[讲解]浅谈求函数最值问题的方法

[讲解]浅谈求函数最值问题的方法 浅谈求函数最值问题的方法 文档来自网络，是本人收藏整理的，如有遗漏，差错，还请大家指正～ 浅谈求函数最值问题的方法 颜远雪 摘要:本文介绍了八种求函数最值问题的方法 并结合高及数学竞赛题来进行分析研究 关键词:最大值;最小值;方法 0.引言 最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置，是历年高考重点考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型 在高考中，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，并以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现 由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法 本文现拟对求函数最值问题的方法作一个综述，以便于广大师生系统掌握求函数最值的初等求解方法 其中，本文大致按八个方面分类选谈求函数最值问题的方法，它们分别是:判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、几何法、构造方差法、复数法和导数法 1.判别式法 若函数可化成一个系数含有的关于的二次方程: 在时 由于为实数 则有 由此可以求出所在的范围 确定函数的最值 例1.1 (1987 江苏省初中数学竞赛) 已知 其中是实数 则的最大值为______ 解:设 由得 是方程的两个实根. 整理化简 得 故. 即的最大值为2 例1.2 (1993 全国高中数学联赛) 实数满足 设 则的值为_______ 解:由题意知 故 又 是方程的两个实根. 解得，即 2.函数的单调性法 当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值 若函数在整个区间上是单调的 则该函数在区间端点上取到最大值或最小值 若函数在整个区间上不是单调的 ，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值 例2.1 求函数的最小值和最大值 解:先求定义域，由 得 又 ， 故当，且增加时，增大，而减小.于是是随着的增大而减小，即在区间上是减函数，所以 例2.2 求函数，的最大值和最小值 解: ， 令，.当时，有 在上是减函数，因此 ， ， 3.均值不等式法 均值不等式:设是个正数 则有 其中等号成立的条件是 运用均值不等式求最值 必须具备三个必要条件 即一正二定三等 缺一不可 "正"是指各项均为正数 这是前提条件;"定"是指各项的和或积为定值;"等"是等号成立的条 件 例3.1(1990 全国高中数学联赛) 设为自然数 为实数 且满足 则的最小值是______ 解:>.由均值不等式得 故 当且仅当时 上式取等号.故的最小值是 例 3.2 (1997 全国高中数学联赛)设，， 记中最大数为M 则M的最小值为______ 解: 由已知条件得 设中的最小数为 则M= 由已知条件知 于是 所以 且当时 故的最小值为 从而M的最小值为 注:在用均值不等式求函数的最值时 往往需要配合一定的变形技巧 才可以把问题转化成求不等式的问题 例3.3 (1994 全国高中数学联赛) 设 则的最大值是_______ 解: 由 有 又 其中当时 上式等号成立 即时成立 故的最大值为 4.换元法 用换元法求函数最值 就是根据函数表达式的特点 把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替 达到化繁难为简易 化陌生为熟悉 从而使原问题得解 换元法通常有三角代换和代数代换两种 例4.1 正数满足，其中为不相等的正常数，求的最小值 解:令 则 当且仅当，即时上式取等号.故 例4.2(第九届"希望杯"全国数学邀请赛)实数适合条件，则函 数的值域是_______ 解:由已知可设，，其中， 则 当，，即时，;当，，即 时，.故的值域是 5.几何法 某些二元函数最值问题具有图形背景 这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定几何意义的代数表达式 再利用几何图形 对函数最值作出直观的说明和解释 根据函数所表示的几何意义 我们可以将函数分为以下几种: 5.1可视为直线斜率的函数的最值 例5.1.1 求函数的最小值 解:令 则且，于是问题转化为: 当点在上半个单位圆上运动时 求与的连线的斜率的最值(如图).显然 当点与点重合时 直线的斜率最小 此时.当直线与上半个单位圆相切时 直线的斜率最大. 设 则直线的方程为 直线与上半个单位圆相切 解得 (舍去)或 综上可得 直线的斜率的最值为: ， ， 5.2可视为距离的函数的最值 例5.2.1 (1992 全国高中数学联赛)函数的最大值是_______ 解:将函数式变形 得 可知函数的几何意义是: 在抛物线上的点分别到点和点的距离之差 现求其最大值. 由知，当在的延长线上处时，取得最大值 5.3可视为曲线截距的函数的最值 例5.3.1 (1990 高考理工科试题)求函数的最大值 解: 令 则 且.则问题转化为: 当点在单位圆上运动时 求双曲线族 (视为常数)在轴上的截距的最大值. 当时 由方程得 由此可知:当时 ;当时 此双曲线族有公共的渐进线和 有公共的中心 由此不难得出 当双曲线族与单位圆切于点 时 纵截距取得极大值 ，而 故所求纵截距的极大值就是最大值. 因此 所求函数的最大值为 6.构造方差法 设个数据的平均数为 则其方差为 显然(当且仅当时取等号) 应用这一公式，可简捷、巧妙地解决一些试题的最值问题 这种方法适用的范围很广，可以用来求函数的最值，也可以用来求某 一字母的最值以及求某一代数式的最值 例6.1(1998，新加坡数学奥林匹克竞赛试题)求函数的最大值 解:的方差是 解得.故 例6.2(加拿大第七届中学生数学竞赛试题)确定最大的实数， 使得实数满足: 解:由已知得 的方差 解得 .故的最大值为 注:对于例1，我们也可以用构造方差法来求解，解题过程如下: 解法2:不妨设，则由已知 即 得 又的方差是 即 由此判定 解得 即 亦即.故的最大值为 7.复数法 用复数的方法解函数的最值 就是运用复数的模以及绝对不等式的性质来解题 复数的模的不等式 : 例7.1 求函数的最小值 解: 令 则 其中 当且仅当时 上述不等式取等号. 由两个复数相等的条件可求得 当时 函数 例7.2 已知是不全为零的非负实数 求 的最小值 解: 设 则 当且仅当 即时 等号成立. 8.导数法 设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和最小值为在内的 各极值与，中的最大值与最小值 要求三次及三次以上的函数的最值 以及利用其他方法很难求的函数似的最值 通常都用该方法 导数法往往就是最简便的方法 应该引起足够重视 例8.1 求函数 的最大值和最小值 解: 令 方程无解. 函数在上是增函数. 故当时 ，当时 例8.2 求数列的最大项 解: 设 则 令 则得 又 将 及加以比较 得的最大值为 数列的最大项为第项 这一项的值为 以上就是本文整理出的有关于求函数最值问题的八种解法 当然解函数最值问题的方法不止这些 例如:二次函数法 反函数法 配方法等等 这里只是对求最值问题的方法作部分的归纳 具体的方法还有待读者去进一步的发现和 由于最值问题的解题方法的灵活多样性 所以教师在对最值问题的教学活动中 应重视思想方法的渗透 把建构和发展学生数学思维作为教学活动的一项重要任务 ?? ?? ?? ??