9.6

nullnull一阶微分方程组的数值解法 高阶微分方程的数值解法§9.6 微分方程组的数值解法1null9.6.1 一阶微分方程组的数值解法设有一阶微分方程组的初值问(9-56)若记则初值问题(9-56)可写成如下向量形式(9-57)2null(9-57)连续,都有那么问题式(9-57)在 上存在惟一解3null 问题式(9-57)和式(9-1)形式上完全相同,故对初值问题式(9-1)所建立的各种数值解法可全部用于求解问题式(9-57),只需将 即可.(9-57) 例如,对问题式(9-57),Euler方法的为换成向量函数换成向量4null(9-58)其中其分量形式为 改进Euler法的计算公式为5null(9-59)其分量形式为6 改进Euler法的计算公式为null 精典四阶RK公式为(9-60)7null其中式(9-60)的分量形式为(9-61)8null一般地,用于问题式(9-57)的显式单步法公式为(9-62)其中为便于理解,说明.是 m+2 元的 m 维向量函数 设有初值问题(9-63)9null则改进的Euler公式为(9-63)预报校正10null它的精典四阶RK公式为(9-64)(9-63)11p13null(9-65)12null的相容性、收敛性及稳定性概念与结论. 类似于§9.5讨论,可以建立一阶方程组的数值解法(9-65)顺序计算所得结果代入式(9-64),即得, 将处的近似解13p11null9.6.2 高阶微分方程的数值解法 高阶微分方程的初值问题可以通过变量代换化为一(9-66)阶微分方程组初值问题. 引入新变量(9-66)就化为一阶微分方程组初值问题.问题式14null(9-67)然后用6.1段中的数值方法求解问题式(9-67),就可以得到问题式(9-66)的数值解.15null 例6 用四阶RK方法求解初值问题(9-68)取 [解] 引入新变量这是形如式(9-63)的问题,按式(9-64),式(9-65)求解.因为由式(9-65)得问题(9-68)化为如下形式16null17null 将上式带入式(9-64)得(9-64)类似地,可计算以后各节点处的近似解,计算结果见9-6.18null表9-6 问题式(9-68)的精确解为 与近似解比较即得误差(见表9-6中最后一列)19将它