4)问双曲线上是否存在一点Q，使?OBQ与?AOQ的面积之比是5:4,若存在，求Q点坐标;若不存在，说明理由( (11.18)如图，在平面直角坐标系中，直线y,,2x，2与x轴、y轴分别相交 ky,于点A，B，四边形ABCD是正方形，反比例函数在第一象限的图象经过点x D( (1)求D点的坐标，以及反比例函数的解析式; (2)试探究:将正方形ABCD沿左右(或上下)一次平移若干个单位后，点C的对应点恰好落在双曲线上的方法( (3)若K是双曲线上第一象限内的任意点，连接AK、BK，设四边形AOBK的面积为S;试推断当S达到最大值或最小值时，相应的K点横坐标;并直接写出S的取值范围( (11.19)如图，已知A(-3，0)，B(0，-4)，P(m，n)为某一个函数图象在第一象限内的任意一点，过点P作PC?x轴于点C，PD?y轴于点D( (1)若该函数的解析式为:y=-x+5，是否存在点P，使得四边形ABCD面积取得最大值或最小值,若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由( 12 y,(2)若该函数的解析式为:，是否存在点P，使得四边形ABCD面积取x 得最大值或最小值,若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由( 1y,x,2(11.20)在平面直角坐标系xoy中，直线向上平移2个单位得直线l，2 k y,直线l与反比例函数 (k,0)的图象交于A、B两点，且点A的纵坐标为x 2( (1)试确定反比例函数的解析式; (2)若此双曲线上有一点C的横坐标为1，求?AOC的面积; (3)将直线l绕原点O旋转α度角(α为锐角)交此双曲线于P，Q两点(P点 在第一象限)，若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求P点的坐标( ABCD//(11.21)如图，在梯形ABCD中，,AB=2，DC=10，AD=BC=5，点M、 MNAB//MEDC,N分别在边AD、BC上运动，并保持，，NFDC,，垂足分别为E、F (1) 求梯形ABCD的面积 2)探究一:四边形MNFE的面积有无最大值, ( 若有，请求出这个最大值;若无，请说明理由; 探究二:四边形MNFE能否为正方形,若能，请求出正方形的面积;若不能，请说明理由. 12(11.22)如图，已知反比例函数y,的图象和一次函数y=kx-7的图象都经过x 点P(m，2)( (1)求这个一次函数的解析式; (2)如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a、b(b,a,0)，求代数式ab的值( k(11.23)如图，一条直线与反比例函数的图象交于A(1，5)，B(5，n)y,x 两点，与x轴交于D点( (1)如图甲，?求反比例函数的解析式;?求n的值及D点坐标;?连接AO、BO，求?ABO的面积; (2)如图乙，在等腰梯形OBCE中，BC?OE，OB=CE，OE在Y轴上，过点C作CF?Y轴于点F，CF和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCE的面积为10时，请判断PC和PF的大小关系，并说明理由( 22(11.25)1. 已知a.b.c.是?ABC的对边，关于x的方程a(1-x)+2bx+c(1+x)=0有两个相等的实根，且3c=a+3b。 (1)判断?ABC的形状 . (2)求sinA+sinB的值. 22222.计算:cos1?+cos2?+cos3?+„+cos89?( 253.θ为锐角，且关于x的方程x+3x+2sinθ=0的两根之差为，求θ. ky,(11.26)如图，点D在反比例函数(k,0)上，点C在x轴的正半轴x 上且坐标为(4，O)，?ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形( (1)求反比例函数的解析式; (2)点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点，BA、BE分别垂直x轴和y轴，垂足分别为点A和点E，连接OB，将四边形OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F(求直线BA′的解析式; (3)求一点P坐标，使点P、A′、A、O为顶点的四边形是平行四边形((直接写出P点坐标) (11.27)已知，如图，直线y=2x+4与x轴交于点E，与y轴交于点A，点D是直线AE在第一象限上的一点，以AD为边，在第一象限内做正方形ABCD( 1)若AD=AE，试求点B的坐标; ( ky,(2)若点B、D恰好在反比例函数上，求反比例函数的解析式( x (11.28)如图，P为正方形ABCD的对称中心，A(0，3)，B(1，0)，直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间2 为t( (1)求点C的坐标; (2)当t为何值时，?ANO与?DMR相似, 3)求?HCR面积S与t的函数关系式. ( 2(11.29)已知一次函数y=kx+b与二次函数y=ax的图象如图所示，其中y=kx+b与x轴、y轴的交点分别为A(2,0),B(0,2).与二次函数图象的交点为P、Q，且它们的纵坐标之比为1:4，求这两个函数的解析式. Y Q B P 2(12.2)直线y=kx+b与抛物线y=ax交于A(-1，1)和B(2，4)两点.求当x12 X O A 取何值时y,y12.(要求:用两种方法分别完成.) 22已知抛物线y=a(x-t-1)+t(a，t是常数，a?0，t?0)的顶点是A，抛(12.3) 2物线y=x-2x+1的顶点是B( 2(1)判断点A是否在抛物线y=x-2x+1上，为什么, 22(2)如果抛物线y=a(x-t-1)+t经过点B. ?求a的值; ?这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形,若能，求出t的值;若不能，请说明理由( 122y,,x，(5,m)x，m,3(12.4)如图，已知抛物线与x轴有两2 个交点A，B，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB( (1)求m的值; (2)求抛物线的表达式，并写出抛物线的对称轴和顶点C的坐标; (3)问抛物线上是否存在一点M，使?MAC??OAC,若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由( 1 A(,0),2B(2,0)(12.5)如图，二次函数y=-x+bx+c的图象与x轴交于,2两点，且与y轴交于点C. 1)求该抛物线的解析式，并判断?ABC的形状; ( (2)在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A,C,D,B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标; (3)在此抛物线上是否存在点P,使得以A,C,B,P四点为顶点的四边形是直角梯形,若存在，求出P点的坐标;若不存在，说明理由. (12.6)根据下列条件，求二次函数的解析式 (1)图象经过点(-1，3)，(1，3)，(2，6); (2)抛物线顶点坐标为(-1，9)，并且与y轴交于(0，-8); (3)抛物线的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点为(-2，0)，与y轴交于点(0，12); (4)图象顶点坐标是(2，-5)，且过原点; (5)图象与x轴的交点坐标是(-1，0)，(-3，0)且函数有最小值-5; (6)当x=2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2( (12.9)如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下点打出一球向球洞OA点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 (已知山坡OA与水平方向OC的夹角为o330，O、A两点相距8米( (1)求出点A的坐标及直线OA的解析式; (2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式; (3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 ( (12.10)某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满(当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空 闲(宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用(根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元(设每个房间的房价每天增加x元(x为10的整数倍)( (1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x 的函数关系式及自变量x的取值范围; (2) 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数 关系式; (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大, 最大利润是多少元, 73(12.11)如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，9 该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ?求二次函数的解析式; ?在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标; ?在抛物线上是否存在点Q，使?QAB与?ABC相似,如果存在，求出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由( 12yx,(12.12).已知，如图1，过点E(0，-1)作平行于x轴的直线，抛物线L4上的两点A,B的横坐标分别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点A,B分别- 作直线L的垂线，垂足分别为点C,D，连接CF,DF( (1)求点A,B,F的坐标; (2)求证:CF?DF; 12yx,(3)点P是抛物线对称轴右侧图象上的一 4 动点，过点P作PQ?PO交x轴于点Q，是否存在 点P使得?OPQ与?CDF相似,若存在，请求出所 有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由( y y B F F A O x O x E D C l E D C (图1) 备用图 (12.13)如图，Rt?ABC中，?C=90?，BC=6， AC=8(点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向 A运动(不与点B重合)，点Q从A向B运动，BP=AQ(点 D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ?AB于Q，交AC于点H(当点E到达顶点A时， P，Q同时停止运动(设BP的长为x，?HDE的面积 为y( (1)求证:?DHQ??ABC; (2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值; (3)当x为何值时，?HDE为等腰三角形, B P E D Q AC 2yaxbxca,，，,(0)(12.19)如图，抛物线顶点为C(1，1)且过原点 5 y,O.过抛物线上一点P向直线作垂线，垂足为M，连FM. 4 (1)求抛物线的解析式; 3 F(1,)(2)在直线x,1上有一点，求以PM为底边 4 的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时?PFM 为正三角形; (3)对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N(1， t)，使PM,PN恒成立，若存在请求出t值，若不 存在请说明理由. (12.20)如图，点O是坐标原点，点A(n，0)是x轴上一动点(n,0).以AO为一边作矩形AOBC，使OB=2OA，点C在第二象限.将矩形AOBC绕点A逆时针旋转90?得矩形AGDE.过点A的直线y=kx+m(k?0)交y轴于点F，且FB=FA. 2抛物线y=ax+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作x轴的垂线，垂足为点M. (1)求k的值; (2)当点A位置改变时，?AMH的面积和矩形AOBC的面积比是否改变,说明你的理由. (12.23)如图1，点是直线,(0，且Aykxk,k 为常数)上一动点，以A为顶点的抛物线 2y,(x,h)，m交直线y,x于另一点E，交 y 轴于 点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于 点.(点A,E,F两两不重合) C (1)请写出h与m之间的关系;(用含k的式子表示) (2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值; (3)当点A运动到使点F的位置最低时(如图3)，求线段AC与OF的比值. y yy CCEEFEBOF xAFOAA xB CxOB 图3 图1 图2 (12.23)1.已知一个二次函数的图象经过(-1,0),(0,-3),(2,-3)三点.求这个函数的解析式. 2.已知抛物线的顶点坐标为(-1，-3)，与y轴的交点坐标为(0，-5)，求此抛物线的解析式. 23.已知抛物线y=ax+bx+c过点A(0，2)、B(，)，且点B关于原点的对称22 点C也在该抛物线上( 11?求a、b、c的值;??这条抛物线上纵坐标为的点共有 个;?请5 写出函数值y随着x的增大而增大的x的一个范围 ( 4.如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连接 AP，过点P作PQ?AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm. (1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值; 1y,(2)当cm时，求x的值. 4 225.已知:抛物线的解析式为y,x,(2m,1)x，m,m (1)求证:此抛物线与x轴必有两个不同的交点; (2)若此抛物线与直线y,x,3m，4的一个交点在y轴上，求m的值。 6.如图1，点A是直线y,kx(k,0，且k为常数) 2上一动点，以A为顶点的抛物线y,(x,h)，m交 直线y,kx于另一点E，交 y 轴于点F，抛物线的 对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C.(点A,E,F 两两不重合) 请写出与之间的关系;(用含的式子表示) (1)hmk (2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值; (3)当点A运动到使点F的位置最低时(如图3)，求线段AC与OF的比值. y yy CCEEFEBOF xAFOAA xBCxOB 图3 图1 图2 1523 84(12.24) 如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC为对角线 2的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y,ax+bx+1以P为顶点( (1)说明点A、C、E在同一条直线上; 2 (2)能否判断抛物线y,ax+bx+1的开口方向?请说明理由; 2 (3)设抛物线y,ax+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，?GAO与?FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点(这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值;若不能，请确定a、b的取值范围( 3(12.25)已知:直角梯形OABC的四个顶点是O(0，0)，A(，1)， B(s，t)，2 72C(，0)，抛物线y=x，mx,m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动2 点，m为常数( (1)求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC; (( 2(2)当抛物线y=x，mx,m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围( (12.26) 1. 如图，?O中，直径CD,15cm，弦AB?CD于点 M，OM?MD,3?2，求AB的长. C O , M A B D 02.圆内一弦与直径相交成30的角，且分直径为1 cm和5 cm两段，求此弦长. 03.如图，Rt?ABC中，?C,90，AC,3，BC,4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长. C, E ADB 第1题图 如图，?O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD,16cm，4. AE?CD于E，BF?CD于F，求AE,BF的值。 C E GB,AOF D 第2题图 5.如图，AB为?O的直径，AC为弦，OD?AC于D， BD交OC于E，若AC,4，AB,5，求BE的长. C DE ,ABO 第5题图 6.已知?O的半径为10cm，弦AB?CD，AB,12 cm， CD,16 cm，求AB和CD之间的距离. (12.30)1.过?O内一点M的最长的弦长为4 cm， 最短的弦长为2 cm，求OM的长. 2.在半径为5 cm的圆内有两条平行弦，分别为6 cm 和8 cm(求这两弦之间的距离. 3.如图，在?O中，AB为弦，C、D两点在AB上， 且AC=BD，求证:?OCD是等腰三角形. 4.如图，AB为?O的直径，点C在?O上，E为弧BC的中点，且AC=6，AB,8， A(1)求证:AE平分?BAC(2)求CE的长. O, D CB E 第3题图 5.如图，AD是?O的直径，AC为弦，?CAD=30?，OB?AD于O，交AC于B，AB=5， 求BC的长. 6.如图，?ABC内接于?O，弦AD?BC于E，CF?AB于F，交AD于G，BE,3，CE,2，且tan?OBC,1，求四边ABDC的面积。 A F GO, CBE D 第4题图 (12.31)如图，直线y=3x+3与x轴交于A点，与y轴交于B点，以AB为直角边作等腰Rt?ABC， k y,?BAC=90?，AC=AB，双曲线经过C点 x ?求双曲线的解析式; ?点P为第四象限双曲线上一点，连接BP，点Q(x、y)为线段AB上一动点，过Q作QD?BP，若QD=n，问是否存在一点P使y+n=3,若存在，求直线BP解析式;若不存在，说明理由( 3 y,x，6(1.2)如图，在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别交于点4 k y,A，点B，双曲线的解析式为 . x (1)求出线段AB的长; (2)在双曲线第四象限的分支上存在一点C，使得CB?AB，且CB=AB，求k的值; (3)在(1)(2)的条件下，连接AC，点D为BC的中点，过D作AC的垂线EF，交AC于E，交直线AB于F，连AD，若点P为射线AD上的一动点，连接PC、 22PF，当点P在射线AD上运动时，PF-PC的值是否发生改变,若改变，请求出其范围;若不变，请证明并求出定值( (1.6)两个完全相同的矩形ABCD、AOEF按如图所示的方式摆放，使点A、D均在y轴的正半轴上，点B在第一象限，点E在x轴的正半轴上，点F在函数 k y, (x,0)的图象上(AB=1，AD=4( x (1)求k的值; (2)将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90?得到矩形A'BC'D'，边A'D交函数 k y,(x,0)的图象于点M，求MD'的长; x k y,(3)判断矩形A'BC'D'，的中心是否在函数(x,0)的图象上并说明理x 由( m y,(1.7)如图1，已知C、D是双曲线在第一象限内的分支上两点，直线x OGDH1,,CD分别交x轴、y轴于A、B，CG?x轴于G，DH?x轴于H，，GCOH4 17OC= ( (1)求m的值和D点的坐标; (2)在双曲线第一象限内的分支上是否有一点P，使得S=S,若存在，求?POC?POD出P点坐标;若不存在，请说明理由( my,(3)如图2，点K是双曲线在第三象限内的分支上的一动点，过点K作x KM?y轴于M，OE平分?KOA，KE?OE，KE交y轴于N，直线ME交x轴于F，? 22OF，MNOF，MN ，?有一个为定值，请你选择正确结论并求出这个定值( 2ONON 31 y,,y,(1.8)如图，已知点A在函数(x,0)的图象上，点B在函数xx 6 y,(x,0)的图象上，点C在函数(x,0)的图象上，且AB?x轴，BC?yx 轴，四边形ABCD是以AB、BC为一组邻边的矩形( 1 (1)若点A的坐标为(，2)，求点D的坐标; 2 1 y,2)若点A在函数(x,0)上移动，矩形ABCD的面积是否变化,如果(x 不变，求出其面积; kk12yy,,(3)若矩形ABCD四个顶点A、B、C、D分别在 (,0，x,0)， k1xx kk34yy,,(k,0，x,0)， (k,0，x,0)， (k,0，x,0)上，请234xx 、k、k满足的数量关系式( 直接写出k、k1234 28 y,y,(1.9)已知:反比例函数和在平面直角坐标系xOy第一象限中的xx 82 y,y,图象如图所示，点A在的图象上，AB?y轴，与的图象交于点B，xx 28 y,y,AC、BD与x轴平行，分别与，的图象交于点C、D( xx (1)若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标; (2)若点A的横坐标为m，比较?OBC与?ABC的面积的大小，并说明理由; (3)若?ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请求出点A的坐标(