三棱锥的几个重要性质

三棱锥的几个重要性质 直角三棱锥的几个性质 有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。 我们已经学习过的直角三角形的性质有: 性质1:RtΔ的垂心就是直角顶点。 性质2:RtΔ的两个锐角互余。 性质3:RtΔ两直角边的平方和等于斜边的平方。 :RtΔ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项;每条直角边是它性质4 在斜边上的射影和斜边的比例中项;由此，RtΔ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。 性质5:RtΔ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。 性质6:RtΔ斜边上的中线等于斜边的一半。 1122(所以RtΔ的外接圆半径R,c,)。 a，b22 ab1性质7:RtΔ的内切圆半径r,,(a，b,c)。 222a，b，a，b 现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，设PA,a，PB,b，PC,c。 ?PA、PB、PC两两垂直， ?PA?面PBC，PB? 面PCA，PC?面PAB， ?面PAB、面PBC、面PCA两 两垂直。作PH?面ABC于H，连CH并延长并交AB于 D，连PD，则PH?AB，PH?CD，面PCD?面ABC;而 PC?面PABPC?AB，所以AB?面PCD，?AB?PD，, AB?CH。同理，AH?BC，BH?CA。 由AB?面PCD知CD?AB，而PD?AB且?APB, 90?，??ABC、?CAB为锐角。同理，?BCA也是锐 角，从而有: 性质1:直角三棱锥的底面是锐角三角形。 由AB?CH，AH?BC，BH?CA易知，H是ΔABC的垂心，由此可得: 性质2:?直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。 ab222在RtΔPAB中，PD?AB,PA?PBPD,;在RtΔPCD中，CD,PD，PC,22a，b 222222ab，bc，caab22,()，c,;在RtΔPCD中，PH?CD，?PD?PC,2222a，ba，b ab2(),c2222222abcPD,PC1a，b2CD?PHPH,,,，?,,22222222222222CDab，bc，caab，bc，caPH 22a，b 222222ab，bc，ca111,，，。因此有: 222222abccab 第 1 页 共 4 页 1111性质2:?直角三棱锥顶点到底面的距离为h满足关系式,，，。 2222chab22?面ABC， ?侧棱PC与底面ABC所成角为?PCH,α，则有sin?PCH,sinα因PH ab2()22222abPDa，b,,,。 同理,侧棱PB与底面ABC所成2222222222222CDab，bc，caab，bc，ca 22a，b 22ca22角为?PBH,β,sin?PBH,sinβ,，侧棱PA与底面ABC所成角为222222ab，bc，ca 22ca22222?PAH,γ，sin?PBH,sinγ,，所以sinα，sinβ，sinγ222222ab，bc，ca ,1。因此， 性质3:?直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。三条侧棱与底 面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。 由AB?PD,AB?CD，?侧面PAB与底面ABC所成角为?PDC,θ,由PC?PD知θ，α, 22222290?,?sinα,sin(90?,θ),cosθ。类似推理，由sinα，sinβ，sinγ,1。 cPC222,易得:sinθ，sinδ，sin,1。 另外，tan(P-AB-C),tan?PDC,,abPD 22a，b111111，，，,c，同理，tan(P-BC-A),a ，tan(P-CA-B),b。所以， 222222abbcca性质3:?直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值: 111111，，，tan(P-AB-C),c，tan(P-BC-A),a ，tan(P-CA-B),b。 222222abbcca如图，Q为底面ΔABC内任一点，作点Q到面PAB的距离为RQ,d，到面PBC的距离为12222222RT,d，到面PCA的距离为RS,d，容易得到:PQ,RQ，RP,RQ，RT，RS,d32122，d，d 32 性质4:?底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。 22SPRT22QP与棱PA所成角的余弦值cosα,,，QP与棱PB所成角的余弦值cos22PQPQ 222RSRQ2TPβ,,，QP与棱PA所成角的余弦值cosγ,， 222PQPQPQ 第 2 页 共 4 页 22222222在PQ,RQ，RT，RS两边同时除以PQ，得cosγ，cosα，cosβ,1; 性质4:?直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。 222RS，RT2QP与面PAB所成角的余弦值cosθ,，QP与面PBC所成角的余弦值cos2PQ 22222RT，RQ22RS，RQ,δ,，QP与面PCA所成角的余弦值cos,，由PQ,RQ，22PQPQ 22222222222RT，RS得2×PQ,RS，RT，RS，RQ，RT，RQ,两边同时除以PQ，得cosθ 2222222,,，cosδ，cos,2，? 1,sinθ，1,sinδ，1,sin,2，得sinθ，sin 2,δ，sin,1。 性质4:?直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为1。 222222ab，bc，ca1122底面三角形的面积S,AB?CD,?,a，b,ABC2222a，b1222222，这也可以当成直角三棱锥的一个性质: ab，bc，ca2 1222222性质5:?直角三棱锥底面三角形的面积S,。 ab，bc，ca2 11122222在RtΔPCD中，PD,HD?CD，两边同乘以AB得AB?PD,AB?HD?CD，444222即S,S?S;同理，S,S?S;S,S?S。 ,ABC,PBC,HBC,ABC,PCA,HCA,ABC,PAB,HAB 性质5:?直角三棱锥侧面面积是其在底面的射影面积与底面面积的比例中项。 222把S,S?S;S,S?S;S,S?S;这三,ABC,PBC,HBC,ABC,PCA,HCA,ABC,PAB,HAB2222个式子相加，得S,S，S，S。 ,ABC,PBC,PCA,PAB 性质5:?直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方。 2PAPAPA直角三棱锥P-ABC中，在点A处，cos?PAB?cos?PAC,?,， AB,ACABAC 2222222AC，AB,BCAC，AB,(PB，PC)cos?BAC,, 2AB,AC2AB,AC 2222222AC,PC，AB,PBPA，PAPA,,,,cos?PAB?cos?PAC; 2AB,AC2AB,ACAB,AC 即cos?BAC,cos?PAB?cos?PAC;同理，点B处，cos?ABC,cos?PBA?cos?PBC;点C处，cos?ACB,cos?PCB?cos?PCA。所以 性质6:直角三棱锥底面端点处，侧棱与底面 两边所成角的余弦积，等于底面角的余弦值。 将直角三棱锥补成长方体，则直角三棱锥的外 接球也是长方体的外接球，其球心是长方体的中心， 半径为长方体对角线的一半。因此有 性质7:?直角三棱锥外接球的半径R, 1222a，b，c。 2 第 3 页 共 4 页 设直角三棱锥内切球半径为r，球心为,，连OA,OB,OC，则把直角三棱锥分成四个小三棱锥，? V,V，V，V，V， P,ABCO,PABO,PBCO,PCAO,ABC 1111111222222? S,，? ×ab×c,×ab×r，×bc×rab，bc，ca,ABC23232321111222222，×ca×r，×××r ， ab，bc，ca3232 abc? r,。所以， 222222ab，bc，ac，ab，bc，ca abc性质7:?直角三棱锥内切球的半径r,。 222222ab，bc，ac，ab，bc，ca 现在将以上所探究到的直角三棱锥性质小结如下: 性质1:直角三棱锥的底面是锐角三角形。 性质2:?直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。 1111?直角三棱锥顶点到底面的距离为h满足关系式,，，。 2222chab 性质3:?直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。 ?直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值: 111111，，，tan(P-AB-C),c，tan(P-BC-A),a ，tan(P-CA-B),b。 222222abbcca 性质4:?底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。 ?直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。 ?直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为1。 1222222性质5:?直角三棱锥底面三角形的面积S,ab，bc，ca。 2 ?直角三棱锥侧面面积是其在底面的射影面积与底面面积的比例中项。 ?直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方。 性质6:直角三棱锥底面端点处，侧棱与底面两边所成角的余弦积，等于底面角的余弦值。 1222a，b，c性质7:?直角三棱锥外接球的半径R,。 2 abc?直角三棱锥内切球的半径r,。 222222ab，bc，ac，ab，bc，ca 第 4 页 共 4 页