ZXXKCOM201106120657423周期性

函数的周期性 一、基础知识 1.周期函数的定义 对于函数 ，如果存在一个常数 ，能使得当 取定义域内的一切值时，都有 ，则函数 叫做以 为周期的周期函数。 2.与周期相关的结论 (1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数 ； (2)周期函数的定义域是无界的； (3)若 为 的周期，则 也是 的周期 (4)若函数 恒满足 ，则 是周期函数， 是它的一个周期； (5)若函数 恒满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则 是周期函数， 是它的一个周期； 推论：若函数 恒满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则 是周期函数， 是它的一个周期； （4）（5）以及周期性定义可概括为：“和或差为0型”即 型 (6)若函数 恒满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则 是周期函数， 是它的一个周期； 推论：若函数 恒满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则 是周期函数， 是它的一个周期； (7)若函数 恒满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则 是周期函数， 是它的一个周期； 推论：若函数 恒满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则 是周期函数， 是它的一个周期； （6）（7）可概括为：“乘积为 型”即 型 (8)若函数 是偶函数，且关于直线 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期； 推论：若函数关于直线 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期； (9)若函数 是奇函数，且关于直线 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期； 推论：若函数关于点 、直线 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期； (10)若函数 是奇函数，且关于点 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期； 推论：若函数关于点 、 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期。 （8）（9）（10）可概括为：“满足两个对称型”即“两条对称轴或两个对称中心或一个对称中心，一条对称轴”型 （11）分式递推型：即函数满足 由得，进而得 ，由前面的结论得的周期是 二、练习题 （一）、选择题 1.（1996全国卷）设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则 （ ） A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 2.（2005福建卷） 是定义在 上的以3为周期的偶函数，且 ，则方程 =0在区间 内解的个数的最小值是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 3. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数 为奇函数，且 ，则 等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 5 5. 设 是定义在 上以 为周期的函数， 在 内单调递减，且 的图像关于直线 对称，则下面正确的结论是（ ） 6.(2009山东卷理)定义在 上的函数 满足 ，则 的值为( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 7.（2009湘潭一中月考）已知定义在 上的函数满足且 ,,则（ ） A. B. C. D. 8.（2009广东三校一模）定义在上的函数是奇函数，又是以为周期的周期函数,则 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.4 9．(陕西长安二中2008月考)定义在 上的偶函数满足 EMBED Equation.3 ，且在 上单调递增，设， ，，则大小关系是( ) A． B． C． D． 10. 设函数 （ ）是以 为周期的奇函数，且 ，则( ) 11. 函数 既是定义域为 的偶函数，又是以 为周期的周期函数，若 在 上是减函数，那么 在 上是( ) 增函数 减函数 先增后减函数 先减后增函数 12. 设偶函数 对任意 ，都有 ，且当 时， ，则 ( ) 13. 定义在 上的函数 既是奇函数，又是周期函数， 是它的一个正周期．若将方程 在闭区间 上的根的个数记为 ，则 可能为( ) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 14. 定义在 上的函数 既是偶函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，且当 时， ，则 的值为( ) EMBED Equation.3 15.（普宁市城东中学09届月考）已知是定义在 上的函数，且满足，则“为偶函数”是“2为函数的一个周期”的 ( ) A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件 16.（执信中学09届训练题）设是定义在上的正值函数,且满足.若是周期函数,则它的一个周期是（ ） . . . . 17.（2010·天津改编）在上定义的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ） A.在区间上是增函数，区间上是增函数 B.在区间上是增函数，区间上是减函数 C.在区间上是减函数，区间上是增函数 D.在区间上是减函数，区间上是减函数 （二）、填空题 18.（2010年惠州第三次调研考）已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则 ________ 19. 函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则 20.设 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，则 EMBED Equation.3 21. 若存在常数 ，使得函数 满足 EMBED Equation.DSMT4 ， 的一个正周期为 22. 设 ，记 ，则 23．（2010重庆卷）已知函数 满足 ，则 三、解答题 24. 设函数 是定义域 上的奇函数，对任意实数 有 成立 （1）证明： 是周期函数，并指出周期； （2）若 ，求 的值 25. 已知函数 的图象关于点 对称，且满足 ，又 ，求 的值. 26.（2009年湖北联考）已知函数 是定义为 上的奇函数，且它的图像关于直线 对称 （1）求证： 是周期为4的周期函数； （2）若 ，求 时，函数 的解析式。 27. 已知函数 的定义域为 ，且满足 （1）求证： 是周期函数； （2）若 为奇函数，且当 时， ，求使 在 上的所有 的个数。 28. 设函数 在 上满足 ， ，且在闭区间 上，只有 ． (1)试判断函数 的奇偶性； (2)试求方程 在闭区间 上的根的个数，并证明你的结论. 29.（普宁市城东中学09届高三模拟）定义在 上的奇函数有最小正周期4，且时，。求在上的解析式 参考 （一）选择题 1～5 BBBCB 6～10 CABDD 11～15 ADDDC 16～17 CC 4、特取 13、特取 16、由是定义在上的正值函数及得 ，， ，所以，即的一个周期是6 （二）填空题 18、 1 19、 20、0 21、 22、 ，可见 ， 23、令 得 同理 两式相加得 ，由此可得 （三）解答题 24、解：（1） ； （2）因为函数 是定义域 上的奇函数，且 ，所以 在 中，令 得 25、解：由 在 中，令 得 在 中，令 得 所以 ，而 ，所以 又 ， 所以 ， 26、解：（1） （2） 时， 时， ，从而 又当 时， ， 从而 （ ） 又因为 也满足上式， （ ） 27、解：（1） （2） 时， 时， ，从而 故 又当 时， 从而 EMBED Equation.3 由图象可知在 上使 的所有 的个数为502。 28、解:（1）由 ,从而知函数 的周期为 又 而 ，故函数 是非奇非偶函数； (2) 又 故 在 和 上均有两个解,从而可知函数 在 上有403个解, 在 上有402个解,所以函数 在 上有805个解. 29.解： ⑴当时， 又为奇函数，， 当时，由 是最小正周期4的奇函数， 综上， PAGE - 7 - _1314101416.unknown _1368729541.unknown _1369208837.unknown _1369210685.unknown _1369211296.unknown 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