正弦交流电有效值的证明

正弦交流电有效值的 证法一:假设有两个交变电压其最大值与周期均相同，瞬时值达式分别为u=Msinωt、u=Ucosωt,其中，ω=2π/T,把它们分别加在两个阻值相同的电1m2m 阻上，设电阻的阻值为R，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的热量相等，设都为Q，产生的总热量Q=2Q。在任一时刻t，这两个电阻上的热功率分别为总 22u2 Utsin,，，um1U， ,,Pm 1RR O O 2t t 2T T t Utcos,，，um2. ,,P-U2-Um m RR 两个电阻上总的发热功率为 2222Uttsincos,,，，，Umm。可见两个电阻上总的发热功率是一个定PPP,，,,12RR 2Um值，与时刻t无关，所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为QPTT,,. R用一个恒定电压为U的电源，分别给两个相同的电阻R供电，在相同时间T内， 22UUT2T每个电阻产生的热量是Q=，两个电阻产生的总热量为Q=.由热效应RR 22UUUmm2U,TT,的等效可知。可得。而这个恒定电流的电压U就是正弦交RR2 变电流的电压的有效值。电流、电动势有效值可同法证得。 证法二:设流过定值电阻R的电流按正弦规律变化，即i=Isinωt,交流电的瞬时m 1cos2,,t2222功率为p=iR=IRsinωt. 因为 代入得 sint,,m2 1122。 pIRIRt,,,,cos2mm22 上式中，后一项在一个周期内平均值为零，因此在一个周期内交流电平均功率为: 12(为最大瞬时功率的一半) PIR,m2 2如果考虑一个恒定电流I与其等效，即P=IR，就有 I122mPI,P=，即IRIR,，所以 m22 1 / 2 证法三:(积分法)设流过定值电阻R的电流按正弦规律变化，即i=Isinωt.因m 222为时刻t瞬时功率p=iR=IRsinωt，则一个周期内电阻R上产生的热量为m TQ=. pdt,0 1cos2,,t11222因为 代入得 ,代入上式有: pIRIRt,,,,sint,cos2,mm222 TT1122。 QIRdtIRtdt,,,cos2mm,,0022 12由于第二项积分为零，所以Q= 。 IRTm2 1222,,QQ,如果有一个恒定电流I与其等效，即，就有，即 IRTIRT,QIRT,m2 ImI,所以有 2 2 / 2