尺规作图

尺规作图 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同:1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度; 2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。 八种基本作图 作一条线段等于已知线段 ?作一个角等于已知角 ?作已知线段的垂直平分线 尺规作图 ?作已知角的角平分线 ?过一点作已知直线的垂线 已知一角、一边做等腰三角形 已知两角、一边做三角形 已知一角、两边做三角形 实例 过三点作圆【已知】A、B、C三点。 【求作】过该三点之圆。 【作法】? 连接AB，连接AC;? 分别作出线段AB、AC的中点D、E;? 过D作AB的垂线，过E作AC的垂线，两垂线相交于O;? 以O为圆心OA长为半径作圆，即为求作之圆。 过三点作圆 【已知】平行直线L1、L2、L3。 作顶点分别在三平行线上的正三角形 【求作】正?ABC，使三个顶点分别落在三条平行线上。 【作法一】? L1上任取一点D为顶点，作正三角形?DBE，使B、E落在L2上(图中虚线为正三角形简易作法); ? 作过D、E直线交L3于C;? 以B为圆心BC为半径作弧交L1于A，连接A、B、C成?ABC。 三顶点在三平行线的正三角 形作法一 【作法二】? L2上任取一点B作三平行线公垂线交L1于E，L3于D;? 作线段EB的垂直平分线L4;? 过D作直线DG使?EDG = 30?，并交L4于G;?过B、G作直线交L1于A;? 以B为圆心BA为半径作弧交L3于C，连接A、B、C成?ABC。 三顶点在三平行线的正三角 形作法二 著名问题 尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题: ?三等分角问题:三等分一个任意角; ?倍立方问题:作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍; ?化圆为方问题:作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。 以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题，但在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决的。直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为 尺规作图作品 尺规作图不能问题。 还有另外两个著名问题: ?正多边形作法 ?只使用直尺和圆规，作正五边形。 ?只使用直尺和圆规，作正六边形。 ?只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的。 ?只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。 ?问题的解决:高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题。 ?四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分(这个问题传言是拿破仑?波拿巴出的，向全法国数学家的挑战。 相关延伸 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 ?只用直尺及生锈圆规作正五边形 ?生锈圆规作图,已知两点A、B，找出一点C使得AB = BC = CA 尺规作图 。 ?已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点。 ?尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的达吗,顺着这思路就有了更简洁的表达。 10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。 1672年，有人证明:如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出～从已知点作出新点的几种情况:两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出～。