欧拉公式欧拉公式
欧拉公式 (Euler公式)
在数学历史上有很多公式都是欧拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的,它们都叫做
欧拉公式,它们分散在各个数学分支之中。
(1) 分式 里的欧拉公式:
a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
(2) 复变函数 论里的 欧拉 公式 :
e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩...
欧拉公式
欧拉公式 (Euler公式)
在
历史上有很多公式都是欧拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的,它们都叫做
欧拉公式,它们分散在各个数学分支之中。
(1) 分式 里的欧拉公式:
a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
(2) 复变函数 论里的 欧拉 公式 :
e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数
论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x,得到:
e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的
得到:
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作?就得到:
e^i?+1=0.
这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的
几个数学联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率?,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0。数学家们
它是“上帝创造的公式”,我们只能
看它而不能理解它。
(3) 三角形 中的欧拉公式:
设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:
d^2=R^2-2Rr
(4) 拓扑学 里的欧拉公式:
V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的
量,是拓扑学研究的范围。
(5)初等数论里的欧拉公式:
欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数。n是一个正整数。
欧拉证明了下面这个式子:
如果n的
素因子分解式是p1^a1*p2^a2*„„*pm^am,其中众pj(j=1,2,„„,m)都是素数,而且两两不等。则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)„„(1-1/pm)
利用容斥原理可以证明它。
此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。
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