可逆矩阵

可逆矩阵 二 可逆矩阵 1 可逆矩阵的定义 nn设为阶方阵，若有阶方阵，使得，则称为可逆矩阵。并称ABABBAE,,AB ,1,1为的逆矩阵，记为，即。可逆矩阵又可称为非奇异矩阵或满秩矩阵。 ABA,A 2 可逆矩阵的性质及判别 n设为阶方阵，则下述条件等价: A (1)为可逆矩阵; A (2); A,0 n(3)有阶方阵，使得; BABE, n(4)有阶方阵，使得; BBAE, *(5)A是可逆矩阵; T(6)A是可逆矩阵; (7)可表为若干个初等矩阵之积; A (8)可经若干次行初等变换化为单位矩阵; A (9)可经若干次列初等变换化为单位矩阵; A (10)可经若干次初等变换化为单位矩阵 A (11)只有零解; AX,0 (12)有唯一解; AXb, RAn(),(13); (14)的行向量组线性无关; A (15)的列向量组线性无关; A (16)的特征根均非零。 A 3 可逆矩阵逆矩阵的求法 1,1*AA,(1)利用。 A (2)初等变换法。 (3)若有，使或，则便是之逆。 BABE,BAE,BA 例 题 1 证明方阵可逆 2 (1)设方阵满足条件AAE,,,20，证明和都可逆。 AAAE，2 (2)设，为同阶方阵，且。证明可逆及。 ABAE，ABBA,ABAB，，,0 ，为同阶方阵，且可逆。证明也可逆。 (3)设ABEAB,EBA, ,,11 (4)设，为同阶方阵，且，，都可逆，证明也可逆。 AB，ABABAB， 2 求可逆矩阵的逆矩阵 求下列可逆矩阵的逆矩阵 12,, (1)。 ,,21,, 223,, ,,110,(2)。 ,,,,,121,, 0000a,,1,,0000a2,, ,,(3)。 ,,0000an,1,,,,a0000,,n CA,,mn(4)设为阶可逆方阵，为阶可逆方阵，证明可逆并求其逆 AB,,B0,, 五 解矩阵方程 111201,,,,, ,,,,22 (1)设AXBAXABAB,，,，AB,,011,020，且，求。 X,,,,,,,,001002,,,,, 1000,, ,,0100*,,11,,A, (2)设的伴随矩阵，且，求。 ABABAE,，3AB,,1010 ,,,,0308,,, 作 业 五 2n 1 设为阶方阵，且AAE，,,230，证明可逆，并求其逆。 AAE,2 mnm2 设为阶方阵，且有正整数使得A,0，证明可逆，并求其逆。 AEA, 32AE,2,nAAE,，2 3 设为阶方阵，且证明可逆，并求其逆。 A 22 4 设有，证明不是可逆矩阵。AB，ABEAB,,，,,0