函数求定义域方法总结和配套习题

函数定义域求法的总结和配套习题 （1）分式中的分母不为零； （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零； （3）指数式的底数大于零且不等于一； （4）对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零； （5）正切函数； （6）余切函数； （7）反三角函数的定义域 函数y＝arcsinx的定义域是[－1，1]，值域是； 函数y＝arccosx的定义域是[－1，1]，值域是[0，π] ； 函数y＝arctgx的定义域是R，值域是； 函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是(0，π)。 1、 抽象的 　一、已知的定义域，求的定义域 例1 已知函数的定义域为，求的定义域． 分析：该函数是由和构成的复合函数，其中是自变量，是中间变量，由于与是同一个函数，因此这里是已知，即，求的取值范围． 解：的定义域为，，． 故函数的定义域为． 二、已知的定义域，求的定义域 例2　已知函数的定义域为，求函数的定义域． 分析：令，则， 由于与是同一函数，因此的取值范围即为的定义域． 解：由，得． 令，则，． 故的定义域为． 三、运算型的抽象函数 例３　若的定义域为，求的定义域．   解：由的定义域为，则必有解得． 所以函数的定义域为． 3、逆向型 例5已知函数的定义域为求实数的取值范围。 分析：函数的定义域为，表明，使一切都成立，由项的系数是，所以应分或进行讨论。 解：当时，函数的定义域为； 当时，是二次不等式，其对一切实数都成立的充要条件是   综上可知。 评注：不少学生容易忽略的情况，希望通过此例解决问题。 例6已知函数的定义域是，求实数的取值范围。 解：要使函数有意义，则必须恒成立， 因为的定义域为，即无实数解 ①当时，恒成立，解得； ②当时，方程左边恒成立。 综上的取值范围是。 抽象函数的定义域 总结解题 1.已知的定义域，求复合函数的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。 2.已知复合函数的定义域，求的定义域 方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。 3.已知复合函数的定义域，求的定义域     结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。 4.已知的定义域，求四则运算型函数的定义域     若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例1已知函数的定义域为，求的定义域． 分析：若的定义域为，则在中，，从中解得的取值范围即为的定义域．本题该函数是由和构成的复合函数，其中是自变量，是中间变量，由于与是同一个函数，因此这里是已知，即，求的取值范围． 解：的定义域为，，． 故函数的定义域为． 变式训练： 若函数的定义域为，则的定义域为            。 分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。 解：依题意知：             解之，得： ∴　的定义域为 例2已知函数的定义域为，求函数的定义域． 分析：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．这种情况下，的定义域即为复合函数的内函数的值域。本题中令，则， 由于与是同一函数，因此的取值范围即为的定义域． 解：由，得． 令，则，． 故的定义域为． 变式训练： 已知函数的定义域为，则的定义域为________。 解：由，得 所以，故填 例3. 函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D.     分析：已知的定义域，求的定义域，可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域 解：先求的定义域 的定义域是， 即的定义域是，再求的定义域  的定义域是，故应选A 变式训练： 已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域. 分析：先求2x的值域为M则log2x的值域也是M，再根据log2x的值域求定义域。 解  ∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴≤2x≤2. ∴函数y=f(log2x)中≤log2x≤2.即log2≤log2x≤log24,∴≤x≤4. 故函数f(log2x)的定义域为［，4］ 例4　若的定义域为，求的定义域． 分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．   解：由的定义域为，则必有解得． 所以函数的定义域为． 变式训练：已知函数的定义域是，求的定义域。 分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。 解：由已知，有，即 函数的定义域由确定 函数的定义域是 例5 若函数f(x+1)的定义域为[－，2]，求f(x2)的定义域． 分析：已知f(x+1)的定义域为[－，2]，x满足－≤x≤2，于是＜x＋1＜3，得到f(x)的定义域，然后f(x2)的定义域由f(x)的定义域可得． 解：先求f(x)的定义域： 由题意知－≤x≤2，则＜x＋1＜3，即f(x)的定义域为[，3]， 再求f[h(x)] 的定义域： ∴ ＜x2＜3，解得－＜x＜－或＜x＜． ∴f(x2)的定义域是{x|－＜x＜－或＜x＜}． 例6、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况： （1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积； （2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）； （3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为，由于，于是，即。又，∴的取值范围是。 解：由题意得   xy+x2=8,∴y==(0计划

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