2012年广东省东莞市高中数学竞赛决赛试题与答案

2012年广东省东莞市高中数学竞赛决赛试与答案 2012年东莞市高中数学竞赛决赛试题 一、选择题(本大题共6小题～每小题6分～共36分(每小题各有四个选择支～仅有一个 选择支正确(请把正确选择支号填在答题卡的相应位置(, 1(从集合,1，3，6，8,中任取两个数相乘，积是偶数的概率是 5211 B( C( D( A(6323 ,,,,,sincos12sincos,,,2(若是第四象限角，且，则是 ,22222 A(第一象限角 B(第二象限角 C(第三象限角 D(第四象限角 P3. 已知点OAB、、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则 22+OPOABA, PABPABA(点不在直线上 B(点在线段上 PABPABC(点在线段的延长线上 D(点在线段的反向延长线上 22(m，1)x，(n，1)y,4,04(设，若直线与圆相切，则(x,2)，(y,2),4m,n,R， 的取值范围是 mn， A. B. C. (0,1，3][1，3,，,)[2，22,，,)D. (0,2，22] 1825. 已知正方体C的棱长为，以C的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C，以C1122 的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C，则凸多面体C的棱长为 33 A(18 B( C(9 D( 9262 3f(x)fxfx(3)()，,,R6. 已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,[0,]2 f(x),m(m,0)若方程在区间上有四个不同的根,则xxxx,,,,,,6,61234 xxxx，，，,1234 ,6,88 A( B( 6 C( D( 二、填空题,本大题共6小题～每小题6分～共36分(请把答案填在答题卡相应题的横线上(, 1,ln,0x,,,xfx()1,,fx(),7(已知，则不等式的解集为 ? . ,1,,0x,,x, 8(随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2. 现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6 组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有 ? 人. 频率/组距 0.3 0.1 5.1.4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.2 视力 7 2229(在中，角所对应的边长分别为，若，则的最小,ABCcosCABC,,abc,,abc，,2值为 ? . 10(给出下列四个命题: ,,(1)如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交; ,, ,,(2)如果平面?平面，那么平面内所有直线都垂直于平面; ,, ,,(3)如果平面?平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直; ,, ,,(4)如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面( ,, 其中真命题的序号是 ? ((写出所有真命题的序号) ((( 2222Mxy(,)xy,,,2011(若动点在直线上运动，且满足?8，则(2)(2)xy,，，xy，000000 的取值范围是 ? ( x11,,y,f，，xf，，x,x，12(设函数，为坐标原点，为函数图象上横坐标为n(nAA,,0n2x，1,, n,a?N*)的点，向量，向量，设为向量与向量的夹角，满ia,AA,i,(1,0)n,1nkkn,,1k n5足的最大整数是 ,,ntan,k3,1k ? 。( 答 题 卡 一、选择题(本大题共6小题～每小题6分～共36分(, 1 2 3 4 5 6 题号 答案 二、填空题,本大题共6小题～每小题6分～共36分(, 7( 8( 9( 10( 11( 12( 三、解答题(本大题共6小题～共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 13.(本小题满分12分) xxx2已知函数( fx()2sincos23sin3,,，222 fx()(1)求函数的单调减区间; y,sinx(x,R)(2)该函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到? ,2π6,,,,,(3)已知，且，求的值( ,,f(),,f(),,,6356,, 14.(本小题满分12分) A(1,2)MABBD菱形中，，，点是线段的中点，线段与交ABCDAB,(6,0)CM P于点. (1)若向量AD,(3,7)，求点C的坐标; DP(2)当点运动时，求点的轨迹. 15((本题满分13分) D C 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，?ABE为等腰三角形，AE =BE，平面ABCD?平面ABE，点F在CE上，且BF?平面ACE. (1)判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由; F (2)求点D到平面ACE的距离. A B E 16((本题满分13分) 如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向 33河道内排放污水2万m，每天流过甲厂的河水流量是500万m(含甲厂排放的污水); 33乙厂每天向河道内排放污水1.4万m，每天流过乙厂的河水流量是700万m(含乙厂排放的污水).由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放. 根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水. 3(1)设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万m，试根据环保部门的要求写出x、y 所满足的所有条件; 3(2)已知甲厂处理污水的成本是1200元/万m，乙厂处理污水的成本是1000元/万3m，在满足环保 3部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m，才能使这两个工厂处理污 水的总费用最小,最小总费用是多少元, 支流 甲厂 乙厂 3500万m/天 3700万m/天 17((本题满分14分) 2已知. f(x),ax，2bx，4c(a,b,c,R) 12f(x)y,,x(1)当a,0时，若函数的图象与直线均无公共点，求证: 4ac,b,;4 3|f(x)|,5b,4,c,(2)时，对于给定的负数a,,8，记使不等式成立的的最x4 M(a)M(a)M(a)大值为.问为何值时，最大，并求出这个最大的，证明你的结论. a 18((本题满分14分) n，已知数列x和y的通项公式分别为xa,和yanbnN,，，,1,. ,,,,，，nnnn 2，ab,,3,5(1)当时，记，若是y中的第项，试问:cx,(,)kmN,ccm,,nkk，1nn y是数列中的第几项,请说明理由( ,,n xy(2)对给定自然数，试问是否存在，使得数列和有公共项,a,2b,1,2,,,,,,nn bz若存在，求出的值及相应的公共项组成的数列，若不存在，请说明理由( ,,n 2012年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案 一、选择题(本大题共6小题～每小题6分～共36分(, 1 2 3 4 5 6 题号 A B D C D B 答案 二、填空题,本大题共6小题～每小题6分～共36分(, 1(,,,,1):(0,e)7( 8( 78 9( 2 10( (3)(4) 11( [2，8] 12( 3 三、解答题(本大题共6小题～共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 13.(本小题满分12分) 解:(1) πx,,2,，2sinx( ………………fxx()sin3(12sin),，,,，sin3cosxx,,32,, …2分 ,,,3令，k,Z( ，2k,,x，,，2k,232 ,,7 得，k,Z( ，2k,,x,，2k,66 ,,7？fx()的单调减区间为，[，2k,,，2k,]66k,Z( …………………5分 ,y,sinx(x,R)(2)先把函数的图象向左平移个单位，就得到函数3 ,的图象; y,sin(x，)(x,R)3 π,,(x,R)yx,，2sin2再把其纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，就得到的,,3,, 图象(…………7分 6π6(),(3)由得:即f,,，,2sin(),535 π3 …………………8分 ,，,sin(),35 14.(本小题满分12分) A(1,2)解:(1)菱形ABCD中，AC,AD，AB,(3,7)，(6,0),(9,7)，且，所以C(10,9).…4分 P(x,y)(2)设，则 . …………………5分 BP,AP,AB,(x,1,y,2),(6,0),(x,7,y,2) MABBDPP又因为点是线段的中点，线段CM与交于点，即点是,ABC的重 心，从而有 ,所以 MC,3MP 111 ACAMMCABMPABAPABAPAB,，,，,，,,,33()3222 ,,,,,,,3(1,2)(6,0)(39,36)xyxy …… ……………7分 ABCD菱形的对角线互相垂直，所以， BP,AC (x,7,y,2),(3x,9,3y,6),0即 ， (x,7),(3x,9)，(y,2)(3y,6),0亦即， 22整理得:(x,5)，(y,2),4y,2()， …………………11分 P2故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，除去与的交(5,2)y,2点. …………………12分 15((本题满分13分) 解:(1)平面ADE与平面BCE垂直. …………………1分 证明如下: 因为BF?平面ACE，所以BF?AE. …………………3分 D C 因为平面ABCD?平面ABE，且ABCD是正方形，BC?AB， 平面ABCD?平面ABE,AB，所以BC?平面ABE， 从而BC?AE. …………………6分 F 于是AE?平面BCE，故平面ADE?平面BCE. ………………7分 A B (2)连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点， E 所以点D与点B到平面ACE的距离相等. …………………8分 D C 因为BF?平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离. …9分 因为AE?平面BCE，所以AE?BE. M 又AE,BE，所以?AEB是等腰直角三角形. …………………10分 F 2，所以BE,因为AB,. …………………11分 2sin452:,G A B 在Rt?CBE中， E 22CEBCBE,，,6 BCBE，2223BF,,,CE36 故点D到平面ACE的距离是 23. …………………13分 3 16((本题满分13分) 解:(1)据题意，x、y所满足的所有条件是 20.2,x,,,500100,0.8(2)1.4,，,xy，，0.2,, ， …………………4分 ,700100, 02,,x, ,01.4,,y, 即 4x，5y,8, ,1,x,2 . …………………, ,0,y,1.4, 5分 (2)设甲、乙两厂处理污水的总费用为z元，则 y 目标函数z,1200x，1000y,200(6x，5y).…………7分 l 作可行域，如图. ……………10分 1.4 平移直线l:6x，5y=0，当直线经过点A(1，0.8)时， A x 2 o z取最大值，此时 1 4x，5y=8 z,1200×1，1000×0.8,2000(元). ……………12分 故甲、乙两厂每天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理污水的总 费用最小，且最小总费用是2000 元. …………………13分 17((本题满分14分) 2y,,xa,0解:(1)由与直线均无公共点()， f(x),ax，2bx，4c(a,b,c,R) 2ax，2bx，4c,,x可知无解， ………………1分 22由无解，得:， ax，(2b，1)x，4c,0,,(2b，1),16ac,0 12整理得: 4ac,b,，b4(1) ………………3分 22由无解，得:， ax，(2b,1)x，4c,0,,(2b,1),16ac,0 12整理得: 4ac,b,,b4(2) ………………5分 由(1),(2)得: 12. ………………6分 4ac,b,4 3b,4,c,(2) 由，所以4 2 ………………7分 f(x),ax，8x，3 416f(,),3,因为, 由得，a,,8aa 416 ………………9分 f(,),3,,5aa fx()5,所以恒成立， |f(x)|,5fx()5,,故不等式成立的的最大值也就是不等式成立的的最大xx 值，…………10分 2M(a)ax，8x，3,,5因此为方程的较大根， ,4,24,2aM(a),即a () ………………11分当时，a,,8a,,8 ,,,42424a是关于的增函数， ………………13分 aMa(),,a422,,a M(a)所以，当a,,8时，取得最大值，其最大值为 1，5M(a),. ………………14分 2 18((本题满分14分) n解:(1)由条件可得x,3，，根据题意知，yn,，45nn 2nc,3( …………………1分 n 由为数列中的第m项，则有c{}ykn 2k345,，m， …………………2分 那么 2(1)2kk，cmmm,,，,，，,，,，，3939(， …………………4分 45)36454(910)5k，1 ,910m，,N910m，因,所以是数列中的第c{}yk，1n 项( …………………5分 (2)设在区间上存在实数b使得数列和有公共项， {}x{}y[1,2]nn sa,bst, 即存在正整数s，t使，?， aatb,，，(1)a，1 sab, 因自然数,s，t为正整数，?能被整a?2a，1除( …………………6分 saab,,t,, ?当时，( s,1,N1a，a1， ,?当 时， sn,2(n,N) 若， b,1 snn22abaa,,,11,221n,,,,,，,，,，，,[1()()()]aaa aaa，，,,111() 2422n,,， ,,，，，,(1)[1]aaaaN sab,即能被整a，1除， …………………8分