多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式

多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式 8.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式 一(多元复合函数的求导法则 类似于一元复合函数的定义,我们现在给出二元复合函数的定义。 z,f(u,v)u,u(x,y)定义 设函数，而u、v均为x、y的函数，即，v,v(x,y)z,f[u(x,y),v(x,y)]，则函数叫做x、y的复合函数。其中u、v叫做中间变量，x、y叫做自变量。 现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则，推广到多元复合函数。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。 u,u(x,y)v,v(x,y)定理 如果函数，在点(x,y)处都具有对x z,f(u,v)及对y的偏导数，函数在对应点(u,v)处具有连续偏导数，则 z,f[u(x,y),v(x,y)]在点(x,y)处存在两个偏导数，且具有下复合函数 列公式 ,z,z,u,z,v,， ,x,u,x,v,x ,z,z,u,z,v,， ,y,u,y,v,y 定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则，它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。 作为初学者，我们常用图示法示各变量之间的关系(如图所示)。 u x z v y ,z图中的每一条线表示一个偏导数，如“z—u”表示。现在我们利用,u ,z图来求，首先看z通过中间变量到达x有两条路径:和z,u,x,x ，那么结果就一定是两项之和，又在第一项中有和 z,v,xz,u ,z,u两个环节，那么这一项一定是两式相乘，即。同理第二项为u,x,u,x ,z,v。于是 ,v,x ,z,z,u,z,v,， ,x,u,x,v,x 一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路 径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘。 ,zy,z2v,2x，3yz,ulnv例1 设，而，，求 ，。 u,,yx,x解 函数各变量之间的关系如上图所示，由锁链法则 2,z,z,u,z,vyu,，,2ulnv,(,)，,2 2,x,u,x,v,xvx 222y2y ,,ln(2x，3y)，32xx(2x，3y) 2,z,z,u,z,v1u,，,2ulnv,，,3 ,y,u,y,v,yxv 22y3y ,ln(2x，3y)，22xx(2x，3y) 2xy22例2 求 的一阶偏导数。 z,esin(x，y) 解 可以引入中间变量，按复合函数的求导法则计算。 u22u,2xyz,esinv设 ，，则 。函数各变量之间的关系v,x，y 如上图所示，由锁链法则 ,z,z,u,z,vuu ,，,esinv,2y，ecosv,2x,x,u,x,v,x 2xy2222 ,2e[ysin(x，y)，xcos(x，y)],z,z,u,z,vuu,， ,esinv,2x，ecosv,2y,y,u,y,v,y 2xy2222 ,2e[xsin(x，y)，ycos(x，y)] ,z,z24z,f(x,u)例3 设的偏导数连续，且，求 ，。 u,3x，y,y,x 解 函数各变量之间的关系如图所示，由锁链法则 x z u y ,z,f,f,u,,,, f(x,u)6xf(x,u),，,f(x,u)，f(x,u),6x,，xuxu,x,x,u,x ,z,f,u3,4yf(x,u),, u,y,u,y P练习 32 1(1) ,z,zz,f(x，y,xy)例4 设函数可导，求 ，。 ,y,x 解 可以引入中间变量，按复合函数的求导法则计算。 z,f(u,v)设 u,x，y，，则 。函数各变量之间的关系如v,xy 例1图所示，由锁链法则 ,z,f,u,f,v,f,f,f,f,,，，y ,1，,y,,x,u,x,v,x,u,v,u,v ,f,u,f,v,f,f,f,f,z,，,，x ,1，,x,,y,u,y,v,y,u,v,u,v dzyz,xy,cost例5 设 ，而x,sint，，求 。 dt 解 函数各变量之间的关系如下图所示，由锁链法则 x z t y dz,zdx,zdyy,1y,，,yxcost，xlnx(,sint) dt,xdt,ydt y,1y ,yxcost,xlnxsint cost,12cost，1 ,(sint),cost,(sint)lnx ,u,uu,f(x,y,z)z,,(x,y)例6 设，，求 ，。 ,y,x 解 在这个函数中，x，y既是中间变量又是自变量，各变量之间的关系下如图所示，由锁链法则 ,u,f,f,z,u,f,f,z,，,，， ,y,y,z,y,x,x,z,x x u z y 通过上面的例题我们可以看到，在利用复合函数的求导法则对复合函数求导数时，搞清楚函数各变量之间的关系是关键。只有搞清楚了函数各变量之间的关系，才能够正确应用复合函数的求导法则求复合函数的导数。 P练习 32 1(6) 二( 隐函数求导公式 与一元函数的隐函数类似，多元函数的隐函数也是由方程式来确定的 F(x,y,z),0z,f(x,y)一个函数。比如，由三元方程所确定的函数叫做二元隐函数。但不是所有的方程式都能确定一个函数，也不能保证这个函 222数是连续的和可以求导的。例如 ，由于x，y，z无论x，y，z，1,0 取什么实数都不满足这个方程，从而这个方程不能确定任何实函数z,f(x,y)。原来我们讲一元函数的隐函数求导，是在方程能确定一个一 y,f(x)元函数，且这个函数可导的前提下进行的。因此，现在我们需要解决在什么条件下，可以由一个三元方程式确定一个二元函数，且这个函数是连续的、可导的，以及具体的求导方法。 F(x,y,z)定理 设函数在点的某一邻域内有连续的偏导P(x,y,z)000 数，且 ,， F(x,y,z),0F(x,y,z),0000z000F(x,y,z),0则方程在的某邻域内恒能唯一确定一个单值连续且(x,y)00 z,f(x,y)F(x,y,z),0具有连续偏导数的函数，它满足方程及条件 ，其偏导数可由 z,f(x,y)000 ,F,F,z,F,F,z，,0 和 ，,0,y,z,y,x,z,x 即 ,F,F ,z,z,y,x 和 ,,,,,F,F,y,x ,z,z 来确定。 这个公式可以推广到一元隐函数和三元隐函数的求导中去。 F(x,y),0y,f(x)所确定的一元隐函数的导数是 由 ,Fdyx, (F,0) ,,y,dxFy F(x,y,z,u),0u,f(x,y,z)由所确定的三元隐函数的偏导数是 ,F,,FF,u,u,uyxz,,,,, (F,0),,u,,,,xF,zF,yFuuu 2222zfxy,(,)例7 求由方程 所确定的隐函数的偏导x，y，z,a ,z,z数和。 ,y,x 2222F(x,y,z),解 设，则有 x，y，z,a ,,,F,2yF,2x，， F,2zyxz ,所以当时，由定理得 F,0z ,F,Fzyyzxx,2,2yx,,,,,,， ,,,,,,,xFzz,2,yFzz,2zz dyx2例8 求由方程所确定的隐函数的导数。 siny，e,xy,0dx x2解法1 设，则有 F(x,y),siny，e,xy x2,,， F,cosy,2xyF,e,yyx x22x,Fe,yy,edyx,,, ,,cosy,2xycosy,2xy,dxFy 解法2 用原来求一元隐函数的导数的方法求 x2,,cos20yyeyxyy,，,，,, 因为 ，， 2xye,,y, 所以 yxy,cos2 很明显，用第一种解法比第二种解法要简单，它不用考虑、是自yx 变量还是因变量。 5432xyzu，，，,1例9 求由方程 所确定的隐函数5432 ,u,u,uufxyz,,,的导数，和。 ，，,y,x,z 5432xyzuF(x,y,z,u),，，，,1解 设，则有 5432 342,,,,F,yF,x，，， F,zF,uyxzu 432,F,,FFuyuzux,,,yxz，， ,,,,,,,,,,,,,,,xFuyFuzFu,,,uuuP练习 32 3(1) 22xzx例10 求由方程 所确定的隐函数z，xy，e,3e,0 z,f(x,y)在点(0，1)处的偏导数()。 z,0 22xzxF(x,y,z),解 设，则有 z，xy，e,3e xzx2xz,,,，ze,3e，F,x， F,2xyF,2z，xeyxz xzx2,F,F,z2xy，ze,3e,zxyx， ,,,,,,,,xzxz,,,xF,yF2z，xe2z，xezz又当x=0、y=1时，，所以 z,2 ,z,,z23,0， ,,x,0x,0y,,x22y,1y,1 P练习 32 3(3) 小结 1 多元复合函数的求导法则——锁链法则: ,z,z,u,z,v,， ,x,u,x,v,x ,z,z,u,z,v,， ,y,u,y,v,y ,F,F ,z,z,y,x2 隐函数求导公式: 和 ,,,,,F,F,y,x ,z,z