非齐次线性方程组

非齐次线性方程组 第二节 非齐次线性方程组 一(非齐次线性方程组的三种表示形式 aa？axb,,,,,,11121n11,,,,,,aa？axb,,,,,,21222n22记 , , . A,x,b,,,,,,,？？？？？？,,,,,,,,,,,,aa？axbm1m2mnnm,,,,,, 方程组(4.1)的矩阵形式为 (4.6) Ax,b 称为(4.6)的导出组(或对应的齐次线性方程组), 称矩阵B,(A？b)为(4.6)的增Ax,0 广矩阵. A,(,,,,？,,)记, 方程组(4.5)的向量形式为 12n x,，x,，？，x,,b (4.7) 1122nn 二、非次线性方程组有解的条件和解的结构 ,,,,,,性质2 设是非齐次线性方程组的解, 则是导出组的解. Ax,0Ax,b1212 ,性质3 设是非齐次线性方程组的解, 是导出组的解, 则是,,，,Ax,0Ax,b 的解. Ax,b B,(A？b)定理2 设矩阵A是非齐次线性方程组的系数矩阵, 是其增 m，nAx,b广矩阵, 则 (1) 有解的充要条件是r(A),r(B).; Ax,b (2) r(A),r(B),n时, 有唯一解; Ax,b (3) r(A),r(B),r,n时, 有无穷多个解, 通解为 Ax,b ,, x,k,，k,，？，k,，,1122nrnr,, ,,,,,？,,,其中是(4.6)的一个解(称为特解), 是导出组的一个基础解系, Ax,012n,rk,k,？,k为任意常数. 12n,r ,,,,？,,B,(A？b)证明 设A的列向量组为(I), 的列向量组为12n 1 ,,,,？,,,b(II). 12n (1) 必要性. 若有解, 由式(4.7)知, 可由(I)线性表示, 于是(II)可由(I)线性 Ax,bb ,,,,？,,,,,,？,,,b表示, 而(I)可由(II)线性表示, 故(I)与(II)等价, 秩()=秩(),得12n12n r(A),r(B). ,,,,？,,,,,,？,,,b),r充分性 若, 则秩()=秩(. r(A),r(B),r12n12n设(III)是(I)的极大无关组, 则(III)也是(II)的极大无关组, 可由,,,,？,,bjjj12r 线性表示, 从而可由(I)线性表示, 故方程组(4.6)有解; ,,,,？,,bjjj12r ,,(2) 时, 有解, 只有零解. 设是(4.6)的一个特解, 有 r(A),r(B),nAx,bAx,0 ,A,,b. 对于(4.6)的任意解, x ,,A(x,,),Ax,A,,b,b,0, ,,,,x,,,0x,,x,,,是导出组的解, , 所以, 即是(4.6)的唯一解; Ax,0 ,x,,(3) 时, 由(2), 是导出组的解, 可由基础解系r(A),r(B),r,nAx,0 ,,,,,？,,线性表示, , 即有 x,,,k,，k,，？，k,12n,r1122n,rn,r ,; x,k,，k,，？，k,，,1122nrnr,, k,k,？,k反之, 对任意常数, 令 12n,r ,, ,,k,，k,，？，k,，,1122nrnr,,有 ,, A,,A(k,，k,，？，k,)，A,,0，b,b1122nrnr,, 故,是(4.6)的解. ,综上所述, 是的全部解(称为通解), k,，k,，？，k,，,Ax,b1122nrnr,, k,k,？,k为任意常数. 12n,r B,(A？b)一般地, 对(4.6)的增广矩阵施行一系列初等行变换化为行阶梯形矩 Ax,b ~~~~~~Ax,bAx,0阵(或形矩阵) , 则与同解, 与同解. 因此, B,(A？b)Ax,bAx,0 2 ~~~~~r(A),r(B)(4.6)有解的充要条件是. 有解时, 求出的一个特解和的一个基Ax,bAx,0础解系, 就可得到的通解. Ax,b 例5 求非齐次线性方程组 xxxx，,，2,3,1234,xxx2，,3,1 ,124 ,,4x,2x，6x,,2124, 的通解. B解 写出增广矩阵, 并作初等行变换化为 11,12311,123,,,,r,2r21,,,,r，4r34210,310,12,7,5B,(A？b), ,,,,,,,, ,,,,,4,206,202,41410,,,, 11,123101,5,2,,,,r，r12,,,,~~~r，2rr，(,1)3220,12,7,501,275 ,,,,,,,,,B,(A？b),,,, ,,,,0000000000,,,,故, 原方程组有解. r(A),r(B),2 解同解方程组 ，,5,,2xxx,134 ,x,2x，7x,5234, ,Tx,x,0,,(,2,5,0,0)x,,2,x,5令, 解得, 得特解. 3412 x,x导出组的基础解系含4,r(A),4,2,2个解向量, 将的两组值(1,0), (0,1)分别34代入方程组 ，,5,0xxx,134 ,x,2x，7x,0234, TT,,(,1,2,1,0),,(5,,7,0,1)得基础解系, . 12 原方程组的通解为 ,TTTx,k,，k,，,,k(,1,2,1,0)，k(5,,7,01)，(,2,5,0,0), 112212 k,k其中为任意常数. 12 例6 取何值时, 线性方程组 , ,1x，x，x,,123,,,x，x，x, ,1232,x，x，,x,,123, 3 (1) 有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解, 并求其解. 解 方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为 ,,11111,,,,,,,,,,,A11,B11,,, ,,,, 2,,,,11,11,,,,,, 2A,(,1)(，2),, . (1) 当且时,,,则方程组有唯一解. r(A),r(B),3A,0,,1,,,2 (2) 当时, ,,,2 ,21111,21,2,,,,,,,,B,1,21,2,0,33,3, ,,,, ,,,,11,240003,,,, ,则方程组无解. r(A),2,r(B),3,r(A),r(B) (3) 当时, ,,1 11111111,,,,,,,,B,1111,0000, ,,,, ,,,,11110000,,,,r(A),r(B),1,则方程组有无穷多解. 解同解方程 x，x，x,1, 123 即 x,,x,x，1,123,x,x, ,22 ,,xx33, 得通解 x,1,11,,,,,,,,1,,,,,,,,xkk,1，0，0k,k , 为任意常数. ,,,,,,,,21212 ,,,,,,,,010x3,,,,,,,, ,,,,,例7 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知是它的三个Ax,b123解,且 4 21,,,,,,,,32,,,,, , ,,,,，,123,,,,43,,,,,,,,54,,,,求该方程组的通解. 解 因为, 所以的导出组的基础解系含个n,4,r(A),3n,r(A),4,3,1Ax,b 解, 而 A[(,，,),,],A,，A,,A,,b，b,b,b, 231231 T,,(,，,),,,,(1,1,1,1)故是的一个解, 令,,,,,,由性质2,是导出组,Ax,b2311 T,,(3,4,5,6)的一个解,是非零向量，构成导出组的基础解系，因此方程组的通解Ax,b为 TT,为任意常数. x,k,，,,k(3,4,5,6)，(2,3,4,5)k1 x,x,a,x,x,a,x,x,a,x,x,a例8 写出方程组有解的充要条121232343414件,并求解. 解 对增广矩阵B作初等行变换化为 1,100a,,1,,1100a,,,1,,01,10a,,20110a,,,2,,001,1aB,, 3,,,,0011a,43,,,,,,0000a1001a,,i,,4,,i,1,, 10,1a，a，a,,123,,01,1a，a,,23 ,,001,1a,, 3,,4,,0000a,i,, i,1,, 4 a,0可知r(A),3,方程组有解的充要条件是r(A),r(B),3,故充要条件是.方程组,i1i,有解时,通解为 1，，xaaa,,,,,,1123,,,,,,1，xaa,,,,,,223,，, 为任意常数. kk,,,,,,1xa33,,,,,,,,,,,,10x,,,,,,4 5 6