向量垂直、共线在解析几何中的应用

向量垂直、共线在解析几何中的应用 一?'??目目i—:lE|矗==l=_?-__i一 何中的应用 酊问题的工具(l口两点距离 夹角等).尤其垂直与共 z2,且z1- 的轨迹P/ e弦,求所作f u鼋上.(一 1)?. 上, \\,— //\x 又R(,)在椭圆上,24+一1,即x2+蔫一专,所以+蚩 ,整理得2+3y一4一6—o即2(一1)q-3(y一1)一5. 样嗍能髓瓜 一?… 函萱——湖北蕲春城关高中三(4)班龚勋?芒『—-???? 即亏+亏一1,显然0(o,o)在其上,但不满足题意,应舍去. . ? .点Q的轨迹是'1)舯帐半轴长为,短半轴长为,且长轴 与z轴平行的椭圆,去掉坐标原点. 该题是1995年全国高考题,每年《考试》的"题型示例"的难题 中都有它.高考给出两种答案,都有点难.该题的实质是向量共线的应 用.设出Q点坐标,利用共线得P和R的坐标及向量,谦与关 系,找到与的关系,再利用点P在直线上,点R在椭圆上找到z,Y关系,从而使 问题得到解决. 争e~NT一+.一1的右准线z与z轴相交于点E,过椭圆右焦点F的 直线与椭圆相交于A,B两点,点C在右准线z上,且BC?38轴.求证:直线AC经过 线段EF的中点. :依题设得椭圆的半焦距c一1,右焦点为F(1,O),右准线 z方程为z一2,点E的坐标为(2,o),EF的中点N(_量_,o). 若AB垂直于.2C轴,则A(1,y1),B(1,一y1),C(2,一y1),则 AC中点为N(号,o),即AC~EF中点N.若AB不垂直于z轴, J 一 \\,/ 由直线AB过点F,且由BC//Lz轴知点B不在Lz轴上,故直线AB的方程为Y一志(Lz 一 1),k?0. rr2 .. 联立J十一'消去-y得(1+2愚.)2—4k~x+2(k,1)一o. 1y=k(x--1) 设舭,,B(x~,y2),~1c(2幽圹. 又A(xl,y1),B(x2,Y2)都在y=k(x--1)上,所以Yl一是Lz1--k,y2一是Lz2--k. 又N(号,o),则'一(一号,),一(一1,一). ? . '(z一3)?(--Y2)一(一吉)?一,zz+3z+丢 愚)+专(愚2一志)+1(愚zl一是)一一是Lz1z2+愚Lzl+3愚Lz2一3患十1愚Lz1一1愚 一 k.;cmI-;cm2+号悬(z.+一2愚—小+_主_愚?一2愚 2走.+2+6愚0—2愚一.O 1+2k01+2k0—0. . ? . (z一_主_)?(my2)一(一1)?,则与菌共线,故三点A,N,c共 生活的地平线是随着心灵的开阔而变得宽广的. —— 河北邢台路罗中学(94)班杨永强 篁 线,即直线AC经过线段EF的中点N — 大多数同学能做到消元后得两根之和与两根之积,有的能得到AN 与CN的斜率,但能证两斜率相等的同学不多.因为要证两斜率相等,必 先找到z,与X2的关系,而该关系是通过两根之和与两根之积给出的, 必须构造出两根之和与两根之积:可通过作差去构造,实质是作差法证相等. 上面的解法中,我们利用直线AC过点N时,三点A,C,N共线.利用向量共线 定理充要条件,化简后直接厨到两根之和与两根之积,使问题解决.体现出向量共线 定理直接给出坐标之问的内在关系,不用我们再去作差构造了.从而可见向量共线解 决解析几何问题的优越性. 解析几何中的垂直,共线问题,应这样用:垂直问题,先设坐标,利用数量积为零 找坐标联系,再与两根之和,两根之积联系起来去求,如()A上(冶,可设A(,y), B(x2,2),则o一(l,y1),o百一(2,y2),则.2Cl2+yly2—0,联立方程消元后用韦 达定理求.共线问题,先设坐标,利用共线找坐标的内在联系,结合韦达定理求.尤其 是那些隐性的共线关系,一定要先化简找到共线关系再去求.定比分点问题的实质也 是共线问题. 解析几何中的垂直,共线问题,可以用老教材中的传统,也可以用向量垂直,向量 共线这些新方法.新方法不仅可省去某些讨论(如斜率存在不存在),也可直接抓住坐标的 内在联系,不用我们再去费尽心血去构造了.而且新方法在以后的考试中会用得越来越 多,这是引入平面向量的必然趋势.我们必须学会使用新方法以适应新形势. /1.设双曲线c:一一1(口>0)与直线l:x+y一1相交于 两个不同的点A,B,设直线z与z轴的交点为P,且一 商.求n的值. 2.椭圆的中心在原点0,它的短轴长为2,相应于焦点F (c,0)(c>0)的准线Z与轴相交于点A,IOFI==:21FAI,过点 A的直线与椭圆相交于P,Q两点. (1)求椭圆的方程及离率.(等+号一1,一譬)Il (2>若?一0,求直线PQ的方程.(z一而一3----0,或 七--3=0) (3)设5一(>1),过点P且平行于准线lz的直线与 瀚圆相交于另一点M,证明:习讶一一商.(其实质是共线的应 用,用向量共线坐标运算证明) (责任编辑朱宁) 风铃随风而动,如青春岁月的心絮,缤纷而动听. —— 河南扶沟县扶沟高中二(7)李鹏磊