高数极限习题及答案
练习题
1. 极限
(1)lim
2
(2)lim
22
2
(3)lim
2
(4)lim
已知
求常数a, b.
xsin
(6)
2
lim
1
2
x
2
(8)
lim
(9)
lim
2. 函数的连续性
(1) 确定b的值, 使函数
在x=0点连续.
, 使函数 (2) 确定a, b的值
在整个实数轴上连续
(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.
?
x
?
3. 连续函数的性质
(1) 设
证明:f(x有一个不大于1的正根且 (2) 若
证明: f(x)在内有界.
提高
1ºf(x)在内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A间的任意值C, 存在
使得
2. 函数的连续性
(1) 确定b的值, 使函数
在x=0点连续.
解
(2) 确定a, b的值, 使函数
在整个实数轴上连续.
解
(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.
?
x
解: x=0为可去间断点.
?
解为跳跃间断点
3. 连续函数的性质
(1) 设
解: 若n=1, 则显然有解x=1.
若n>1, 则证明:
证明: f(x)有一个不大于1的正根由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..(2) 若且
f(x)在内有界.
解: 由可知当时故
由可知故当时取
即可.
提高
1ºf(x)在内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A间的任意值C, 存在
使得
证明: 若则显然结论成立.
则存在X>0, 当 设存在
时, 有
于是
由可知存在
从而f(x)在于是有
分别在闭区间
结论2º.
上使用介值定理即可得