[资料]椭圆的简单几何性质典典范题

[资料]椭圆的简单几何性质典典范题 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的方程(，，A2，0 分析:题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置( 解:(1)当为长轴端点时，，b,1， ，，A2，0 22xy，,1椭圆的标准方程为:; 41 a,4(2)当为短轴端点时，，， ，，A2，0 22xy，,1椭圆的标准方程为:; 416 说明:椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆 的横竖的，因而要考虑两种情况( 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率( 21a223c,a22？c,，，解: ?， 3c 13?( e,,33 说明:求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比(二是列ac含和的齐次方程，再化含的方程，解方程即可( ace 典型例题三 x，y,1,0例3 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于A、B两点，Mx OM为AB中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程( 2x2，y,1解:由题意，设椭圆方程为， 2a ，,1,0xy,,2222由，得， ，，1，ax,2ax,0,x2，y,1,2a, 21x，x1，a12y,1,x,?，， x,,MMM222a1，a y112Ma,4？k,,,，?， OM24xaM 2x2，y,1?为所求( 4 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题( 典型例题四 22xy9,,，,1例4椭圆上不同三点，B4，，与焦点的，，，，，，Ax，yCx，yF4，0,,11222595,, 距离成等差数列( (1)求证; x，x,812 ACk(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率(TBTx a,5b,3c,4证明:(1)由椭圆方程知，，( AFc由圆锥曲线的统一定义知:， ,2aa,x1c 4AF,a,ex,5,x? ( 115 4CF,5,x同理 ( 25 9AF，CF,2BFBF,? ，且， 5 4418,,,,55,x，,x,? ， ,,,,12555,,,, 即 ( x，x,812 ，yy,,12(2)因为线段AC的中点为，所以它的垂直平分线方程为4，,,2,, y，yx,x1212，，y,,x,4 ( 2y,y12又?点在轴上，设其坐标为，代入上式，得 T，，x，0x0 22y,y12 x,4,0，，2x,x12 又?点，都在椭圆上， ，，，，Ax，yBx，y1122 922? ，，y,25,x1125 922 ，，y,25,x2225 922y,y,,x，xx,x? ( ，，，，12121225 将此式代入?，并利用的结论得 x，x,812 36 4 x,,,025 9,055k,, ? ( BT44,x0 典型例题五 22xy，,1例5 已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到MMFF1243 MNMFMFl左准线的距离是与的等比中项,若存在，则求出点M的坐标;若不存12 在，请说明理由( 解:假设M存在，设，由已知条件得，，Mx，y11 1c,1，，?，(b,3e,2 x,,4?左准线l的方程是， MN,4，x?( 1 又由焦半径公式知: 1MF,a,ex,2,x， 1112 1( MF,a，ex,2，x2112 2MN,MF,MF?， 12 11,,,,2，，x42x2x，,,，?( ,,,,11122,,,, 2整理得( 5x，32x，48,011 12解之得或( ? x,,x,,4115 另一方面( ? ,2,x,21 则?与?矛盾，所以满足条件的点不存在( M 说明: (1)利用焦半径公式解常可简化解题过程( (2)本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条 件进行推理和运算(进而根据推理得到的结果，再作判断( (3)本例也可设，，存在，推出矛盾结论(读者自己完成)(M2cos,，3sin, 典型例题六 211x,,2，y,1例6 已知椭圆P，，求过点且被P平分的弦所在的直线方程(,,222,, kk分析一:已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求( 11,,ky,,kx,解法一:设所求直线的斜率为，则直线方程为(代入椭圆方程，并,,22,, 整理得 132222( ，，，，1，2kx,2k,2kx，k,k，,022 22k,2kx，x,由韦达定理得( 1221，2k 1?是弦中点，?(故得( Pk,,x，x,1122 2x，4y,3,0( 所以所求直线方程为 分析二:设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从，，，，x，yx，yxxyy11122212 y,y12而求斜率:( x,x12 11,,解法二:设过P，的直线与椭圆交于、，则由题意得，，，，Ax，yBx，y,,112222,, 2,x21，y,1，?,12,2x,22y，，,1? ,22, x，x,1，?,12,y，y,1.?12, 22x,x2212，y,y,0?,?得( ? 122 1y,y112,,将?、?代入?得，即直线的斜率为( ,2x,x212 2x，4y,3,0所求直线方程为( 说明: (1)有关弦中点的问题，主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点 轨迹;过定点的弦中点轨迹( (2)解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率( (3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”(有关二次曲 线问题也适用( 典型例题七 例7 求适合条件的椭圆的标准方程( (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点; ，，2，,6 (2)在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6(x 22xy2a,148，,1分析:当方程有两种形式时，应分别求解，如(1)题中由求出，22ab 2222yxxy2b,37，,1，,1，在得方程后，不能依此写出另一方程(1483714837 2222xyyx，,1，,1解:(1)设椭圆的标准方程为或( 2222abab a,2b由已知( ? 又过点，因此有 ，，2，,6 2222，，，，2,6,62，,1，,1或( ? 2222abab 2222a,148b,37a,52b,13由?、?，得，或，(故所求的方程为 2222xyyx，,1，,1或( 148375213 22xy2a,18，,1c,3b,c,3(2)设方程为(由已知，，，所以(故所求方程22ab 22xy，,1为( 189 说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”(关键在于焦点的位置 2222xyyx，,1，,1是否确定，若不能确定，应设方程或( 2222abab 典型例题八 22xyAM，2MF，,1例8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当，，FMA1，31612 为最小值时，求点的坐标( M 12MF分析:本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得Me,2 1均可用此法( 最小值(一般地，求AM，MFe 1解:由已知:a,4c,2，(所以，右准线e,2 l:x,8( AQ,lQ过作，垂足为，交椭圆于，故AM MQ,2MFAM，2MFAQ(显然的最小值为，即M 为所求点，因此，且在椭圆上(故(所My,3x,23MM 以( ，，M23，3 1AM，2MF说明:本题关键在于未知式中的“2”的处理(事实上，如图，，e,2 MQMF是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使即MMM到的距离与到右准线距离之和取最小值( A 典型例题九 2x2x,y，6,0，y,1例9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值(3 分析:先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最 小值( ,,,3cosx，，，解:椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到3cos,，sin,,y,sin,., 直线的距离为 ,,,2sin,，6,,,3cos,sin，6,,3,,,,d( 22 ,,,当sin,,,,1时，d,22( ,,最小值3,, 说明:当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程( 典型例题十 33,,例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率e,，已知点到P0，x,,22,,这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于7P7的点的坐标( d分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求的最大 b值时，要注意讨论的取值范围(此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力( 22xy，,1a,b,0解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是，其中待定(22ab 2222ca,bb2e,,,1,由可得 222aaa 31b2,,e,,,11a,2b，即( a42 d设椭圆上的点到点P的距离是，则 ，，x，y 22,,39y,,2222,,13d,x，y,,a,，y,y， ,,2,,24b,,,, 291,,222 ,4b,3y,3y，,,3y，，4b，3,,42,, ,b,y,b其中( 12dy,,bd如果，则当时，(从而)有最大值( b,2 223131,,b,7,,由题设得，由此得，与矛盾(7,b，b,，，,,2222,, 112d成立，于是当时，(从而d)有最大值(因此必有b,y,,22 22，，7,4b，3由题设得，可得b,1，a,2( 22xy，,1?所求椭圆方程是( 41 111,,,,及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到点由,3，,3，,y,,,,,,222,,,, 3,,P0，的距离是( 7,,2,, ,,xacos,a,b,0解法二:根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定，,,ybsin,, 0,,,2,,，为参数( 2222ca,bb,,2由可得 e,,,1,,,22aaa,, 31b2,,e,,,11a,2b，即( a42 3,,d设椭圆上的点P0，到点的距离为，则 ，，x，y,,2,, 2233,,,,2222,，,,cos，sin, dxya,b,,,,,22,,,, 922243sin3sin ,b,b,,b,，4 21,,22 ,,3bsin,，，4b，3,,2b,, 112dsin,,,1d如果，即，则当时，(从而)有最大值(b,,122b 2231311,,b,7,,由题设得，由此得，与矛盾，因此必有7,b，b,，，,1,,22222b,, 成立( 12dd于是当sin,,时(从而)有最大值( ,2b 22，，7,4b，3，?b,1，a,2( 由题设知 ,,x2cos,?所求椭圆的参数方程是( ,,ysin,, 1311,,,,cos,,,sin,,由，，可得椭圆上的是，(,3，,3，,,,,,,2222,,,, 典型例题十一 2222y,R例11 设，，，求的最大值和最小值(2x，3y,6xxx，y，2x 22分析:本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一2x，3y,6x 22致(设，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关x，y，2x,m 系求得最值( 22解:由，得 2x，3y,6x 23,,x,2,,y2,, ，,1 93,,,,42,, 3,,可见它表示一个椭圆，其中心在，0点，焦点在轴上，且过(0，0)点和(3，0)x,,2,, 点( 22设，则 x，y，2x,m 22 ，， x，1，y,m，1 它表示一个圆，其圆心为(,1，0)半径为，，( m，1m,,1在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示(观察图形可知，当圆过(0，0)点时，半径 m,0m,15最小，即，此时;当圆过(3，0)点时，半径最大，即，?(m，1,1m，1,4 22?的最小值为0，最大值为15( x，y，2x 典型例题十二 22xy，，C:，,1a,b,0例12 已知椭圆，、是其长轴的两个端点(AB22ab ,,，APB,120b(1)过一个焦点作垂直于长轴的弦，求证:不论、如何变化，(FPPa ,QC(2)如果椭圆上存在一个点，使，求的离心率的取值范围(，AQB,120e ，AQB分析:本题从已知条件出发，两问都应从和的正切值出发做出估计，因，APB 此要从点的坐标、斜率入手(本题的第(2)问中，其关键是根据什么去列出离心率满足e ,x,ay,b的不等式，只能是椭圆的固有性质:，，根据得到，AQB,120 22aya222y,bx,a,yb,,3，将代入，消去，用、、表示y，以便利用xac2222bx，y,a 列出不等式(这里思路清楚，计算准确，一气呵成( 解:(1)设，，( ，，，，，，Fc，0A,a，0Ba，0 2x,c,,,b,,,Pc， ,,,222222abx，ay,ab,,, 22bbk,k,于是，( APBP，，，，ac，aac,a ?是到的角( ，APBAPBP 22bb,22a，，，，ac,aac，a? tan，APB,,,42bc1，222，，ac,a 22a,c? tan，APB,,2? ,，APB,120故 ?( tan，APB,,3 yy2)设，则，( (k,k,，，Qx，yQAQBx，ax,a y,0，AQBQAQB由于对称性，不妨设，于是是到的角( yy,2ayx,ax，atan，AQB,,? 2222yx，y,a1，22x,a 2ay,?， ? ,,3，AQB,120222x，y,a 222整理得 ，，3x，y,a，2ay,0 2a222x,a,y? 2b 2,,a2,,31,y，2ay,0? 2,,b,, 22aby,0y,?， ? 23c 2ab2y,b,b?， ? 2c3 22222， 2ab,3c4a，，a,c,3c 4224424c，4ac,4a,03e，4e,4,0?， 6322e,,2,e,1?或(舍)，?( e,32 典型例题十三 22xy1，,1k例13 已知椭圆的离心率，求的值( e,k，892 分析:分两种情况进行讨论( 1222a,k，8b,9c,k,1k,4解:当椭圆的焦点在轴上时，，，得(由，得(e,x2 222a,9b,k，8c,1,k当椭圆的焦点在轴上时，，，得( y 1,k115由，得，即( ,e,k,,2944 5k,4?满足条件的或( k,,4 k，8说明:本题易出现漏解(排除错误的办法是:因为与9的大小关系不定，所以椭 圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上(故必须进行讨论( yx 典型例题十四 22xy(b,1)，,1b例14 已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线PPF2224bb 的距离( 分析:利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解( 22xy3，,1a,2be,解法一:由，得，，( c,3b2224bb PF，PF,2a,4b由椭圆定义，，得 12 PF,4b,PF,4b,b,3b( 12 PF1由椭圆第二定义，，为到左准线的距离， P,ed1d1 PF1d,,23b?， 1e 即到左准线的距离为( P23b PFc32e,,解法二:?，为P到右准线的距离，， ,ed2a2d2 PF232d,,b?( 2e3 2a832,,b又椭圆两准线的距离为( c3 8323b,b,23b?到左准线的距离为( P33 说明:运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性(否则就会产生误解( 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如(一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义( 典型例题十五 ,x,4cos,,,例15 设椭圆(为参数)上一点与轴正向所成角，求P，POx,,x,3y,23sin,., 点坐标( P ，POx分析:利用参数与之间的关系求解( , ,解:设，由与轴正向所成角为， PP(4cos,,23sin,)x3 ,,23sintan,tan,,2?，即( 34cos, 255,sin,,sin,,0cos,,0cos,而，，由此得到，，55 45415(,)?点坐标为( P55 典型例题十六 22xy(a,b,0)，,1例16 设是离心率为的椭圆 上的一点，到左焦PP(x,y)e0022ab 点和右焦点的距离分别为和，求证:，(r,a，exr,a,exrFFr10202121 分析:本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化 为点到相应准线距离( 22aaPQxl:x,,,，解:点到椭圆的左准线的距离，， P0cc PF1由椭圆第二定义，， ,ePQ r,ePQ,a，ex，由椭圆第一定义，(?r,2a,r,a,ex10210 说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时，有着广泛的应用(请写出椭圆焦点在轴上的焦半径公式( y 典型例题十七 22xyA(1,1)，,1例17 已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点FF1295 是椭圆上一点( P PA，PF(1) 求的最大值、最小值及对应的点坐标; P1 3(2) 求PA，PF的最小值及对应的点P的坐标( 22 分析:本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当，即代数方法(二是数形结合，即几何方法(本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决;若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解( 解: AF,22a,6(1)如上图，，，，设是椭圆上任一点，由PF(2,0)22 PF，PF,2a,6PA,PF,AF，，?1222PA，PF,PF，PF,AF,2a,AF,6,2PA,PF,AF，等号仅当时成1122222 、、共线( 立，此时PAF2 PA，PF,PF，PF，AF,2a，AF,6，2PA,PF，AF由，?，等1122222 PA,PF，AF号仅当时成立，此时、、共线( PAF222 ，,2,0,xy,x，y,2,0建立、的直线方程，解方程组得两交点AF,2225x，9y,45, 915515915515、( P(,2,，2)P(，2,,2)12714714714714 PA，PF综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，PPP6,2P112 PA，PF取最大值( 6，22 PQQa,3c,2(2)如下图，设是椭圆上任一点，作垂直椭圆右准线，为垂足，由，，P PF2322?(由椭圆第二定义知，?PQ,PF，?e,,e,2332PQ 3Q，要使其和最小需有、、共线，即求到右准线距离(右APAPA，PF,PA，PQ22 9x,准线方程为( 2 7?A到右准线距离为(此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条2 65(,1)件的点P坐标( 5 1说明:求的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂线段(巧APA，PF2e PFPQ用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段( 2 典型例题十八 22xy，,1例18 (1)写出椭圆的参数方程; 94 (2)求椭圆内接矩形的最大面积( 分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用(为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆 的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题( ,,x3cos,(,,R)解:(1) ( ,,y2sin,, S(2)设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设yx ,(3cos,,2sin,)为矩形在第一象限的顶点，， (0,,,)2 S,4，3cos,，2sin,,12sin2,,12则 故椭圆内接矩形的最大面积为12( 说明:通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最 值问题，用参数方程形式较简便( 典型例题十九 例19 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且(P，FPF,60:FF1212 (1)求椭圆离心率的取值范围; (2)求证的面积与椭圆短轴长有关( ,PFF12 分析:不失一般性，可以设椭圆方程为 22xy，,1a,b,0()，()( P(x,y)y,011122ab KK,PFPF21思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即tan60:,,3，设KK1，PFPF21 222，，，化简可得(又3x，3y,2cy,3c,0P(x,y)F(,c,0)F(c,0)111211122xy2222411，,1，两方程联立消去得，由，可以x3cy，2bcy,3b,0y,(0,b]111122ab 确定离心率的取值范围;解出可以求出的面积，但这一过程很繁(,PFFy121 PF,a，exPF,a,ex思路二:利用焦半径公式，，在中运用余弦定理，,PFF112112 求，再利用，可以确定离心率的取值范围，将代入椭圆方程中求，便xx,[,a,a]exy1111 的面积( 可求出,PFF12 PF，PF,2a思路三:利用正弦定理、余弦定理，结合求解(12 22xy，,1a,b,0解:(法1)设椭圆方程为()，，，，P(x,y)F(,c,0)F(c,0)111222ab c,0， PF,a，exPF,a,ex则，( 1121 在中，由余弦定理得 ,PFF12 2221(a，ex)，(a,ex),4c11cos60:,,， 22(a，ex)(a,ex)11 224c,a2x,解得( 123e 22(1)?， x,(0,a]1 224c,a2224c,a,00,,a?，即( 23e c1?( e,,a2 1故椭圆离心率的取范围是( e,[,1)2 22224c,axy2x,，,1(2)将代入得 12223eab 24bb2,yy,，即( 1123c3c 2113b2?( 2S,FF,y,,c,,b,PFF12122233c 即的面积只与椭圆的短轴长有关( ,PFF12 PF,mPF,n(法2)设，，，， ，PFF,,，PFF,,122112,，,,120:则( (1)在中，由正弦定理得 ,PFF12 mn2c,,( sin,sin,sin60: m，n2c, ?sin,，sin,sin60: m，n,2a?， 2a2c,?， sin,，sin,sin60: sin60sin60c::e,,,? ,，,,,,sinsina，,,2sincos22 11,,( ,,,22cos2 ,,,当且仅当时等号成立( 1( 故椭圆离心率的取值范围是e,[,1)2 (2)在中，由余弦定理得: ,PFF12 222 (2c),m，n,2mncos60: 22 ,m，n,mn 2 ,(m，n),3mn m，n,2a?， 44222224c,4a,3mnmn,(a,c),b?，即( 33 132sin60S,mn:,b?( ,PFF1223 即的面积与椭圆短轴长有关( ,PFF12 说明:椭圆上的一点与两个焦点，构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有PFF12 关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理(解题中通过变形，使之出现PF，PF的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关，的关系式，使问ac12 题找到解决思路( 典型例题二十 22xy(a,b,0)，,1例20 椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，APx22ab OP,APO使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围( e OOP,AP分析:?、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为APPP b点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式，转化为关于ac的不等式(为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程( e ,,xacos,(a,b,0)解:设椭圆的参数方程是， ,,ybsin,, P(acos,,bsin,)A(a,0)则椭圆上的点，， ,,bsinbsin,,,1OP,AP?，?， ,,acosacos,a 2b22222cos,,1cos,,即，解得或，(a,b)cos,,acos,，b,022a,b 2b222b,a,c,1,cos,,1cos,,1,1,,1? ?(舍去)，，又22a,b 2a0,,2?， 2c 22e,,e,10,e,1?，又，?( 22 2(,1)OP,AP说明:若已知椭圆离心率范围，求证在椭圆上总存在点P使(如何2 证明,